PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1. Vectơ pháp tuyến của mp() : nr≠ 0r là véctơ pháp tuyến của  � nr ()

2. Cặp véctơ chỉ phương của mp() : ar, br là cặp vtcp của mp() �gía của các véc tơ ar

, br cùng // () 1;0;0 ir 0;1;0 j r 0;0;1 kr O z x y

Ắ Ế 3. Quan hệ giữa vtpt n và cặp vtcp a,b: n = [a,b] 4. Pt mp() qua M(xo ; yo ; zo) cĩ vtpt n = (A;B;C)  – o  – o  – o 0 A x x B y y C z z  (): Ax + By + Cz + D = 0 ta cĩ n = (A; B; C)

5. Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : x y z 1

a b  c

Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến 6. Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0 7. Chùm mặt phẳng : Giả sử 1  2 = d trong đĩ:

1 : 1 1 1 1 0   2 2 2 2 2

( ) A x B y C z D    ;( ):A x B y C z D   0

Phương trình mp chứa (d) cĩ dạng sau với m2+ n2 ≠ 0 :

 1 1 1 1  2 2 2 2 0

m A x B y C z D   n A x B y C z D   

CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP

Để lập phương trình mặt phẳng   ta cần xác định một điểm thuộc   và một VTPT của nĩ.

Dạng 1:   đi qua điểm M x y z 0; ;0 0 cĩ VTPT nurA B C; ; :

   :A x x 0B y y  0C z z  0 0

Dạng 2:   đi qua điểm M x y z 0; ;0 0 cĩ cặp VTCP a br,r:

Khi đĩ một VTPT của   là nr  � �� �a br,r .

Dạng 3:   đi qua điểm M x y z 0; ;0 0 và song song với mặt phẳng   :Ax By Cz D   0

  : A x x  0 B y y 0 C z z 0  0

Dạng 4:   đi qua 3 điểm khơng thẳng hàng A B C, ,

Khi đĩ ta cĩ thể xác định một VTPT của   là: nr  ��AB ACuuur uuuur, ��

Dạng 5:   đi qua một điểm M và một đường thẳng  d khơng chứa M:

– Trên  d lấy điểm A và VTCP ur. – Một VTPT của   là: n  ��AM u, ��

uuuur

r r

Dạng 6:   đi qua một điểm M, vuơng gĩc với đường thẳng  d :

VTCP ur của đường thẳng  d là một VTPT của   .

Dạng 7:   đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d d1, 2:

– Xác định các VTCP a br,r của các đường thẳng d d1, 2..

– Một VTPT của   là: nr  � �� �a br,r .

– Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2�M �  .

Dạng 8:   chứa đường thẳng d1và song song với đường thẳng d2( d d1, 2chéo nhau) : – Xác định các VTCP a br,r của các đường thẳng d d1, 2.

Ắ Ế

– Lấy một điểm M thuộc d1�M �  .

Dạng 9:   đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d d1, 2:

– Xác định các VTCP a br,r của các đường thẳng d d1, 2.

– Một VTPT của   là: nr  � �� �a br,r .

Dạng 10:   đi qua một đường thẳng  d và vuơng gĩc với một mặt phẳng   :

– Xác định VTCP ur của  d và VTPT nr của   .

– Một VTPT của   là: nr  ��u nr r, ��.

– Lấy một điểm M thuộc d�M �  .

Dạng 11:   đi qua điểm M và vuơng gĩc với hai mặt phẳng cắt nhau � ,     :

– Xác định các VTPT n nr r,  của   và   .

– Một VTPT của   là: nr  ��u nr r, ��.

Dạng 12:   đi qua đường thẳng  d cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước:

– Giả sử ()cĩ phương trình: Ax By Cz+D  0A2B2C2 �0. – Lấy 2 điểm A B, � d �A B, �  (ta được hai phương trình    1 , 2 ).

– Từ điều kiện khoảng cách d M( ,( )) k, ta được phương trình  3 .

– Giải hệ phương trình      1 , 2 , 3 (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn cịn lại).

Dạng 13:   là tiếp xúc với mặt cầu  S tại điểm H :

– Giả sử mặt cẩu  S cĩ tâm I và bán kính R.

– Một VTPT của   là: n IHr  uuur