Khæng gian câ trång c¡c h m ch¿nh h¼nh

ành ngh¾a 1.2.13 ([8]). Cho G l mët tªp con mð cõa CN, N P N v

v : G Ñ R zt0u l mët trång li¶n töc v d÷ìng thüc sü tr¶n G. Ta ành ngh¾a khæng gian Banach câ trång c¡c h m ch¿nh h¼nh tr¶n G

HvpGq : tf P HpGq : }f}v : sup

zPG

Hv0pGq : tf P HpGq : v|f| tri»t ti¶u t¤i 8 tr¶n Gu.

Nhc l¤i h m g tri»t ti¶u t¤i væ còng tr¶n G n¸u vîi måi ε ¡ 0 tçn t¤i mët tªp con compact K cõa G sao cho |gpzq| ε vîi måi z P GzK.

D÷îi ¥y, ta gi£ sû r¬ng chu©n }δz} cõa ë o Dirac l d÷ìng thüc sü. Ð ¥y, ë o Dirac nh÷ l mët ph¦n tû cõa HvpGq1 x¡c ành bði

δzpfq : fpzq, z P G. N¸u G l mët tªp con li¶n thæng mð cõa C, i·u n y x£y ra n¸u HvpGq t0u. N¸u G D v vpzq 1 vîi méi z P D, th¼ Hv0pDq t0u. N¸u G C v vpzq |z| vîi méi z P C, th¼ Hv0pCq ch¿ chùa c¡c h¬ng sè. Ng÷ñc l¤i, d¹ d ng chùng minh r¬ng n¸u chi·u cõa

Hv0pGq lîn hìn ho°c b¬ng 2, th¼ Hv0pGq l t¡ch iºm cõa G.

N¸u v l mët trång (li¶n töc v d÷ìng thüc sü) tr¶n G, trång li¶n k¸t cõa nâ ÷ñc ành ngh¾a bði

vpzq : 1 }δz}HvpGq1.

Bði c¡c gi£ thi¸t ð tr¶n, rvpzq húu h¤n vîi måi z P G. Hìn núa v ¤ rv tr¶n

G, 1

v li¶n töc v i·u háa d÷îi v khæng gian Banach HvpGq v HrvpGq tròng nhau theo ngh¾a ¯ng cü.

Mët trång v ÷ñc gåi l cì b£n n¸u tçn t¤i C ¥ 1 sao cho v ¤ rv ¤ Cv

tr¶n G. T½nh li¶n töc cõa rv câ thº ÷ñc suy ra tø c¡c k¸t qu£ sau ¥y. Bê · 1.2.1 ([8]). N¸u khæng gian lçi àa ph÷ìng cõa c¡c h m ch¿nh h¼nh

E l mët thòng vîi tæpæ m¤nh hìn tæpæ hëi tö iºm, th¼ ¡nh x¤ ∆ : G Ñ Eb1

ành ngh¾a bði ∆pzq : δz l ch¿nh h¼nh, do â li¶n töc.

Mët tªp mð G trong CN ÷ñc gåi l c¥n n¸u λz P G vîi méi z P G v vîi méi |λ| ¤ 1. Mët trång v tr¶n tªp mð c¥n G ÷ñc gåi l xuy¶n t¥m n¸u vpλzq vpzq vîi |λ| 1.

ành lþ 1.2.17 ([8]). Gi£ sû v l mët trång xuy¶n t¥m tr¶n tªp con mð c¥n G cõa CN. N¸u Hv0pGq chùa c¡c a thùc, th¼ khæng gian Hv0pGq câ t½nh x§p x¿ m¶tric, c¡c a thùc trò mªt trong nâ, v khæng gian HvpGq ¯ng cü vîi song èi ng¨u cõa Hv0pGq. Hìn núa, khæng gian HpGq l mët

L8-khæng gian n¸u v ch¿ n¸u khæng gian Hv0pGq l mët L8-khæng gian n¸u v ch¿ n¸u Hv0pGq ¯ng c§u vîi khæng gian d¢y c0.

ành lþ 1.2.18 ([8]). Cho v l mët trång xuy¶n t¥m khæng t«ng tr¶n D

sao cho lim

rÑ1vprq 0. Gi£ sû

sup

vp12nq

vp12n1q 8. () Khæng gian Hv0pGq ¯ng c§u vîi khæng gian c0 n¸u v ch¿ n¸u vîi k P N

lim sup

nÑ8

vp12nkq

vp12nq 1. () Mët trång xuy¶n t¥m v khæng t«ng v tr¶n D thäa m¢n i·u ki»n () v () trong ành lþ 1.2.18 n¸u v ch¿ n¸u nâ l mët trång chu©n tc. ành lþ 1.2.19 ([8] ). Gi£ sû trång xuy¶n t¥m khæng t«ng v tr¶n D thäa m¢n i·u ki»n (). Khi â

(1) N¸u v thäa m¢n i·u ki»n (), th¼ HvpDq ¯ng c§u vîi l8

(2) N¸u v khæng thäa m¢n i·u ki»n (), th¼ HvpDq ¯ng c§u vîi H8. ành lþ 1.2.20 ([8]). Cho G l mët tªp con mð cõa CN, N ¥ 1, v v

l mët trång li¶n töc v d÷ìng thüc sü tr¶n G. Khi â khæng gian Hv0pGq ¯ng c§u vîi khæng gian con âng cõa c0.

H» qu£ 1.2.4 ([8]). Cho G l mët tªp con mð cõa CN, N ¥ 1, v v l mët trång li¶n töc v d÷ìng thüc sü tr¶n G. N¸u khæng gian Hv0pGq l væ h¤n chi·u, th¼ Hv0pGq v HvpGq khæng ph£n x¤.

Ch÷ìng 2

T½nh ¦y õ cõa khæng gian trång: Ti¸p cªn b¬ng Gi£i t½ch h m

H¦u h¸t c¡c khæng gian vîi trång v li¶n töc v d÷ìng thüc sü ÷ñc xem x²t l ¦y õ. Tuy nhi¶n khæng ph£i t§t c£ c¡c khæng gian câ trång ·u l khæng gian ành chu©n ¦y õ. V¼ vªy, trong ch÷ìng n y chóng ta s³ ÷a ra mët sè i·u ki»n c¦n v mët sè i·u ki»n õ v· trång v º khæng gian

Hv8pGq l khæng gian Banach düa tr¶n mët sè k¸t qu£ cì b£n cõa Gi£i t½ch h m.

2.1 Tªp d÷ìng cõa trång v t½nh ¦y õ cõa khæng gian trång

ành ngh¾a 2.1.1 ([10]). Gi£ sû v l mët trång tr¶n G, ta k½ hi»u

Ev : tz P G: vpzq ¡ 0u.

Tªp Ev ÷ñc gåi l tªp d÷ìng cõa trång v.

èi vîi h¦u h¸t c¡c trång phò hñp, c¡c khæng gian trång cõa chóng ta l ¦y õ, v ng÷íi ta hy vång chóng l ành chu©n. Tuy nhi¶n i·u n y khæng ph£i lóc n o công óng.

M»nh · 2.1.1 ([10]). Gi£ sû v : G Ñ r0,8s l mët trång tr¶n mi·n ph¯ng G. Khi â khæng gian Hv8pGq l ành chu©n n¸u v ch¿ n¸u Ev l mët tªp khæng ríi r¤c (tùc l , nâ câ mët iºm giîi h¤n trong G).

Chùng minh. Gi£ sû Ev câ mët iºm giîi h¤n trong G. V¼ } }v l nûa chu©n n¶n ta ch¿ c¦n chùng minh }f}v 0 suy ra f 0. Thªt vªy, n¸u

z P Ev th¼ }f}v sup

zPEv

vpzq|fpzq| 0 suy ra fpzq 0 (v¼ vpzq ¡ 0). N¸u

z R Ev, bði t½nh duy nh§t cõa h m ch¿nh h¼nh th¼ fpzq 0.

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû Ev khæng câ iºm giîi h¤n trong G. p döng ành lþ nëi suy Weierstrass, tçn t¤i mët h m f P HpGq kh¡c 0 sao cho fpzq 0

vîi måi z P Ev. Khi â }f}v 0 v f 0, vªy } }v khæng l mët chu©n.

Cho mët khæng gian nûa chu©n pX, pq, khæng gian ành chu©n li¶n k¸t ÷ñc ành ngh¾a bði

p rX,prq : pX{kerppq,prq,

vîi prpx kerppqq : ppxq l mët chu©n tr¶n X{kerppq.

M»nh · 2.1.2 ([10]). Gi£ sû v : G Ñ r0,8s l mët trång tr¶n mi·n ph¯ng G. N¸u tªp Ev ÷ñc ành ngh¾a ð tr¶n khæng câ iºm giîi h¤n trong

G, th¼ khæng gian ành chu©n li¶n k¸t vîi Hv8pGq, ¯ng c§u ¯ng cü vîi khæng gian Banach câ trång `8.

Chùng minh. Gi£ sû Ev khæng câ iºm giîi h¤n trong G. Khi â, nâ l mët d¢y ríi r¤c trongG. Ta vi¸tEv : tznun v ành ngh¾a wpnq : vpznq,

nP N, w : pwpnqqn v

`8pwq : tx pxnq P CN }x}w : sup

nPN

nh x¤ tuy¸n t½nh Φ : Hv8pGq Ñ `8pwq cho bði Φpfq : pfpznqqn v thäa }Φpfq}w }f}v vîi méi f P Hv8pGq. Bði ành lþ nëi suy Weierstrass

ker Φ ker} }v. Vªy ta câ i·u ph£i chùng minh.

2.2 C¡c khæng gian Banach câ trång

Trong ph¦n tr÷îc chóng ta ¢ câ c¥u tr£ líi cho t½nh ành chu©n cõa khæng gian trång. Ph¦n n y ta s³ quan t¥m ¸n t½nh ¦y õ cõa chóng. Tr÷îc khi ¸n k¸t qu£ ch½nh, ta c¦n bê · sau

Bê · 2.2.1 ([10]). Gi£ sû v : G Ñ r0,8s l mët trång tr¶n mi·n ph¯ng

G. N¸u khæng gian Hv8pGq l ành chu©n, th¼ ¡nh x¤ bao h m

J : Hv8pGq Ñ pHpGq, τcoq câ ç thà âng.

Chùng minh. L§ypfjqj Hv8pGqsao cho fj ÝÑ f trongHv8pGqv fj ÝÑ

g trong pHpGq, τcoq khi j Ñ 8. °c bi»t, fjpzq Ñ fpzq khi j Ñ 8 vîi måi z P Ev v fjpzq Ñ gpzq khi j Ñ 8 vîi måi z P G. Khi â f v g

l hai ch¿nh h¼nh tr¶n G v f g tr¶n Ev. Bði M»nh · 2.1.1 Ev câ mët iºm giîi h¤n trong G. Bði t½nh duy nh§t cõa h m ch¿nh h¼nh f g tr¶n

G v ta câ i·u ph£i chùng minh.

Cho iºm z P G, ta k½ hi»u δz : HpGq Ñ C l phi¸m h m ÷îc l÷ñng iºm δzpfq : fpzq, f P HpGq, công nh÷ h¤n ch¸ cõa nâ tr¶n Hv8pGq. Khi Hv8pGq l ành chu©n, chu©n cõa khæng gian èi ng¨u cõa nâ Hv8pGq1

÷ñc k½ hi»u } }1

i·u ki»n (iv) ð d÷îi (t½nh bà ch°n ·u cõa c¡c ÷îc l÷ñng iºm tr¶n c¡c tªp compact), t÷ìng ÷ìng t½nh bà ch°n t¤i méi iºm khi khæng gian l Banach.

M»nh · 2.2.1 ([10]). Gi£ sû khæng gian Hv8pGq l ành chu©n. Khi â c¡c i·u ki»n sau t÷ìng ÷ìng:

(i) Khæng gian Hv8pGq l khæng gian Banach.

(ii) nh x¤ bao h m J : Hv8pGq Ñ pHpGq, τcoq l li¶n töc.

(iii) H¼nh c¦u ìn và âng Bv8 cõa Hv8pGq bà ch°n trong pHpGq, τcoq. (iv) Vîi méi iºm z P G, phi¸m h m ÷îc l÷ñng iºm δz P Hv8pGq1 v hìn

núa, sup

zPK }δz}1

v 8 vîi méi tªp con compact K cõa G.

Chùng minh. (i) ñ (ii). Theo Bê · 2.2.1 J : Hv8pGq Ñ pHpGq, τcoq câ ç thà âng. V¼ Hv8pGq l khæng gian Banach v pHpGq, τcoq l khæng gian m¶tric ¦y õ n¶n theo ành lþ ç thà âng J li¶n töc.

(ii) ñ (i). L§y mët d¢y Cauchy pfjqj trong Hv8pGq. Bði gi£ thi¸t (ii) tçn t¤i f P HpGq sao cho pfjqj hëi tö ¸n f ·u tr¶n c¡c tªp con compact cõa G. M°t kh¡c,

@ε¡ 0 Dj0 @j, k ¥ j0 @z P G : vpzq|fjpzq fkpzq| ε.

N¸u vpzq 0 th¼ vpzq|fjpzq fpzq| 0, j ¥ j0, v n¸u vpzq ¡ 0, cho

k Ñ 8,

vpzq|fjpzq fpzq| ¤ ε vîi måi j ¥ j0.

i·u n y suy ra vîi ε 1, vpzq|fpzq| ¤ 1 }fJ}v vîi méi z P G v

f P Hv8pGq. Hìn núa, vîiε b§t k¼, ta câ fj Ñ f trong Hv8pGq khi j Ñ 8. Do â, (i) v (ii) t÷ìng ÷ìng. D¹ th§y, (ii) v (iii) công t÷ìng ÷ìng. Ta s³ chùng minh (ii) v (iv) t÷ìng ÷ìng vîi nhau.

(ii) ñ (iv). V¼ δz P pHpGq, τcoq1 vîi méi z P G, cho n¶n δz P Hv8pGq1

C ¡ 0 sao cho sup zPK |fpzq| ¤ C sup zPG vpzq|fpzq| vîi méi f P Hv8pGq. Do â }δz}1 v ¤ C vîi méi z P K.

(iv) ñ(ii). Cè ành tªp compactK trongGv °tM : sup

zPK }δz}1v. N¸u f P Hv8pGq thäa m¢n }f}v ¤ 1, th¼ |fpzq| ¤ }δz}1 v ¤ M vîi måi z P K. Suy ra sup zPK|fpzq| ¤ M}f}v vîi måi f P Hv8pGq. Do â J : Hv8pGq Ñ pHpGq, τcoq l li¶n töc.

Nhªn x²t 2.2.1 ([10]). Nh÷ mët h» qu£ cõa phi¶n b£n Ptak v· ành lþ ç thà âng [[16], ành lþ 4, trang 301], n¸u Hv8pGq l khæng gian ành chu©n khæng ¦y õ, th¼ nâ khæng l thòng, tùc l tçn t¤i c¡c tªp bà ch°n theo tæpæ *-y¸u trong khæng gian tæpæ èi ng¨u nh÷ng khæng bà ch°n theo chu©n.

ành lþ 2.2.1 ([10]). Cho v : G Ñ r0,8s l mët trång bà ch°n tr¶n mi·n ph¯ng G sao cho khæng gian Hv8pGq l ành chu©n. Khæng gian Hv8pGq l ¦y õ n¸u v ch¿ n¸u câ mët trång rv bà ch°n, li¶n töc v d÷ìng thüc sü sao cho Hv8pGq Hrv8pGq.

Chùng minh. Rã r ng, n¸u rv l trång bà ch°n, li¶n töc, d÷ìng thüc sü tr¶n G, th¼ khæng gian Hrv8pGq l khæng gian Banach. Ta chùng minh i·u ng÷ñc l¤i.

V¼ v bà ch°n tr¶n G n¶n tçn t¤i M ¡ 0 sao cho 0¤ vpzq ¤M vîi måi

z P G. Do â h m f0pzq : 1

M, z P G, thuëc Hv8pGq v }f0}v ¤ 1.

Gi£ sû Hv8pGq l ¦y õ. Bði M»nh · 2.2.1, vîi méi z P G ta câ

δz P Hv8pGq1 v }δz}1 v ¥ |f0pzq| 1 M ¡ 0. Ta °t r v : 1 }δz}1 v , z P G.

Bði ¡nh gi¡ tr¶n, 0 rvpzq ¤ M vîi måi z P G. Hìn núa, vpzq ¤ rvpzq vîi måi z P G. Thªt vªy, n¸u vpzq 0 th¼ b§t ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng. N¸u vpzq ¡ 0 v g P Hv8pGq thäa m¢n }g}v ¤ 1, th¼ |gpzq| ¤ 1

vpzq. Do â 1

vpzq ¤ 1

B¥y gií ta chùng minh Hv8pGq Hrv8pGq. Thªt vªy, n¸u f P Hv8pGq vîi }f}v ¤ 1, th¼ rvpzq|fpzq| ¤ 1 vîi måi z P G. V¼ vªy f P Hrv8pGq v }f}rv ¤ 1. Suy ra Hv8pGq Hrv8pGq vîi ph²p nhóng li¶n töc, gi£m theo chu©n.

Ta chùng minh trång rv l li¶n töc. Thªt vªy, x²t ¡nh x¤ ∆ : G Ñ

Hv8pGq1, ∆pzq : δz x¡c ành v bà ch°n àa ph÷ìng bði v¼ vîi måi z P G

câ mët l¥n cªn compact v k¸t luªn suy ra tø i·u ki»n (iv) cõa M»nh · 2.2.1. Vîi méi f P Hv8pGq Hv8pGq2, ¡nh x¤ Tf∆ : GÑ C, z Ñ fpzq l ch¿nh h¼nh tr¶n G. Bði ành lþ 1.2.12, h m gi¡ trà v²ctì ∆ : G Ñ Hv8pGq1

}∆pzq}1

v li¶n töc. ành lþ ÷ñc chùng minh.

Nhªn x²t 2.2.2 ([10]). (1) Mët trångv tr¶n Gl bà ch°n n¸u v ch¿ n¸u h m h¬ng f 1 P Hv8pGq, n¸u v ch¿ n¸u måi h m bà ch°n tr¶n G

thuëc Hv8pGq. Trong tr÷íng hñp n y Hv8pGq l khæng t¦m th÷íng. (2) Gi£ sû tçn t¤i mët iºm z0 P Ev v h¼nh c¦u Bpz0, r0q : tz P C :

|z z0| r0u Ev, r0 ¡ 0, sao cho wprq : supt 1

vpzq |z z0| ru,

0 r r0 thäa m¢n lim

rÑ0

wprq

rn 0 vîi méi n P N. Khi â Hv8pGq t0u. Thªt vªy, n¸u f P Hv8pGq v khai triºn Taylor cõa fpzq trong

Bpz0, r0q l fpzq °8n0anpzz0qn, th¼ theo ¡nh gi¡ Cauchy ta câ |an| ¤ }f}vwprq

(3) Chonl sè nguy¶n d÷ìng b§t k¼, khæng gianHv8pGqcâ thº l n-chi·u, ½t nh§t trong tr÷íng hñp G C. V½ dö,

vpzq : minp1,|z|1

2nq, z P C.

Vîi|z| ¡ 1th¼v |z|1

2n.Theo ¡nh gi¡ Cauchy th¼|fpzq| ¤ C|z|n1 2, do â Hv8pCq ch¿ bao gçm c¡c a thùc câ bªc lîn nh§t n1.

(4) Gi£ sû v bà ch°n àa ph÷ìng, tùc l , vîi méi z P G tçn t¤i rpzq ¡ 0

sao cho Bpz, rpzqq G v suptvpζq : ζ P Bpz, rpzqqu 8. N¸u

Hv8pGq t0u, th¼ }δz}1

v ¡ 0vîi måi z P G v δz P Hv8pGq1. Thªt vªy, n¸u tçn t¤i h m kh¡c khæng f0 P Hv8pGq sao cho f0pz0q 0 v k l bªc cõa khæng iºm z0 cõa f0, th¼ d¹ th§y

g0 : f0pzq

pz z0qk, z P G,

thuëc Hv8pGq v g0pz0q 0.

(5) N¸u v bà ch°n àa ph÷ìng v sè chi·u cõa Hv8pGq nhä nh§t l 2, th¼ Hv8pGq t¡ch iºm cõa G. Thªt vªy, l§y z1 z2 trong G. N¸u

kerpδz1q t0u trong Hv8pGq, th¼ chi·u cõa Hv8pGq l 0 ho°c 1, bði

kerpδz1q l si¶u ph¯ng cõa Hv8pGq. Trong tr÷íng hñp kh¡c, tçn t¤i h m kh¡c khæng f P Hv8pGq sao cho fpz1q 0. N¸u fpz2q 0 ta câ i·u ph£i chùng minh. Tr÷íng hñp fpz2q 0 v k l bªc cõa khæng iºm z2 cõa fpzq, th¼ ta l§y gpzq : fpzq

pzz2qk P Hv8pGq º t¡ch iºm z1

v z2.

Mët c¡ch tü nhi¶n, ta s³ x²t tæpæ τ tr¶n Hv8pGq k¸t hñp sü hëi tö tr¶n c¡c tªp con compact cõa G vîi sü hëi tü ·u tr¶n Ev sinh bði 1

v. Chån mët d¢y cì b£n pKnqn c¡c tªp con compact cõa G v ành ngh¾a d¢y c¡c

chu©n

}f}n : sup

zPKn|fpzq| }f}v, f P Hv8pGq, n P N.

D¹ th§y pHv8pGq, τq l khæng gian Fr²chet, tæpæ τ màn hìn tæpæ compact mð τco v công màn hìn tæpæ τv sinh bði nûa chu©n } }v. Thüc t¸, nâ l tæpæ y¸u nh§t màn hìn hai tæpæ n y. K¸t qu£ ti¸p theo giîi thi»u mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa tæpæ n y. Nhc l¤i, mët tæpæ lçi àa ph÷ìng σ tr¶n mët khæng gian X l kh£ ành chu©n n¸u câ mët chu©n } } trong khæng gian sao cho tæpæ σ tròng vîi tæpæ sinh bði chu©n} }. Khæng gian pX, σq l kh£ ành chu©n n¸u v ch¿ n¸u câ mët σ-li¶n töc (nûa)chu©n p tr¶n X

thäa m¢n qpxq ¤ Cppxq vîi méi x P X.