Định lí:Cho tam giác . Lấy là trung điểm của . Qua kẻ các đường thẳng cắt tại , đường thẳng cắt tại . Gọi cắt tại . Khi đó ta có là trung điểm cưa
Chứng minh:
Áp dụng định lí menelaus trong tam giác ta có các hệ thức sau:
(1) (2) từ (1) và (2) ta có:
Chứng minh:
Gọi X, Y, Z là lần lượt là các giao điểm của các cặp cạnh BC và B’C’, CA và C’A’, AB và A’B’ . Phần thuận:
Giả sử các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy tại S. Ta chứng minh X, Y, Z thẳng hàng. Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác SBC với cát tuyến XB'C' ta có:
hay Tương tự, ta có:
và
Nhân từng vế các đẳng thức trên lại với nhau, và theo định lí Menelaus suy ra X, Y, Z thẳng hàng. Phần đảo:
Giả sử các điểm X, Y, Z thẳng hàng. Ta chứng minh các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy. Gọi S là giao điểm của AA’ và BB’. SC cắt đường thẳng AC’ tại C”.
Xét 2 tam giác ABC và A’B’C” có các đường nối các đỉnh tương ứng đồng quy, do đó theo phần thuận giao điểm của các cạnh tương ứng cũng đồng quy.
Ta thấy AB cắt A’B’ tại Z, AC cắt A’C” tại Y (do A’, C’, C” thẳng hàng), suy ra giao điểm X’ của BC và B’C” phải thuộc YZ. Tức là X’ là giao của YZ và BC nên X’ trùng với X.
I.40 Định Lí Blaikie
Định lí: Cho tam giác ABC và đường thẳng d sao cho d cắt BC,CA,AB lần lượt ở M,N,P. Gọi S là 1
điểm bất kì trên d. Gọi M',N',P' lần lượt là điểm đối xứng của M,N,P qua S. Khi đó AM',BN',CP' đồng quy tại một điểm P và ta gọi P là điểm Blaikie của d và S đối với tam giác ABC.
Chứng Minh :
Có thể cho nằm giữa .
Giả sử cắt tại . Ta chứng mình thẳng hàng .
Xét tam giác với điểm . Ta cần cm :
Xét tam giác với điểm thẳng hàng trên cạnh :
(1)
Xét tam giác với điểm thẳng hàng trên cạnh :
thẳng tỉ lệ.
Chứng minh: