2 k−DÃY CHÍNH QUY VÀ ỨNG DỤNG
2.3 Kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun
liên kết của môđun đối đồng điều địa phương Chúng ta biết rằng tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương AssRHIi(M) không hữu hạn trong trường hợp tổng quát. Mục đích của phần này là trình bày một kết quả hữu hạn của tập AssRHIi(M). Giả sử dimM/IM = s. Với mỗi k = 0,1, . . . , s, chúng ta đặt nk = k-depth(I;M). Chú ý rằng k-depth(I;M) = ∞ với k > s. Chúng ta sẽ giới thiệu một vài kết quả liên quan tới sự hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương Hnk
I (M). Hơn thế nữa, chúng ta sẽ mô tả cụ thể tập hữu hạn Ass(Hn2
I (M)). Định lý 2.3.1. ([6], 4.1)
Cho dimM/IM = s. Đặt Hk = {p ∈ Ass(Hnk
I (M)) : dimR/p ≥ k} với mọi
k = 0,1, . . . , s. Khi đó
∅6=Hk ={p∈Ass(Extnk
R (R/I;M)) : dimR/p≥k}.
Chứng minh. Cho k ∈ {0,1, . . . , s}. Chú ý rằng nk <∞ theo Bổ đề 2.2.2(i). Theo Mệnh đề 2.2.6 chúng ta có
nk = min{depth(IRp;Mp) :p∈Supp(M/IM),dimR/p≥k}
Do đó, tồn tại iđêan nguyên tố p ∈ Supp(M/IM) sao cho dimR/p ≥ k và
depth(IRp;Mp) = nk. Từ đó suy ra (Hnk
I (Mp))p = Hnk
IRp(Mp) 6= 0. Do đó,
p∈Supp(Hnk
I (M)). Gọip0 là iđêan nguyên tố nhỏ nhất trong Supp(Hnk I (M))
sao cho p0 ⊆p. Khi đó p0 ∈AssHnk
I (M)) và dimR/p0 ≥dimR/p≥k. Do đó,
p0 ∈Hk và vì vậy Hk 6=∅. Giả sử p∈Ass(Hnk
I (M)) sao cho dimR/p≥k. Khi đó
pRp ∈Ass(Hnk
I (M))p= Ass(Hnk
IRp(Mp)). Suy raHnk
IRp(Mp)6= 0. Chúng ta chứng minh depth(IRp;Mp) = nk. Thật vậy, cho x1, . . . , xnk là một k−dãy chính quy của M trong I. Khi đó x1
1, . . . ,xnk1
là một dãy chính quy của Mp trong IRp theo Bổ đề 2.1.2(i). Do đó,
depth(IRp;Mp) ≥ nk. Vì Hnk IRp(Mp) 6= 0 nên depth(IRp;Mp) ≤ nk. Do đó depth(IRp, Mp) = nk. Theo ([14],1.1) chúng ta có Ass(Hnk IRp(Mp)) = Ass(Extnk Rp(Rp/IRp;Mp)). Do đó, p∈Ass(Hnk
I (M))khi và chỉ khi pRp ∈Ass(Hnk
IRp(Mp)), khi và chỉ khi
pRp ∈ Ass(Extnk
Rp(Rp/IRp;Mp)). Từ đó suy ra p ∈ Ass(Hnk
I (M)) khi và chỉ khi p∈Ass(Extnk
R (R/I;M)). Vì Ass(Extnk
R (R/I;M)) là tập hữu hạn nên Hk cũng là tập hữu hạn.
Với mỗi số nguyên i ≥ 0, chúng ta không thể biết liệu rằng giá của
HIi(M) là một tập con đóng của phổ của R. Chú ý rằng Supp(HIi(M)) là đóng trong SpecR nếu và chỉ nếu HIi(M) chỉ có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu. Do đó, chúng ta quan tâm đến câu hỏi liệu rằng tập hợp tất cả số nguyên tố liên kết tối tiểu của HIi(M) là hữu hạn. Định lý 2.3.1
đưa ra một vài chỉ số i sao cho tập tất cả các số nguyên tố liên kết chiều cao nhất của HIi(M) là hữu hạn.
Kết quả sau đây, một hệ quả của Định lý 2.3.1, chứng minh tính không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương.
Hệ quả 2.3.2. ([6], 4.2) Cho I là một iđêan của R. Giả sử dimM/IM =s. Đặt nk = k-depth(I;M) với k = 0,1, . . . , s. Khi đó Hnk
I (M) 6= 0 với mọi
k = 0,1, . . . , s.
Đặt nk = k-depth(I;M) với k = 0, . . . ,dimM/IM. Khi đó chúng ta có
Ass(Hn0
I (M)) = Ass(Extn0
R(R/I;M)), và do đó Ass(Hn0
I (M)) là tập hữu hạn. Kết quả tiếp theo là một hệ quả của Định lý 2.3.1, mô tả tập iđêan nguyên tố liên kết của Hn1
I (M).
Hệ quả 2.3.3. ([6], 4.3) Cho I là một iđêan của R với dimM/IM > 0. Đặt n1= 1-depth(I;M). Khi đó chúng ta có Ass(Hn1 I (M))∪ {m}= Ass(Extn1 R (R/I;M))∪ {m}. Đặc biệt Ass(Hn1 I (M)) là tập hữu hạn.
Tiếp theo chúng ta mô tả tập Ass(Hn2
I (M)). Trước hết, chúng ta có bổ đề sau.
Bổ đề 2.3.4. ([6], 4.4) Cho K là một R−môđun và T là một môđun con của K. Khi đó
AssK∪SuppT = Ass(K/T)∪Supp(T).
Hơn nữa, nếu SuppT là tập hữu hạn thì Ass(K/T)⊆AssK∪ {m}. Chứng minh. Hiển nhiên có AssK ⊆Ass(K/T)∪Supp(T).
Cho p ∈ Ass(K/T)\SuppT. Khi đó p = (T :R m) với m là phần tử thuộc
K nào đó. Do đó pm ⊆ T. Vì p ∈/ SuppT, chúng ta có Tp = 0. Vì vậy
pm = (m1, . . . , mt)R, trong đó mi ∈ K. Kí hiệu mi
1 là ảnh của mi trong
(pm)p. Với mỗi i = 1, . . . , t, vì mi
1 = 0 nên tồn tại ri ∈/ p sao cho rimi = 0. Đặt r = r1. . . rt. Khi đó r /∈ p và r(pm) = 0. Từ đó suy ra p ⊆ Ann(rm). Lấy a ∈Ann(rm). Khi đó arm= 0 và do đó ar ∈Ann(m)⊆(T :r m) = p. Vì
r /∈p, chúng ta có a∈p. Do đó, p= Ann(rm). Vì vậy, p∈AssK.
Bây giờ giả sử SuppT là tập hữu hạn. Lấy p6= m sao cho p ∈SuppT. Khi đó p là phần tử nhỏ nhất của SuppT. Do đó, p∈AssT. Từ đây p∈AssK. Vì vậy SuppT ⊆AssK∪ {m}. Suy ra
Ass(K/T)⊂Ass(K/T)∪SuppT
= AssK∪SuppT
⊂AssK ∪AssK∪ {m}
= AssK∪ {m}.
Bổ đề được chứng minh xong.
Bổ đề 2.3.5. ([15], 5.2) SuppHIi(M) là một tập hữu hạn với mọi i <
2-depth(I;M). Đặc biệt,AssHIi(M)là một tập hữu hạn với mọii <2-depth(I;M).
Định lý sau cho ta một kết quả hữu hạn cho tập Ass(Hn2
I (M)).
Định lý 2.3.6. ([6], 4.5) Cho I là iđêan của R với dimM/IM > 1. Đặt
n2 = 2-depth(I;M) và giả sử n2 ≥ 1. Cho x1, . . . , xn2−1 là 2−dãy chính quy của M trong I. Đặt M = M/(x1, . . . , xn2−1)M và P = ∪n2−1 i=1 Supp(HIi(M)). Khi đó chúng ta có Ass(Hn2 I (M))∪P = Ass(Ext1R(R/I;M /HI0(M)))∪P. (2.1) Đặc biệt, Ass(Hn2 I (M)) là một tập hữu hạn. Chứng minh. Trường hợp n2= 1. Chúng ta có
và (2.1) đúng trong trường hợp này.
Trường hợp n2 >1. Đặt M1 =M/x1M. Vì x1 là một 2−phần tử chính quy của M nên theo Bổ đề 2.1.2(iii) ta có dim(M :R x1) ≤ 1. Do đó HIj(M) ∼=
HIj(M/(0 :M x1)) với mọi j ≥2. Từ dãy khớp
0→M/(0 :M x1)−.x−→1 M →M1→0, chúng ta có dãy khớp sau
HIj−1(M)→HIj−1(M1)→HIj(M)−.x−→1 HIj(M) (2.2) với mọi j ≥ 2. Kí hiệu T là ảnh của ánh xạ Hn2−1
I (M) →Hn2−1 I (M1) trong dãy khớp (2.2). Vì n2 ≥2, chúng ta có (0 :Hn2 I (M) x1)∼=Hn2−1 I (M1)/T. Vì T là một thương của Hn2−1 I (M), chúng ta có SuppT ⊆Supp(Hn2−1 I (M))⊆ P. Từ Bổ đề 2.3.4 chúng ta có Ass(Hn2 I (M))∪P = Ass(0 :Hn2 I (M) x1)∪P = (Ass(Hn2−1 I (M1)/T)∪SuppT)∪P = (Ass(Hn2−1 I (M1))∪SuppT)∪P = Ass(Hn2−1 I (M1))∪P. (2.3) Chú ý rằng 2-depth(I;M1) = n2−1. ĐặtP1=∪n2−2 i=1 Supp(HIi(M1)). Từ (2.2) kéo theo
Supp(HIi−1(M1))⊆Supp(HIi−1(M))∪Supp(HIi(M))
với mọi i≥2. Do đó, P1 ⊆P. Bằng giả thiết quy nạp,
Ass(Hn2−1 I (M1))∪P1= Ass(Ext1R(R/I;M /HI0(M)))∪P1. Từ (2.3) chúng ta có Ass(Hn2 I (M))∪P = Ass(Hn2−1 I (M1))∪P = (Ass(Hn2−1 I (M1))∪P1)∪P = (Ass(Ext1R(R/I;M /HI0(M)))∪P1)∪P = Ass(Ext1R(R/I;M /HI0(M)))∪P,
và (2.1) được chứng minh. VìP là tập hữu hạn (Bổ đề 2.3.5) nênAss(Hn2
I (M))
KẾT LUẬN
Luận văn đạt được những kết quả sau:
1. Trình bày những kiến thức cơ bản về tập iđêan nguyên tố liên kết, dãy chính quy, độ sâu và môđun đối đồng điều địa phương.
2. Trình bày chứng minh chi tiết một số tính chất về k−dãy chính quy,
k−độ sâu.
3. Trình bày chứng minh chi tiết kết quả hữu hạn của tập nguyên tố liên
kết [ t1,...,tn∈N Ass M/(xt1 1, . . . , xtn n)M trong đó x1, . . . , xn là một k−dãy chính quy của M.
4. Trình bày chứng minh chi tiết kết quả hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương {p ∈ AssHnk
I (M) : dimR/p≥k} trong đó nk = k-depth(I;M).
Tài liệu tham khảo
[1] M. Brodmann, Asymptotic stability of AssR(M/InM), Proc. Amer. Math. Soc., (1) 74 (1979), 16-18 .
[2] M. Brodman and R. Y. Sharp. " Local cohomology: an algebraic in- troduction with geometric applications", Cambridge University Press, 1998.
[3] M. Brodmann and L. T. Nhan,A finiteness result for associated primes of certain Ext-modules, Comm. Algebra, (4) 36 (2008), 1527-1536. [4] W. Bruns and H.J. Herzog, Cohen-Macaulay Rings, Cambridge Uni-
versity Press (1993).
[5] N. T. Cuong, P. Schenzel and N. V. Trung, Verallgemeinerte Cohen- Macaulay Mod- uln, Math. Nachr., 85 (1978), 57-73.
[6] N. Q. Chinh and L. T. Nhan,On the associated primes and the support of local cohomology modules, Algebra Colloq. 15(2008), no. 4, 599-608. [7] C. Huneke, Problems on local cohomology, Free resolutions in commu- tative algebra and algebraic geometry (Sundance, Utah, 1990), Res. Notes Math., 2 (1992), 93-108.
[8] C. Huneke and R. Y. Sharp,Bass numbers of local cohomology modules, Trans. Amer. Math. Soc., 339 (1993), 765-779.
[9] M. Katzman, An axample of an infinite set of associated primes of a local cohomology module, J. Algebra. 252 (2002), 161-166.
[10] G. Luybeznik,Finiteness properties of local cohomoly modules (an ap- plication of D- modules to commutative algebra), Invent. Math., 113 (1993), 41-55.
[11] R. Lu and Z. Tang, The f-depth of an ideal on a module, Proc. Amer. Math, Soc., (7) 130 (2001), 1905-1912.
[12] I. G. Macdonald, Secondary representation of modules over a commu- tative ring, Symposia Mathematica 11 ( 1973) 23-43.
[13] H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge Univ. Press, 1986.
[14] Th. Marley, Associated primes of local cohomology modules over rings of small dimension, Manuscripta Math. 104 (2001) 519-525.
[15] L. T. Nhan, On generalized regular sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules, Comm. Algebra, 33 (2005), 793-806.
[16] R. Y. Sharp, Asymptotic behaviour of certain sets of attached prime ideals, J. London Math. Soc., (2) 34 (1986), 212-218.
[17] A. Singh, p-torsion elements in local cohomology modules, Math. Res. Lett., 7 (2000), 165-176.