Sự thay đổi ngẫu nhiên của biên độ dao động và pha tạo nên tắnh ngẫu nhiên trong chuỗi thời gian (2.1.1). Tuy nhiên, đối với hai tham số R và Φ
thì biểu thức Rcos(2πf t+ Φ) không là dạng tuyến tắnh, do đó việc xấp xỉ (2.1.1) trở nên không thuận lợi. Bây giờ, chúng ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức lượng giác(1) nhằm tham số hóa lại (2.1.1) như sau:
Yt = Acos(2πf t) + Bsin(2πf t) (2.1.3)
trong đó
R = pA2 +B2, Φ = arctan (−B/A)
và ngược lại,
A = Rcos(Φ), B = −Rsin(Φ).
Khi đó, với tần số f cố định, ta có thể sử dụng cos(2πf t) và sin(2πf t) như các biến độc lập và các hệ số A, B được xác định thắch hợp từ dữ liệu bằng phương pháp hồi quy bình phương bé nhất thông thường.
Xét trường hợp tổng quát của (2.1.3), một tổ hợp tuyến tắnh của m đường cosin với biên độ, tần số và pha tùy ý được xác định
Yt = A0 +
m
X
j=1
[Ajcos(2πfjt) +Bjsin(2πfjt)]. (2.1.4)
Khi những tần số mà ta quan tâm có dạng đặc biệt, thì phương pháp hồi quy trở nên dễ dàng hơn. Giả sử n là số lẻ và được viết n = 2k+ 1. Khi đó những tần số có dạng 1/n,2/n, ..., k/n = n−21/(2n) được gọi là tần số
Fourier. Theo kết quả của phương pháp xấp xỉ bình phương bé nhất trong
Mệnh đề 1.2.2, ta được các nghiệm hồi quy của Aj và Bj như sau:
b A0 = Y = 1 n(Y1 +ở ở ở+Yn) (2.1.5) b Aj = 2 n n X t=1 Ytcos(2πtj/n) và Bbj = 2 n n X t=1 Ytsin(2πtj/n) (2.1.6)
Nếu cỡ mẫu là số chẵn, tức n = 2k, công thức (2.1.5) và (2.1.6) vẫn áp dụng cho j = 1,2, ..., k −1, nhưng vì k = n/2, b Ak = 1 n n X t=1 (−1)tYt và Bbk = 0. (2.1.7)
Chú ý rằng, ở đây fk = k/n= 1/2.
Nếu các công thức (2.1.5)-(2.1.7) được áp dụng cho chuỗi thời gian được hiển thị trong Hình 2.2, thì ta sẽ có kết quả hoàn hảo. Đó là, tại tần số f4 = 4/96, ta được Ab4 = 2 và Bb4 = 0, và tại tần số f14 = 14/96, ta được
b
A14 = −0,927051 và Bb14 = −2,85317, những hệ số hồi quy đều bằng 0 tại những tần số khác. Kết quả này có được là bởi không có sự ngẫu nhiên trong chuỗi thời gian (2.1.2) và biểu diễn được chắnh xác theo các cặp cosin-sin.
Chú ý 2.1.1. Cũng theo Mệnh đề 1.2.2, ta phát biểu được rằng:
Một chuỗi thời gian với chiều dài n bất kỳ, cho dù là tất định hay ngẫu
nhiên và có hoặc không có bất kỳ chu kỳ thật sự nào, cũng có thể phù
hợp với mô hình trong (2.1.4) bằng việc chọn m = n/2 nếu n chẵn và
m = (n−1)/2 nếu n lẻ.
Sau đó ước lượng n tham số để phù hợp với chuỗi có chiều dài n.
2.2 Chu kỳ đồ
Sau đây ta có định nghĩa chu kỳ đồ đối với tần số Fourier.
Định nghĩa 2.2.1. Đối với cỡ mẫu là số lẻ, n = 2k + 1, chu kỳ đồ I tại tần số fj = j/n với j = 1,2, ..., k, được xác định bởi
I (fj) = n 2(Ab
2
j +Bbj2) (2.2.1)
trong đó Abj và Bbj được xác định trong công thức (2.1.5) và (2.1.6).
Nếu cỡ mẫu là số chẵn, n = 2k, thì công thức (2.2.1) cho chu kỳ đồ với j = 1,2, ..., k −1. Dĩ nhiên, tại tần số cuối fk = k/n = 1/2, áp dụng công thức (2.1.7) ta được
I(1
2) = n(Abk)
2. (2.2.2)
Do chu kỳ đồ tỉ lệ với tổng bình phương của hệ số hồi quy liên quan tới tần sốfj, nên chiều cao của chu kỳ đồ cho thấy cường độ tương đối của cặp cosin-sin tại những tần số khác nhau trong toàn bộ dáng điệu của chuỗi.
Nguồn Bậc tự do Tổng bình phương f1 2 I(f1) f2 2 I(f2) ... ... ... fk 2 I(fk) Tổng n-1 n P t=1 (Yt −Y)2
Bảng 2.1 Bảng phân tắch phương sai với n lẻ
Một cách hiểu khác là dựa vào những số hạng trong phân tắch phương sai. Từ (2.1.4), (2.1.5) và (2.1.6) ta được (Yt −Y) = m X j=1 h b Aj cos(2πfjt) +Bbj sin(2πfjt) i (2.2.3)
với t = 1,2, .... Bình phương hai vế (2.2.3), tiếp theo lấy tổng và áp dụng Mệnh đề 1.2.1 ta được n X t=1 (Yt −Y)2 = k X j=1 I (fj) (2.2.4)
khi n lẻ. Từ đó, ta có bảng phân tắch phương sai Bảng 2.1. Kết quả tương tự được giữ khin chẵn nhưng số hạng cuối cùng I(1/2)trong tổng với một bậc tự do.
Chú ý 2.2.1. Trong (2.2.4), Pn
t=1(Yt−Y)2 là biến động toàn bộ của chuỗi
{Yt, t = 1, ..., n}. Biến động này được phân phối vào các tần số fj. Tần số fj, nói cách khác, hòa âm thứ j trong (2.2.3), được phân phối một năng lượng bằng I(fj).
Hình 2.3 hiển thị chu kỳ đồ cho chuỗi thời gian trong Hình 2.2. Độ cao của chu kỳ đồ biểu thị dáng vóc và cường độ tương đối của hai thành phần cosin-sin khá rõ ràng. Cũng lưu ý rằng những tần số 4/96 ≈ 0.04167 và
14/96 ≈ 0.14583 được đánh dấu trên trục tần số.
Liệu chu kỳ đồ có làm việc tốt khi chúng ta không biết sự tồn tại của đường cosin trong chuỗi? Và điều gì sẽ xảy ra nếu chuỗi được thêm vào Ộtiếng ồnỢ? Để minh họa, ta xét vắ dụ sau:
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 100 300 Frequency P er iodogr am 0.04167 0.14583