Sau khi tìm được ma trận độ cứng [K*]I cho từng phần tử của hệ, ta có thể xác
định được ma trận độ cứng [K*] cho toàn kết cấu theo công thức quen biết ] H ][ K [ ] H [ ] * K [ = T *g (2.18)
Lúc này hệ phương trình cân bằng dùng để xác định các ẩn số chuyển vị nút của kết cấu có dạng: } P { } q ]{ * K [ = (2.19)
Phương trình được gọi là phương trình ma trận độ cứng của hệ.
Trong phương trình các phần tử của ma trận [K*] không những phụ thuộc vào các thông số hình học của kết cấu, mà còn phụ thuộc vào trạng thái ứng suất – biến dạng của hệ. Cho nên việc giải phương trình hết sức phức tạp. Nói chung ta không thể
giải một cách chính xác dưới dạng đóng mà phải dùng các thuật toán đúng dần. Dưới
đây ta hãy xét những phương pháp đúng dần thường dùng hơn cả.
Đối với vật liệu phi tuyến,ma trận cơ bản [D] không phải là hằng số và nó biến
đổi theo theo trạng thái ứng suất.Điều này dẫn tới ma trận độ cứng cả hệ cũng không là hằng số.Để thu được lời giải ,điều kiện biên được tác dụng theo từng bước tăng. Phương trình trên được giải cho từng bước gia tăng:
[KG]i{∆d}inG={∆RG}i (2.20) Trong đó:
[KG]I độ cứng gia tăng của ma trận độ cứng tổng thể
{∆d}i
nG chuyển vị gia tăng của vecto chuyển vị nút {∆RG}i tải trọng gia tăng của vecto lực nút
i chỉ số bước gia tăng
Lời giải cuối cùng nhận được bằng phép lấy tổng của kết quả mỗi bước gia tăng.Ma trận độ cứng tổng thể phụ thuộc vào trang thái ứng suất và mức biến dạng không chỉ biến đổi giữa các bước gia tăng mà còn trong cả mỗi bước gia tăng.Thuật toán Newton-Raphson thường được dung để phân tích phi tuyến này.
cứng ban đầu K0 được tính từ trạng thái ứng suất ban đầu. Bước gia tăng chuyển vị ∆d1
đầu tiên được xác định. Chuyển vị này được dung để xác định biến dạng gia tăng tại mỗi điểm tích phân. Sau đó, mô hình cơ bản được tích phân theo đường gia tăng của biến dạng và xác định được ứng suất thay đổi. Lượng ứng suất thay đổi này được cộng vào ứng suất ban đầu của bước gia tăng và được dùng để xác định các lực nút tương
đương. Sự sai khác giữa các nút tương đương này với lực nút gây ra bởi tải trọng tác dụng được gọi là vector tải trọng dưψ1.Phương trình dưới được giải lại trong bước lặp tiếp với vector tải trọng dư và thiết lập được vecto gia tăng tiếp theo:
[KG]i({∆d}inG)j={ψ}j-1 (2.21) Trong đó:
j bước lặp
(ψ) vecto tải trọng dư
({∆d}i
nG)j chuyển vị gia tăng của vecto chuyển vị nút.
Đối với lần lặp đầu tiên,ψ0được xác định như sau: {Ψ}0 = {∆RG}i (2.65)
Quá trình được lặp lại cho tới khi mức độ hội tụ cần thiết nhận được.
Chuyển vị gia tăng được xác định bằng tổng chuyển vị của các bước lặp.Tiêu chuẩn hội tụ thường được kiểm tra cho chuyển vị ({∆d}i
nG)j và vecto dư {ψ}j .
2.4. Phân tích bất ổn định phi tuyến
Phân tích bất ổn định phi tuyến sử dụng phân tích tĩnh phi tuyến với tải tăng dần
để tìm kiếm mức tải mà tại đó cấu trúc bắt đầu bất ổn định.
Để tiến hành phân tích bất ổn định phi tuyến, cần xét đến các yếu tố như sự
không hoàn hảo ban đầu của kết cấu, ứng xử dẻo, tiếp xúc, đáp ứng biến dạng lớn, và các ứng xử phi tuyến khác.
Hình 2. 6. Đồ thị tải chuyển vị với điểm bắt đầu bất ổn định
Trong phân tích bất ổn định phi tuyến, mục tiêu cần xác định là điểm giới hạn
đầu tiên (tải trọng tối đa trước khi nghiệm trở nên không ổn định).
Phân tích bất ổn định phi tuyến cho kết quả chính xác hơn so với phân tích tìm dạng riêng bất ổn định và thường được khuyên dùng cho việc thiết kế hoặc đánh giá các kết cấu .
Phân tích hậu bất ổn định (post-buckling) cũng có thể được mô hình trong phân tích bất ổn định phi tuyến.
Hình 2. 7Đồ thị tải chuyển vị với hai giai đoạn bất ổn định phi tuyến (nonlinear buckling) và hậu bất ổn định (post-buckling)
Quá trình thực hiện phân tích bất ổn định phi tuyến tương tự như hầu hết các phân tích bài toán phi tuyến khác, kèm theo các bổ sung sau:
• Một tải gây nhiễu nhỏ (như một lực nhỏ) hoặc sự không hoàn hảo hình học của kết cấu thường là điều kiện bắt buộc để sự bất ổn định bắt đầu xảy ra.
• Có thể sử dụng dạng riêng bất ổn định từ phân tích bất ổn định tuyến tính
để tạo ra một sự không hoàn hảo hình học ban đầu của kết cấu.
• Tải tác dụng phải được đặt với một giá trị cao hơn một chút (10 đến 20%) so với tải trọng tới hạn được dựđoán bởi phân tích bất ổn định tuyến tính.
• Việc phân tích phải được thực kèm theo các yếu tố phi tuyến hình học.
• Với bài toán đối xứng, có thể mô hình hóa một phần kết cấu để dự đoán hình dạng bất ổn định của kết cấu đối cứng.
Một số lưu ý khi áp tải gây nhiễu hay sự không hoàn hảo hình học của kết cấu ban đầu:
• Độ lớn của tải gây nhiễu hay sự không hoàn hảo hình học của kết cấu ban
đầu sẽảnh hưởng đến kết quả phân tích bất ổn định phi tuyến.
• Tải gây nhiễu hay sự không hoàn hảo hình học của kết cấu ban đầu sẽ loại bỏ sự bất liên tục dạng mạnh trong đáp ứng tải-chuyển vị.
• Giá trị của sự không hoàn hảo hình học của kết cấu (hoặc không hoàn hảo
được tạo ra bởi tải gây nhiễu) phải nhỏ so với kích thước tổng thể của kết cấu.
• Giá trị này phải phù hợp với kích thước của sự không hoàn hảo (thực hoặc theo các quy ước) trong kết cấu thực.
• Các giá trị dung sai trong quá trình sản xuất có thểđược sử dụng để ước tính cường độ của tải gây nhiễu hay sự không hoàn hảo hình học của kết cấu.
Tải bất ổn định có thểđược xác định bằng cách phân tích đường cong tải-chuyển vị.
Đoạn tuyến tính của đường cong phẳng (hoặc gần tuyến tính) thể hiện sự bất ổn
định bắt đầu xảy ra. Độ cứng tiếp tuyến sẽ tiếm cận đế giá trị không khi cấu trúc bắt
đầu bất ổn định.
Cần chú ý rằng khi lời giải không hội tụ không nhất thiết có nghĩa là cấu trúc đã
CHƯƠNG 3: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN MÔ PHỎNG
3.1 Giới thiệu ANSYS
Phần mềm ANSYS là một chương trình tính toán kết cấu hiệu năng cao đã được áp dụng để giải các bài toán cơ học đa dạng trong hơn 20 năm qua.
Điểm mạnh của ANSYS là công nghệ bộ giải cao cấp của nó - mấu chốt để đạt được các lời giải tin cậy và chính xác, nhanh chóng và mạnh mẽ. Bộ giải hiện đại, giải song song tốt là nền tảng cho sự lựa chọn phong phú các mô hình vật lý cho phép mô tả gần như tất cả các hiện tượng liên quan đến cơ học. Bộ giải và nhiều mô hình vật lý của nó
được gói trong một giao diện đồ họa (GUI) và môi trường người dùng hiện đại, trực quan và linh hoạt, với các khả năng mở rộng cho tùy biến và tựđộng hóa dùng các file ghi lệnh thực thi (session), ngôn ngữ script và ngôn ngữ biểu thức mạnh mẽ.
Các tính năng chính
• Mô hình kết cấu
• Đặt điều kiện biên và lực • Giải bài toán bất ổn định
• Mô phỏng ứng xử của tấm
• Các đặc tính vật liệu
• Tương tác lực và chuyển vị
3.2 Phần tử SHELL181 trong ANSYS
SHELL181 phù hợp để phân tích các cấu trúc vỏ mỏng đến dày vừa phải. Nó là một phần tử bốn nút với sáu bậc tự do tại mỗi nút: dịch chuyển theo các hướng x, y và z, và xoay quanh các trục x, y và z. (Nếu tùy chọn được sử dụng, phần tử chỉ có mức độ tự do tịnh tiến).
SHELL181 rất phù hợp cho các ứng dụng phi tuyến tính tuyến tính, xoay lớn và/hoặc biến dạng lớn. Thay đổi độ dày vỏđược tính trong các phân tích phi tuyến.
Các phần tử thành phần dựa trên biến dạng logarit và các biện pháp true stress. Tuy nhiên, thay đổi độ cong trong khoảng thời gian tăng được giảđịnh là nhỏ.
Hình dưới đây cho thấy hình dạng, vị trí nút và hệ tọa độ phần tử cho phần tử này. Phần tửđược xác định bởi thông tin phần vỏ và bởi bốn nút (I, J, K và L).
Hình 3. 1 Shell181
3.3 Mô hình tính toán
1.10.43.3.1 Phân tích bất ổn định bài toán tấm có lỗ
3.3.1.1 Mô tả bài toán
Xét một tấm composite 9.5 in vuông có lỗ tròn bán kính 1.5 in. Bố cục phương sợi là
[30] ± 3s, với tổng cộng 12 lớp, đối xứng với mặt phẳng giữa và hướng của các lớp
xen kẽ giữa 30 and - 30. Mỗi lớp có các module EL=18.5 10× 6psi, ET =1.6 10× 6psi,
và GLT =0.832 10× 6psi, và hệ số Poisson’s là νT=0.35. Mỗi lớp dày 0,01 in, tổng độ
dày là 0,12 in. Dọc theo cạnh phải của tấm, tải trọng tập trung dọc trục 12.000 lb được
đưa vào qua một đầu cứng. Ngàm cạnh trái (chuyển vị và xoay). Dọc theo các cạnh ngang, chuyển vị trong mặt phẳng và xoay các cạnh này được cho phép. Để có ứng xử
phi tuyến, một sự không hoàn hảo hình sin với biên độ 10% của tổng độ dày lớp phủ được sử dụng như sau: 0,012sin( )sin( ) 9.5 9.5 x y z= π π (3.1) Mục tiêu là để tìm được sự biến thiên chuyển vị z tại các điểm A (4.75, 6.25, 0) và B (6.25, 4.75, 0), và chuyển vị x tại điểm C (9.5, 4.75, 0) khi áp dụng tải tăng.
Hình 3. 2 Mô hình tấm phẳng có lỗ
3.3.1.2 Xây dựng mô hình CAD
Từ mô hình bài toán, xây dựng theo CAD:
• Chọn loại phần tử shell181.
et,1,shell181 !Chon loai phan tu
• Nhập vào thông số vật liệu.
mp,ex,1,18.5e6 !Thong so vat lieu mp,ey,1,1.6e6 mp,ez,1,1.6e6 mp,gxy,1,0.832e6 mp,prxy,1,0.35 mp,gyz,1,0.533e6 Biến cứng
mp,pryz,1,0.5 mp,gxz,1,0.832e6 mp,prxz,1,0.35
sect,1,shell !Chon dang tam
• Nhập phương của sợi vật liệu
A=30 !Goc vat lieu
secdata,0.01,1,A !Do day tung lop va goc vat lieu secdata,0.01,1,-A secdata,0.01,1,A secdata,0.01,1,-A secdata,0.01,1,A secdata,0.01,1,-A secdata,0.01,1,A secdata,0.01,1,-A secdata,0.01,1,A secdata,0.01,1,-A secdata,0.01,1,A secdata,0.01,1,-A • Tạo mô hình vuông cạnh 9.5 với lỗ tròn bán kính 1.5 ở giữa k,1,0 !tao nut k,2,9.5 k,3,9.5,9.5 k,4,0,9.5
a,1,2,3,4 !tao tam cyl4,4.75,4.75,1.5 !tao hinh tron
asba,1,2 !tao tam co lo
Hình 3. 3 Mô hình CAD
3.3.1.3 Chia lưới mô hình
• Chia cạnh tấm thành 10 phần tử.
lsel,s,,,1,4 !chia canh lesize,all,,,10
• Chia đường tròn lỗ thành 20 phần tử. lsel,s,,,5,8
lesize,all,,,5
amesh,all !chia luoi
Hình 3. 4 Chia lưới mô hình
3.3.1.4 Thiết lập giải bài toán
¾ Tuyến tính
• Giải bài toán tĩnh /solu
antype,static !giai bai toan tinh pstress,on !bat ma tran ung suat
nsubst,200 !so buoc tai = 200
• Giải bất ổn định tuyến tính /solu
antype,buck !giai bat on dinh tuyen tinh tuyen bucopt,subsp,10 !giai 10 mode dau tien
solve finish
• Phi tuyến
Định nghĩa số pi pi=4*atan(1)
• Lấy giá trị nút lớn nhất để khởi tạo vòng lập nhập sự không hoàn hảo về hình học z
*get,nnumber,node,0,num,max
• Tạo vòng lập để xác định lại các nút với z mới
*do,i,1,nnumber !vong lap i chay tu 1 toi gia tri lon nhat cua nut o tren *get,tmpx,node,i,loc,x !lay gia tri x cua node
*get,tmpy,node,i,loc,y !lay gia tri y cua node
tmpz=sin(pi*nx(i)/9.5)*sin(pi*ny(i)/9.5)*0.012 !ham khong hoan hao hinh hoc n,i,nx(i),ny(i),tmpz !xac dinh lai gia tri nut
*enddo !ket thuc vong lap Finish
• Giải bài toán phi tuyến /solu
antype,static
outres,all,all nsubst,100
3.3.1.5 Thiết lập điều kiện biên
• Tấm được ngàm cạnh trái.
nsel,s,loc,x,0 !chon diem co toa do x=0 d,all,all !ngam
• Khóa góc xoay theo phương y và chuyển vị theo phương z của 3 cạnh trên, dưới, phải.
nsel,a,loc,y,9.5 !chon diem co toa do y=9,5 d,all,uz,0 !khoa chuyen vi truc z d,all,roty,0 !khoa xoay y
• Khóa xoay theo phương x của cạnh phải.
nsel,s,loc,y,0 !chon diem co toa do y=0 nsel,s,loc,x,9.5 d,all,rotx,0 d,all,roty,0 d,all,rotz,0 • Làm cứng cạnh phải. nsel,s,loc,x,9.5
cp,1,ux,all !bien cung canh phan
3.3.1.6 Đặt lực
• Đặt lực tập trung có độ lớn 12000 ib theo phương x hướng vào tấm tại trung
điểm cạnh phải. nsel,s,loc,x,9.5
f,all,fx,-12000 !dat luc
Hình 3. 5Điều kiện biên và tải
3.3.1.7 Kết quả 3.3.1.7.1 Tuyến tính
Ta tìm được các giá trị lực tới hạn ứng với 10 mode đầu tiên:
Hình 3. 6 Kết quả lực tới hạn tuyến tính
Lực tới hạn:
( / ) 12000
cr
Mode P Ibcr( ) Mode P Ibcr( ) 1 6.119,3 6 26.538 2 10.622,8 7 29.787,6 3 11.720,5 8 33.094,8 4 15.144 9 43.369,2 5 19.544,4 10 47.325,6 Bảng 3.1 Lực tới hạn của 10 mode đầu tiên Mode 1:
Hình 3. 8 Chuyển vị theo phương z của mode 1
Ta có thể thấy trong dạng bất ổn định thứ nhất, tấm bị biến dạng cong với một bụng Mode 2:
Hình 3. 10 Chuyển vị theo phương z của mode 2
Ta có thể thấy trong dạng bất ổn định thứ hai, tấm bị biến dạng cong với hai bụng
3.3.1.7.2 Phi tuyến
Thực hiện mô phỏng phi tuyến, ta được hình dạng của tấm khi bắt đầu bất ổn định.
Hình 3. 11 Chuyển vị theo phương z
Hình 3. 12 Chuyển vị theo phương z
Ta có thể thấy khi nén tấm với tải gây nhiễu vuông góc, tấm bị biến dạng lớn có dạng tương tự như dạng bất ổn định thứ nhất với lới giải tuyến tính.
Ta tìm được quan hệ của lực và chuyển vị theo phương z của 3 điểm A, B, C
Hình 3. 13 Đồ thị lực chuyển vị phương z của 3 điểm A,B,C góc 30
Kết luận:
-So sánh kết quả phi tuyến với kết quả mode 1 của tuyến tính, ta nhận thấy lực tới hạn phi tuyến ( 5.000 ib) và tuyến tính mode 1 ( 6.119 ib)gần nhau, lực tới hạn của phi tuyến nhỏ hơn do có sự ảnh hưởng của kết cấu không hoàn hảo. Vậy bài toán mô phỏng mô hình theo 2 hướng tuyến tính và phi tuyến mang lại kết quả hợp lý.
-Kết quả chuyển vị của mô hình phi tuyến lớn hơn do sự không hoàn hảo về mô hình. Thực hiện mô phỏng tương tự với các góc phương sợi 15; 20; 45; 60 , ta được các kết quả: 15 ,Pcr 5.239,7 N α = o = 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 30 a b c
Hình 3. 14 Đồ thị lực chuyển vị phương z của 3 điểm A,B,C góc 15
20 ,Pcr 5.554,56 N
α= o =
Hình 3. 15Đồ thị lực chuyển vị phương z của 3 điểm A,B,C góc 20
0