: ANPH AA ANPHA = ANPH AA +
f nên phơng trình có duy nhất nghiệm trong khoảng (0, )
khoảng (0, )
2π . π .
Hiển nhiên '( ) sin sin( ) 1 2
g x = − x < π ε− < với mọi (0, ) 2
x∈ π ε− với ε đủ nhỏ nên dãy xn+1=cosxn hội
tụ trong khoảng (0, ) 2 π ε− .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS:
ấn phím MODE MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian). Khai báo g x( ) cos= x: cos ALPHA X
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x0=1.5 và bấm phím = . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x=0,739085133 radian.
Dãy lặp trên máy Casio fx-500 MS hoặc Casio fx-570 MS:
Bấm phím MODE MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian) trên Casio fx-570 MS hoặc MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian) trên Casio fx-500 MS.
Khai báo giá trị ban đầu x0 =1.5: 1.5 và bấm phím = . Khai báo xn+1=g x( n) cos= xn: cos Ans
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x=0.739085133.
Thí dụ 5.Tìm nghiệm gần đúng của phơng trình x3−3x+ =1 0.
Vì f( 2)− = −1, f( 1) 3− = , f(1)= −1,f(2) 3= và x3−3x+ =1 0 là phơng trình là bậc 3 nên nó có đúng 3 nghiệm trong các khoảng ( 2, 1)− − , ( 1,1)− ,(1, 2).
Phơng trình trên tơng đơng với x=33x−1. Xét khoảng ( 2, 1)− − . Đặt g x( )=33x−1. Ta có 3 2 3 1 1 '( ) 1 16 (3 1) g x x = < <
− nên dãy xn+1=33xn−1 hội tụ trong khoảng ( 2, 1)− − .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: ấn phím MODE 1 (tính theo số thực).
Khai báo g x( )= 33x−1: SHIFT 3 ( 3ì ALPHA X − 1)
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x0= −1 và bấm phím = . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x1≈ −1,879385242.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu x0 = −1: − 1 và bấm phím = .
Khai báo 3
1 ( ) 3 1
n n n
x+ =g x = x − : SHIFT 3 ( 3ì Ans − 1)Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x1≈ −1,879385242. Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x1≈ −1,879385242. Vậy một nghiệm gần đúng là x1≈ −1,879385242.
Dùng sơ đồ Horner để hạ bậc, sau đó giải phơng trình bậc hai ta tìm đợc hai nghiệm còn lại là: 1,53208886
x≈ và x≈0,3472963.
Chú ý: Để tính nghiệm x2≈0,3472963 ta không thể dùng phơng trình tơng đơng x=33x− =1 g x( ) nh trên vì 3 2 1 '( ) (3 1) g x x =
− không thỏa mãn điều kiện g x'( ) ≤ <q 1 trong khoảng (0,1) và dãy lặp
3
1 3 1
n n
x+ = x − không hội tụ (Hãy thử khai báo giá trị ban đầu x=0,3472963 và thực hiện dãy lặp
3
1 3 1
n n
x+ = x − theo quy trình bấm phím trên, ta sẽ thấy dãy lặp hội tụ tới x1≈ −1,879385242).
Nhận xét 1: Có thể giải phơng trình x3−3x+ =1 0 trên Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-570 MS theo chơng trình cài sẵn trên máy, quy trình bấm phím sau:
Vào MODE giải phơng trình bậc ba: MODE MODE 1 > 3 Khai báo hệ số: 1 = 0 = (-) 3 = 1 =
Máy hiện đáp số x1=1.53088886.
Bấm tiếp phím = , máy hiện x2= −1.879385242. Bấm tiếp phím = , máy hiện x3=0.347296355. Vậy phơng trình có ba nghiệm thực
1 1.53088886
x = ;x2= −1.879385242; x3=0.347296355.
Thí dụ 6. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số f x( )= − +x3 3x2−1 với trục hoành (chính xác đến 10−7).
Giải: Giao điểm của đồ thị hàm số f x( )= − +x3 3x2−1 với trục hoành chính là nghiệm của phơng trình
3 2
( ) 3 1 0
f x = − +x x − = .
Vì f( 1) 3− = , f(0)= −1, f(1) 1= , f(2,5) 2,125= và f(3)= −1 nên phơng trình có 3 nghiệm trong các khoảng ( 1;0)− ,(0;1)và (2,5;3).
Đặt g x( )=33x2−1 thì 3 2 2 2 '( ) (3 1) x g x x = − và g x'( ) <0,9 1< .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: Bấm phím MODE 1 (tính theo số thực).
Khai báo g x( )= 33x2−1: SHIFT 3 ( 3ì ALPHA X x2 − 1)
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x0=2,7 và bấm phím = . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta đi đến nghiệm x≈2,879385242.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu x0 =2,7: 2.7 = .
Khai báo 3 2
1 ( ) 3 n 1
n n
x+ =g x = x − : SHIFT 3 ( 3ì Ans x2 − 1)Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x≈2,879385242. Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x≈2,879385242. Vậy một nghiệm gần đúng là x≈2,879385242.
Hai nghiệm còn lại có thể tìm bằng phơng pháp lặp hoặc phân tích ra thừa số rồi tìm nghiệm của ph- ơng trình bậc hai hoặc một lần nữa dùng phơng pháp lặp.
Bài tập
Bài tập 1. Tìm khoảng cách ly nghiệm của các phơng trình sau đây:
1) x4−4x− =1 0; 2) x3−9x2+18x− =1 0; 3) lgx− + =3x 5 0.
Bài tập 2 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Tp. HCM, 24.11.1996). Giải phơng trình (tìm nghiệm gần đúng của phơng trình):
1) x3−7x+ =4 0; 2) x3+2x2−9x+ =3 0; 3)32x5+32x−17 0= ;4)x6−15x−25 0= ; 5)2x5−2cosx+ =1 0; 6)x2+sinx− =1 0; 4)x6−15x−25 0= ; 5)2x5−2cosx+ =1 0; 6)x2+sinx− =1 0; 7) 2cos3x−4x− =1 0; 8) 2 1 0 ( 0)
2
x −tgx− = − < <π x ; 9) Cho − < <1 x 0.
Tìm một nghiệm gần đúng của cosx tg x+ 3 =0;
10) (Câu hỏi thêm cho trờng chuyên Lê Hồng Phong): 10a) x4−x2+7x+ =2 0 ; 10b) x−6x− =1 0.
Bài tập 3 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Hà Nội, 18.12.1996). Tìm một nghiệm gần đúng của phơng trình:
1) x3+5x− =1 0; 2) x6−15x−25 0= ; 3) x9+ −x 10 0= ;
4) x−6x− =1 0; 5) x3−cosx=0; 6) cot 0 (0 )2 2
x− gx= < <x π ;7) Tìm một nghiệm gần đúng (lấy 3 số lẻ) của phơng trình: x2−tgx− =1 0; 7) Tìm một nghiệm gần đúng (lấy 3 số lẻ) của phơng trình: x2−tgx− =1 0;
8) Tìm một nghiệm gần đúng (lấy 2 số lẻ thập phân) của: x2+sinx− =1 0.
Bài tập 4 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Đồng Nai, 15.2.1998). Tìm một nghiệm gần đúng của phơng trình:
1) x3+5x− =2 0; 2) x9+ − =x 7 0; 3) x+7x− =1 0; 4) x+7x− =2 0.
Bài tập 5 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Tp. HCM, 15.3.1998). Tìm một nghiệm gần đúng của phơng trình:
1) 3x−28x− =5 0; 2) x5−2x−sin(3x− + =1) 2 0;
3) Tìm nghiệm âm gần đúng của phơng trình: x10−5x3+2x− =3 0; 4) (Câu hỏi thêm cho trờng chuyên Lê Hồng Phong):
Tìm một nghiệm gần đúng của phơng trình 2x+ +3x 5x =11x.
Bài tập 6. Tìm nghiệm gần đúng của phơng trình trên máy tính điện tử bỏ túi: 1) x3+3x2− =3 0; 2) x3− − =x 1 0; 3)x3+5x− =1 0; 4) 5x3−20x+ =3 0; 5) 8x3+32x−17 0= ; 6) x5− −x 0, 2 0= ; 7) x3+ −x 1000 0= ; 8) x7+5x− =1 0; 9) x16+ − =x 8 0; 10) x− x=1; 11) 5x− x− =3 0; 12) x 1 1 x + = ; 13) x−3x=1; 14) 3x−26x− =5 0; 15) 3x−28x− =5 0 16) 4x+5x =6x; 17) 13x+11x =19x; 18) 2x+ +3x 4x =10x;
19) x3+logx− =2 0; 20) 2cosx e− x =0; 21)cos log (0 )2 2 x x x π = < < ; 22) cosx tgx− =0. --- Hết ---