II. BAØI TẬP RÈN LUYỆN:
2. Phép chia hết:
a.Định nghĩa: Cho a,b ∈¢ và b ≠0 .Ta nói a chia hết cho b, ký hiệu là a bM , nếu tồn tại số nguyên q sao cho a=bq
a bM ⇔ ∃ ∈đn q ¢ sao cho a=bq
• Khi a chia hết cho b thì ta nói b là ước của a và ký hiệu b a
• Số nguyên dương a>1 chỉ có hai ước dương là 1 và chính nó gọi là số nguyên tố . Tập hợp các số nguyên tố ký hiệu là ℘ . Các số tự nhiên lớn hơn 1 và không phải là số nguyên tố thì gọi là hợp số.
• UCLN của hai số nguyên dương a và b là số nguyên dương lớn nhất chia hết cho cả a và b ký hiệu: UCLN(a,b) hay (a,b).BCNN của hai số nguyên dương a và b là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho cả a và b, ký hiệu: BCNN(a,b) hay [a,b]
• Hai số nguyên a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau , ký hiệu (a,b)=1 , nếu ước chung lớn nhất của nó là 1 b. Tính chất: Cho , , ,a b c m∈¢ ; ,c m≥1. Khi đó : a) a b b cM , M ⇒a cM b) a m b mM , M ⇒ ±a b mM c) ab c b cM,( , ) 1= ⇒a cM d) a b a c b cM , M,( , ) 1= ⇒a bcM
e) Cho p∈℘. Khi đó : ab pM ⇒a pM hoặc bMp
Nhận xét:
• Trong n số nguyên liên tiếp (n≥1) luôn có một và chỉ một số chia hết cho n. • Tích của n số nguyên liên tiếp (n≥1) chia hết cho n .
• Với n∈¥ ta có : an−bn = −(a b a)( n−1+a bn−2 + +... abn−2+bn−1) Với n lẻ ta có : an+bn = +(a b a)( n−1−a bn−2 + −... abn−2+bn−1) Suy ra: * a b, ∈¢ và a b thì a≠ n−b a bnM( − ) (n∈¥) * a b, ∈¢, n lẻ và a≠ −b thì an+b a bnM( + ) * a b, ∈¢, n chẵn và a≠ −b thì an −b a bnM( + )
n = kp+r với 0, 1,..., 1 2 p r= ± ± − Ví dụ 1: Chứng minh rằng :
1. Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 2. Tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
3. Tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên m,n: 1. n3+11 6nM 2. mn m( 2−n2) 3M 3. (n n+1)(2n+1) 6M Ví dụ 3: Với n chẵn, chứng minh rằng : 20 16n+ n− −3 1 323n M Ví dụ 4:
Chứng minh rằng với n là số tự nhiên : 1. 11n+2+122 1n+ M133
2.5n+2+26.5n+82 1n+ M59 3. 7.52n+12.6 19nM
II. Đồng dư :
1. Định nghĩa: Cho a, b là các số nguyên và n là số nguyên dương . Ta nói a đồng dư với b theo theo môđun n nếu a và b có cùng số dư khi chia cho n , ký hiệu: a b≡ (mod n) a b≡ (mod n)⇔a-b nM
Nhận xét:
• Trong trường hợp b n< thì:
a b≡ (mod n) có nghĩa là chia a cho m có dư là b
Đặc biệt : a≡0(mod n) có nghĩa là a chia hết cho n 2. Tính chất: Cho , ,a b c∈¢,n∈¥ . Khi đó :
• Nếu a b (mod n) và b c (mod n) thì a c (mod n)≡ ≡ ≡ • Nếu a b (mod n) thì a+c b+c (mod n)≡ ≡
• Nếu a b (mod n) thì ac bc (mod n)≡ ≡ • Nếu a b (mod n) thì a≡ n ≡b (mod )n n
• (a+b)n ≡b (mod a), a>0n