Trong đó:
* + * + là vector biến dạng.
* + * + là vector ứng suất.
* + * + là vector biến dạng ban đầu. [C] là ma trận hệ số đàn hồi , - [ ( ) ( ) ( )] (2.3)
Với: E là module đàn hồi của vật liệu, Pa. G là module đàn hồi trượt, Pa. v là hệ số Poisson của vật liệu.
a xác định được hệ số Poisson bằng thí nghiệm xoắn thanh tròn để tìm ra module đàn hồi trượt G sau đó sử dụng công thức tư ng quan giữa G và v:
( ) (2.4) Bằng cách khác, ta có biểu thức biểu diễn ứng suất biến dạng bằng cách nghịch đảo (2.2) * + , -* + * + (2.5) Trong đó: , - ( )( ) [ ] (2.6)
Trong thực tế kỹ thuật ngoài các vật liệu đẳng hướng (isotropic) người ta còn sử dụng các loại vật liệu không đẳng hướng (anisotropic) như bê tông cốt thép, các vậy liệu composite,…Khi đó tính chất của vật liệu không đẳng hướng tại một điểm theo các phư ng khác nhau là khác nhau. Định luật Hooke tổng quát mô tả quan hệ tuyến tính giữa biến dạng và ứng suất có dạng:
{ } [ ]{ } (2.7)
Trong ma trận, các hệ số đàn hồi C là đối xứng và có 21 hằng số độc lập. Các
chỉ số
1, 2, 3 được dùng thay thế tư ng ứng các chỉ số x, y, z. Đối với vật liệu trực hướng (orthotropic), số hằng số độc lập của ma trận [C] rút xuống còn 9.
, - [ ] (2.8) Trong đó:
E1, E2, E3 là module đàn hồi trong các mặt phẳng được xác định tư ng ứng bởi các trục 1, 2 hay 3 (hoặc x, y, z).
G12, G23, G31 là các module đàn hồi trượt trong các mặt phẳng 12, 23 và 31. v12, v23, v31 là các hệ số Poisson.
Khi vượt qua miền đàn hồi của vật liệu, chúng sẽ đến trạng thái chảy dẻo và phá huỷ, các miền đó được thể hiện ở hình 2.1.
Hiện tượng mà có giá trị ứng suất chảy gia tăng với sự gia tăng của biến dạng dẻo được gọi là biến cứng hay tái bền của vật liệu. Quy luật biến cứng đối với vật liệu có ứng xử dẻo được miêu tả như sau:
Hai loại biến cứng thường gặp là biến cứng đẳng hướng và quy luật biến cứng động học. Phân bố của quy luật biến cứng đẳng hướng và động học phụ thuộc vào sự điều chỉnh của thông số biến cứng β (bằng 0 khi biến cứng động học và bằng 1 khi biến cứng đẳng hướng). Tốc độ biến dạng được tính dùng theo mô hình Cowper- Symonds, công thức được miêu tả như sau:
[ . ̇/ ] ( ) (2.9) Trong đó:
là ứng suất, Pa.
là ứng suất ban đầu, Pa.
̇ là tốc độ biến dạng.
C và P là thông số tốc độ biến biến dạng của mô hình Cowper-Symonds.
là biến dạng dẻo dự đoán.
là module dẻo, Pa.
(2.10)
Với: là module tiếp tuyến, Pa.
2.2. Tổng qu n về lý thuyết phần tử hữu hạn (FEM) 2.2.1. Kh i niệ
Phư ng pháp phần tử hữu hạn (FEM)là phư ng pháp số gần đúng để giải các bài toán được mô tả bởi các phư ng trình vi phân đạo hàm riêng trên miền xác định có hình dạng và điều kiện biên bất kỳ mà nghiệm chính xác không thể tìm được bằng phư ng pháp giải tích. C sở của phư ng pháp này là làm rời rạc hóa miền xác định
được lấy xấp xỉ trong dạng một hàm đ n giản được gọi là hàm xấp xỉ (Approximation function) và các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm tại các điểm nút trên phần tử. Các giá trị này được gọi là bậc tự do của phần tử và là ẩn số cần tìm của bài toán.
2.2.2. Trình tự phân tích b i to n theo FEM
Bƣớc 1: Rời rạc hóa miền khảo sát.
Miền khảo sát được chia thành nhiều miền con hay thành các phần tử có dạng hình học thích hợp.
Với bài toán cụ thể số phần tử, hình dạng hình học của phần tử cũng như kích thước các phần tử phải được xác định rõ. Số điểm nút mỗi phần tử không lấy được một cách tùy tiện mà tùy thuộc vào hàm xấp xỉ đã chọn.
Bảng 0.1. Dạng hình học đơn giản của các phần tử
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
Phần tử một chiều
Phần tử hai chiều
Bƣớc 2: Chọn hàm xấp xỉ thích hợp
Vì đại lượng cần tìm chưa biết, nên ta giải thuyết dạng xấp xỉ nó sao cho đ n giản đối với tính toán bằng máy tính nhưng phải thỏa mãn các tiêu chuẩn hội tụ. Và thường được chọn ở dạng đa thức.
Rồi biểu diễn hàm xấp xỉ theo tập hợp giá trị và có thể có cả các đạo hàm của nó tại các nút của phần tử * +
Bƣớc 3: Xây dựng phư ng trình phần tử, hay thiết lập ma trận độ cứng phần tử , -và
vector tải phần tử * +
Có nhiều cách thiết lập: trực tiếp, hoặc sử dụng nguyên lý biến phân, hoặc các phư ng pháp biến phân…
Kết quả nhận được có thể biểu diễn một cách hình thức như một phư ng trình phần tử:
, -* + * + (0.11)
Bước 4: Ghép nối các phần tử trên cơ sở mô hình tương thức mà kết quả là hệ thống phương trình. K̅ {U̅ {F̅ (0.12) Trong đó: K̅ : Ma trận độ cứng tổng thể. { ̅ : Vector chuyển vị nút tổng thể. {F̅ : Vector tải tổng thể.
Sử dụng điều kiện biên của bài toán, ta nhận được hệ phư ng trình sau:
K*̅̅̅̅ {U*̅̅̅̅ {F*̅̅̅ (0.13)
Đây chính là phư ng trình hệ thống.
Bước 5: Giải hệ phương trình đại số.
Với bài toán tuyến tính việc giải phư ng trình đại số là không khó khăn. Kết quả tìm được là các chuyển vị của các nút.
Nhưng đối với bài toán phi tuyến thì nghiệm sẽ đạt được sau một chuỗi các bước lặp mà sau mỗi bước ma trận cứng K̅ thay đổi (trong bài toán phi tuyến vật lý) hay
vector lực nút {F̅ thay đổi (trong bài toán phi tuyến hình học).
Bước 6: Hoàn thiện.
Từ kết quả ở trên, tiếp tục tìm ứng suất, chuyển vị hay biến dạng của tất cả các phần tử.
2.3. FEM trong b i to n động lực học ( Explicit Dyn ic)
Phư ng trình động lực học tổng quát trong phân tích phần tử hữu hạn được thể hiện qua biểu thức sau:
M ̈ ̇ (0.15)
Trong đó:
M là ma trận khối lượng, C là ma trận giảm chấn, K là ma trận độ cứng, F là vector tải ngoại lực, U là vector chuyển vị.
Nổ là hiện tượng vật lý phức tạp, xảy ra trong thời gian ngắn với biến dạng rất lớn và chúng thuộc bài toán động lực học phi tuyến. FEM trong các bài toán động lực học (Explicit dynamic) thường được sử dụng rộng rãi trong các trường hợp tư ng tác, va chạm và phư ng pháp này ngày càng được cải tiến nhằm giải quyết tốt các bài toán tiếp xúc ở phạm vi lớn.
Trên thực tế hầu như các hiện tượng điều xảy ra với dạng phi tuyến, hai dạng phi tuyến phổ biến là phi tuyến hình học và phi tuyến vật liệu. Đặc biệt trong hiện tượng va chạm, phi tuyến về hình học và vật liệu là rất quan trọng. Sự va chạm đột ngột làm cho hình học và vật liệu biến đổi phức tạp, hình học từ dạng đ n giản (đường thẳng) biến đổi thành dạng đường cong phi tuyến. Vật liệu cũng vậy, có thể chuyển nhanh chóng từ miền đàn hồi tuyến tính sang miền chảy dẻo và phá huỷ. Do đó phư ng trình (2.15) có thể tuyến tính hoặc phi tuyến tuỳ thuộc vào đối tượng bài toán,
Ta xét phư ng trình chủ đạo cho phân tích biến dạng nhỏ có dạng sau:
∫ , - * + * + (0.16)
Với: {F} là ngoại lực cân bằng tác động lên điểm nút. [B] là ma trận biến dạng.
Nếu quan hệ ứng suất – biến dạng đàn hồi tuyến tính được giả định, phư ng trình (2.16) có thể thu được cho phân tích tuyến tính như sau:
[K][U]=[F] (0.17) Trong đó: K là ma trận độ cứng kết cấu.
, - ∫ , - , -, - * + (0.18)
Trong tính toán đàn - dẻo, mối quan hệ giữa ứng suất {σ} và biến dạng {ε có thể phi tuyến, phư ng trình chủ đạo (2.16) là phư ng trình phi tuyến của biến dạng, và do đó, là hàm phi tuyến của chuyển vị nút, {U . Các phư ng pháp lặp thường được sử dụng để giải phư ng trình (2.16)0 cho {U trư ng ứng với tập hợp ngoại lực đã cho. Trong phân tích gia số, tải tổng {R tác động lên cấu trúc được thêm vào từng bước bởi các gia số. Ở bước thứ (m+1), tải được biểu diễn như sau:
* + * + * +
(0.19)
Giả sử lời giải ở bước tải thứ m, ta biết * + * + * +thì ở bước tải (m+1) ta có:
* + * + * +
(0.20)
* + * + * +
(0.21)
Ở đây chữ viết lên trên bên trái đối với các gia số được bỏ qua. Phư ng trình (3.16) viết lại như sau:
* + * +
* +
∫ , - * + (0.22b)
Hay: ∫ , - * + * + ∫ , - * + (0.22c)
2.4. Hiện tƣợng nổ
Một vụ nổ được định nghĩa là quy mô lớn, nhanh chóng và giải phóng năng lượng đột ngột. Vụ nổ có thể được phân loại trên c sở bản chất của chúng là: vật lý, hạt nhân hoặc hóa học. Trong vụ nổ vật lý, năng lượng có thể được giải phóng khỏi một xi lanh khí nén, phun trào núi lửa hoặc thậm chí trộn lẫn hai chất lỏng ở nhiệt độ khác nhau. Trong vụ nổ hạt nhân, năng lượng được giải phóng từ sự hình thành các hạt nhân nguyên tử khác nhau bằng sự phân phối lại các proton và neutron trong hạt nhân tư ng tác, trong khi đó quá trình oxy hóa nhanh chóng các nguyên tố nhiên liệu (nguyên tử carbon và hydro) là nguồn năng lượng chính trong trường hợp này của vụ nổ hóa học.
Vật liệu nổ có thể được phân loại theo trạng thái vật lý của chúng là chất rắn, chất lỏng hoặc chất khí. Chất nổ rắn chủ yếu là chất nổ cao mà hiệu ứng vụ nổ được biết đến nhiều nhất. Chúng cũng có thể được phân loại trên c sở độ nhạy cảm của chúng đối với đánh lửa là chất nổ thứ cấp hoặc s cấp. Loại thứ hai là một thứ có thể dễ dàng kích nổ bằng cách đánh lửa đ n giản từ tia lửa, ngọn lửa hoặc tác động. Các vật liệu như thủy ngân tối ưu và azide chì là chất nổ chính.
Chất nổ thứ cấp khi phát nổ tạo ra sóng nổ (sốc) có thể gây ra thiệt hại trên diện rộng cho môi trường xung quanh. Ví dụ bao gồm trinitrotoluene (TNT) và ANFO. Tiếng nổ của chất nổ cao đặc tạo ra khí nóng dưới áp suất lên tới 300 kilo bar và nhiệt độ khoảng 3000-4000C °. Kết quả là, một lớp khí nén (sóng nổ) hình thành trước khối khí này chứa phần lớn năng lượng được giải phóng bởi vụ nổ. Sóng nổ tức thời tăng lên một giá trị áp suất trên áp suất khí quyển xung quanh. Điều này được gọi là quá áp bên cạnh phân rã khi sóng xung kích mở rộng ra khỏi nguồn nổ. Sau một thời gian ngắn, áp suất phía sau có thể giảm xuống dưới áp suất xung quanh (Hình 2.2). Trong giai đoạn tiêu cực như vậy, một phần chân không được tạo ra và không khí bị hút vào.
Điều này cũng đi kèm với những c n gió hút cao mang theo các mảnh vỡ trong khoảng cách xa nguồn nổ.
Quy mô sóng nổ
Tất cả các thông số vụ nổ chủ yếu phụ thuộc vào lượng năng lượng được giải phóng bởi một vụ nổ dưới dạng sóng nổ và khoảng cách từ vụ nổ. Một mô tả chuẩn hóa phổ quát về các hiệu ứng nổ có thể được đưa ra bằng cách chia tỷ lệ khoảng cách so với (E / Po) =1/3 và áp suất tỷ lệ so vớiPo, trong đó E là giải phóng năng lượng (kJ) và Po áp suất xung quanh (thường là 100 kN / m2). Tuy nhiên, để thuận tiện, đó là thông lệ chung để thể hiện đầu vào nổ c bản hoặc trọng lượng W là một khối lượng tư ng đư ng của TNT. Kết quả sau đó được đưa ra dưới dạng hàm của tham số khoảng cách thứ nguyênZ = R/W=1/ 3, trong đó R là khoảng cách hiệu quả thực tế từ vụ nổ. W thường được biểu thị bằng kilogam. Các quy mô tỷ lệ cung cấp các mối tư ng quan tham số giữa một vụ nổ cụ thể và một điện tích tiêu chuẩn của cùng một chất.
Dự đoán áp suất nổ
Các thông số sóng nổ cho các vật liệu nổ cao thông thường là trọng tâm của một số nghiên cứu trong các năm 1950 và 1960. Ước tính áp suất cực đại do vụ nổ hình cầu dựa trên khoảng cách tỷ lệ Z = R/ W=1/ 3 được Brode (1955) giới thiệu là:
(0.24)
(
Newmark và Hansen (1961) đã giới thiệu một mối quan hệ để tính toán áp lực nổ tối đa Pso, trong các thanh, cho một lượng thuốc nổ cao phát nổ ở mặt đất như:
( ) (0.25)
Một biểu hiện khác của áp suất cực đại tính bằng kPa được giới thiệu bởi Mills (1987), trong đó W được biểu thị bằng trọng lượng điện tích tư ng đư ng tính bằng kilogam TNT và Z là khoảng cách tỷ lệ:
(0.26)
Khi sóng nổ lan truyền qua bầu khí quyển, không khí phía sau mặt trước sốc đang di chuyển ra ngoài với vận tốc thấp h n. Vận tốc của các hạt không khí, và do đó áp lực gió, phụ thuộc vào áp suất cực đại của sóng nổ. Vận tốc sau này của không khí được liên kết với áp suất động q (t). Giá trị tối đa qs, giả sử đưa ra bởi:
( (0.27)
Nếu sóng nổ gặp một vật cản vuông góc với hướng truyền, sự phản xạ làm tăng áp lực đến áp suất phản xạ tối đa Pr như:
{
} (0.28)
Một cuộc thảo luận đầy đủ và các biểu đồ rộng rãi để dự đoán áp lực vụ nổ và thời lượng vụ nổ được đưa ra bởi Mays và Smith (1995) và TM5-1300 (1990). Một số giá trị số đại diện của áp suất phản xạ cực đại được đưa ra trong Bảng 2.2[2].
Hình 0.48. Một số giá trị số đại diện của áp suất phản xạ cực đại [2]
Đối với mục đích thiết kế, áp suất phản xạ có thể được lý tưởng hóa bằng xung tam giác tư ng đư ng với áp suất cực đại cực đại Pr và thời gian td, tạo ra xung phản xạ ir
(0.29)
Thời lượng td có liên quan trực tiếp đến thời gian áp đảo để tiêu tan. Quá áp phát sinh từ sự phản xạ sóng tiêu tan khi nhiễu loạn truyền đến các cạnh của chướng ngại vật với vận tốc liên quan đến tốc độ âm thanh (Us) trong không khí bị nén và nóng phía sau mặt sóng. Biểu thị khoảng cách tối đa từ một cạnh là S (ví dụ: chiều cao nhỏ h n hoặc một nửa chiều rộng của tòa nhà thông thường), áp lực bổ sung do phản xạ được coi là giảm từ Pr - Pso xuống 0 trong 3S/Us. Về mặt bảo tồn, chúng ta có thể được coi là tốc độ bình thường của âm thanh, khoảng 340 m/s, và xung lực bổ sung cho cấu trúc được đánh giá dựa trên giả định phân rã tuyến tính.
Sau khi sóng nổ vượt qua góc phía sau của một chướng ngại vật hình lăng trụ, áp lực tư ng tự truyền lên mặt sau; xây dựng tuyến tính trong thời gian 5S/Us đã được đề xuất. Đối với các cấu trúc xư ng, thời gian hiệu lực của tải quá áp ròng là rất nhỏ và tải kéo dựa trên áp suất động có thể sẽ chiếm ưu thế. Các hệ số áp lực tải gió thông thường có thể được sử dụng, với giả định thận trọng về sự tích tụ tức thời khi sóng đi
đã được đưa ra cho tốc độ phân rã của tải áp lực động; một phân rã parabol (tức là tư ng ứng với một phân rã tuyến tính của vận tốc gió tư ng đư ng) trong một thời gian bằng tổng thời gian áp suất dư ng là một xấp xỉ thực tế.
2.5. Phƣơng ph p phần tử hữu hạn Arbitr ry L gr ngi n-Eulerian (ALE)
Phư ng pháp ALE là một phư ng pháp kết hợp từ hai phư ng pháp c bản là