Cố định số nguyên tố p, số tự nhiên n > 1, đặt q = pn. Giả sử a là phần tử sinh của nhóm cyclic F(q)*. Ta muốn giải phương trình ax = b trong trường F(q). Để làm điều này ta sử dụng các thuật toán với một cơ sở nhân tử. Ta xem thuật toán index- caculus sau :
Ý tưởng của thuật toán này là từ đẳng thức : ∏ 𝑥𝑖 𝑚 𝑖=1 = ∏ 𝑦𝑗 𝑛 𝑗 =1
Các phần tử xi, yj nằm trong trường hữu hạn Zp thì
∑ 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥𝑖 ≡ ∑ 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑦𝑗(𝑚𝑜𝑑 𝑝 − 1) 𝑛
𝑗 𝑚
𝑖=1
Phương pháp đơn giản để tạo ra biểu thức trên – chọn phần tử bất kỳ g 𝜖 Zp, tính u = ag (mod p) và bằng cách lựa chọn chúng ta thử tìm số thỏa mãn điều kiện sau :
𝑢 = ∏ 𝑝𝑖
Từ trên ta có thuật toán sau : Thuật toán index – calculus Input: cho hai số a và b. Output: Tìm logab
Bước 1. (Tính toán ban đầu). Trường F(q) đồng cấu với 𝐹𝑝[𝑥] 𝑓(𝑦)⁄ , với
𝑓(𝑦) ∈ 𝐹𝑝[𝑥] là đa thức đa thức bất khả quy bậc n. Cho nên bất kỳ thành phần của trường Fq được biểu diễn dưới dạng đa thức bậc không vượt quá n-1. Và nhân các đa thức như vậy sẽ rút gọn theo modulo f(y), điều này chúng ta đã tìm hiểu ở trường số. Phần tử a1 = a(q -1)(p-1) có bậc là p -1 và tạo thành Fq*
Bước 2. (Lựa chon cơ sở nhân tử). Cơ sở nhân tử B ∈ Fq thành lập từ tất cả các đa thức g bất khả quy bậc không lớn hơn t, t là một số tham số, t < n
Bước 3. (Tìm biểu thức) Lựa chọn ngẫu nhiên m ≤ 1 , m ≤ q-2 , ta tìm các giá trị sao cho thỏa mãn biểu thức
𝑎𝑚 ≡ 𝑐0∏ 𝑔𝑎𝑔(𝑚) (𝑚𝑜𝑑 𝑓(𝑦)) 𝑔 ∈𝐵
𝑚 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐0+ ∑ 𝛼𝑎(𝑚)𝑙𝑜𝑔𝑎𝑔(𝑚𝑜𝑑 𝑞 − 1) 𝑔∈𝐵
ở đây logac0 ta đã biết, logag ta chưa biết độ lớn.
Bước 4. (Tìm thuật toán cho các phần tử của cơ sở nhân tử). Khi tìm ở bước 3 số lượng đủ lớn của biểu thức, ta giải hệ phương trình tuyến tính trong vành Zp-1 và tìm ra logag
Bước 5. (Tìm Logarit riêng.) Ta tìm một giá trị của m sao cho:
𝑏 × 𝑎𝑚 ≡ 𝑐1∏𝑔 ∈𝐵𝑔𝛽𝑔(𝑚𝑜𝑑 𝑓(𝑥)) c1 ∈ Fq Từ đây tìm ra giá trị cần tìm
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 ≡ −𝑚 + 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐1+ ∑ 𝛽𝑞𝑙𝑜𝑔𝑎𝑔 𝑔 ∈𝐵
(𝑚𝑜𝑑 𝑞 − 1)