Bài 1. a) Giải phơng trình : x2−3x+ +2 x+ =3 x2+2x− +3 x−2. b) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : x + xy + y = 9
Bài 2. Giải hệ phơng trình : 23 32 1 3 x y xy x y x y + + = + = + {M}
Bài 3. Cho mời số nguyên dơng 1, 2, …, 10. Sắp xếp 10 số đó một cách tùy ý vào một hàng. Cộng mỗi số với số thứ tự của nó trong hàng ta đợc 10 tổng. Chứng minh rằng trong 10 tổng đó tồn tại ít nhất hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau.
Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P 4a 3b or 5b 16c
b c a a c b a b c
= + +
+ − + − + − Trong
đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Bài 5. Đờng tròn (C) tâm I nội tiếp ∆ ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tơng ứng tại A’, B’, C’ .
a) Gọi các giao điểm của đờng tròn (C) với các đoạn IA, IB, IC lần lợt tại M, N, P. Chứng minh rằng các đờng thẳng A’M, B’N, C’P đồng quy.
b) Kðo dài đoạn AI cắt đờng tròn ngoại tiếp ∆ ABC tại D (khác A). Chứng minh rằng IB IC. r
ID = trong đó r là bán kính đờng tròn (C) .
Bài 1. a) Giải phơng trình : 8+ x + 5− x =5 b) Giải hệ phơng trình :{ 1 1 8 1 1 17 ( )( ) ( ) ( ) x y x x+ + =y y xy + + + + =
Bài 2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phơng trình x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 vô nghiệm.
Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n2 + 2002 là một số chính phơng.
Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểt thức: 1 1 1
1 1 1
S
xy yz zx
= + +
+ + + Trong đó x, y, z là các số dơng thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 ≤ 3.
Bài 5. Cho hình vuông ABCD. M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M không trùng với B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N không trùng D) sao cho ∠ MAN = ∠
MAB + ∠ NAD.
a) BD cắt AN, AM tơng ứng tại p và Q. Chứng minh rằng 5 điểm P, Q, M, C, N cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh rằng đờng thẳng MN luôn luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định khi M và N thay đổi.
c) Ký hiệu diện tích của ∆ APQ là S và diện tích tứ giác PQMN là S’. Chứng minh rằng tỷ số
'
S
S không đổi khi M, N thay đổi.