( lớp 9, thời gian: 150’)
Bài 1(3,5đ):
1. Gọi x1, x2 la nghiệm của phơng trình x2 + 2004x + 1 = 0 và x3, x4 là nghiệm của phơng trình x2 + 2005 x +1 =0. Tính giá trị của biểu thức: ( x1+x3)(x2+x3)(x1-x4)(x2-x4).
2. Cho a,b,c là các số thực và a2 + b2 < 1. Chứng minh:phơng trình (a2+b2-1)x2 -2(ac + bd -1)x +c2+d2 -1 =0 luơn cĩ nghiệm.
Bài 2 (1,5đ):
Cho hai số tự nhiên m và n thoả mãn
m n n
m+1+ +1là số nguyên. chứng minh rằng: ớc chung lớn nhất của m và n khơng lớn hơn m=n
Bài 3 (3đ):
Cho hai đờng trịn (O1), (O2) cắt nhau tại A & B. Tiếp tuyến chung gần B của hai đờng trịn lần lợt tiếp xúc với (O1), (O2) tại C & D. Qua A kẻ đờng thẳng song song với CD, lần lợt cắt (O1), (O2) tại M & N. Các đờng thẳng BC,BD lần lợt cắt đờng thẳng MN tại P & Q; các địng thẳng CM, DN cắt nhau tại E. Chứng minh:
a Đờng thẳng AE vuơng gĩc với đờng thẳng CD. b. Tam giác EPQ là tam giác cân.
Bài 4 (2đ):
Giải hệ phơng trình: x+y = 1 x5 + y5 =11
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 (năm học 2003-2004)
Câu 1: (3đ) Cho hệ pt với tham số a: x+4y = x
y + x−a =1 a. giải hệ pt khi a=-2
b. tìm các giá trị của tham số a để hệ pt cĩ đúng hai nghiệm
Câu 2(2đ):
a. cho x,y,z là các số thực khơng âm thoả mãn x=y=z = 1. Tìm giá trị max của biểu thức: A= -z2+z(y+1) +xy b.Cho tứ giác ABCD (cạnh AB,CD cĩ cùng độ dài) nội tiếp đờng trịn bán kính 1. Chứng minh: nếu tứ giác ABCD ngoại tiếp đờng trịn bán kính r thì r
2 2 ≤ .
Câu 3(2đ):
Tim tất cả các số nguyên dơng n sao cho phơng trình: 499(1997n +1) = x2 +x cĩ nghiệm nguyên.
Câu 4 (3đ):
Cho tam giác ABC vuơng tại C. đờng trịn (O) đờng kính CD cắt AC & BC tại E & F( D là hình chiếu vuơng gĩc của C lên AB). Gọi M là giao điểm thứ hai của đờng thẳng BE với (O), hai đờng thẳng AC, MF cắt nhau tạiK, giao điểm của đờng thẳng EF và BK là P.
a. chứng minh bốn điểm B,M,F,P cùng thuộc một đờng trịn.
b. giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng. tính số đo gĩc của tam giác ABC.
c. giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng, gọi O là trung điểm của đoạn CD. Chứng minh rằng CM vuơng gĩc với đ- ờng thẳng nối tâm đơng trịn ngoại tiếp tam giác MEO với tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác MFP.