Định nghĩa 2.2.1 (Hàm lồi tổng quát). Cho D ⊂ Rn là tập lồi. Hàm
f : D → R được gọi là hàm lồi tổng quát nếu có một hàm g :f (D)2 → R sao cho:
f (λx+ (1−λ)y) ≤max{f (x), f (y), g(f (x), f(y))} (2.15) với mọi x, y ∈ D và với mọi λ ∈ [0; 1].
Nhận xét 2.2.2. Tập tất cả các hàm lồi có thể là một tập con riêng của tập tất cả các hàm lồi tổng quát.
Theo thứ tự, hàmg : R2 →R là tăng nếuxi, yi ∈ Rvàxi ≤yi(i = 1,2)
kéo theo g(x1, x2) ≤ g(y1, y2). Mặt khác, hàm g : R2 → R là mức tăng nếu nó là hàm tăng và có tính chất
g(max{x, g(x, x)},max{x, g(x, x)}) ≤max{x, g(x, x)}
với mỗix ∈ R. Về phương diện hình học, ta xem hình 2.1. Xem thêm: [11].
Hình 2.1:
Ta biết rằng, một hàm lồi có thể được đặc trưng bởi độ lồi của biểu đồ của nó. Ngoài ra, chúng ta biết rằng hàm tựa lồi có thể được đặc trưng bởi độ lồi của những tập mức.
Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày một đặc trưng mới của hàm lồi tổng quát là độ lồi của các tập mức tổng quát của chúng.
Định lý 2.2.3. Cho D ⊂ Rn là tập lồi mở. Hàm f : D → R là hàm lồi tổng quát với hàm mức tăng g : R2 →R nếu và chỉ nếu
g(Da) := {x ∈ D|max{f(x), g(f(x), f(x))} ≤ max{a, g(a, a)}} (2.16) là tập lồi với mỗi số a ∈ R.
x, y ∈ D và
max{f(x), g(f(x), f(x))},max{f(y), g(f(y), f(y))} ≤ max{a, g(a, a)} (2.17) Cho z = λx+ (1−λ)y với λ ∈ [0,1]. Vì D là tập lồi nên ta có z ∈ D. Hơn nữa, vì f là lồi tổng quát nên từ (2.15) và (2.17) ta có
f(z) ≤max{f(x), f(y), g(f(x), f(y))} ≤
≤ max{f(x), f(y),max(g(f(x), f(x)), g(f(y), f(y)))} ≤ max{a, g(a, a)} Do đó f(z) ≤ max{a, g(a, a)} và g là hàm mức tăng nên ta có
g(f(z), f(z)) ≤ g(max{a, g(a, a)},max{a, g(a, a)}) ≤ max{a, g(a, a)}.
Điều đó có nghĩa là max{f(z), g(f(z), f(z))} ≤ max{a, g(a, a)} hay z ∈
g(Da). Vậy g(Da) là tập lồi.
Ngược lại, giả sử g(Da) là tập lồi với mỗi a ∈ R. Lấy z = λx+ (1−λ)y
với λ ∈ [0,1]. Vì x, y ∈ g({Da}) nên max{a, g(a, a)} = max{f(x), f(y), g(f(x), f(y))}. Vì g(Da) là tập lồi nên z ∈ g(Da). Do đó f(z) ≤ max{f(z), g(f(z), f(z))} ≤ ≤max{a, g(a, a)}= max{f(x), f(y), g(f(x), f(y))}. Vì thế f là một hàm lồi tổng quát.
Từ Định lý 2.2.3, chúng ta có các hệ quả sau đây.
Hệ quả 2.2.4. Cho D ⊂ Rn là tập lồi mở, và hàm f : D → R. Nếu có hàm g :R2 →R sao cho tập g(Da) là lồi thì f là hàm lồi tổng quát.
Mặt khác, cũng từ Định lý 2.2.3, chúng ta có được một hệ quả cho các hàm tựa lồi, trước hết ta có định nghĩa hàm tựa lồi như sau:
Định nghĩa 2.2.5 (Hàm tựa lồi). Một hàm f : D → R, trong đó D là tập con lồi của Rn, được gọi là tựa lồi nếu
f(λx+ (1−λ)y) ≤ max{f(x), f(y)} với mọi x, y ∈ D, và bất kỳ λ ∈ [0,1].
Nhận xét 2.2.6. Tập tất cả các hàm tựa lồi có thể là một tập con đúng của tập tất cả các hàm lồi tổng quát.
Hệ quả 2.2.7. Cho D ⊂ Rn là tập lồi mở. Hàm f : D →R là tựa lồi nếu và chỉ nếu
La := {x ∈ D|f(x) ≤a}
là tập lồi với mỗi a ∈ R. (Tập La được gọi là tập mức).
Chứng minh. Lấy g(f(x), f(y)) = max{f(x), f(y)}, lập luận tương tự như chứng minh của Định lý 2.2.3 ta suy ra điều cần chứng minh.