A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
Phương phỏp chứng minh
-Chứng minh bụ́n đỉnh của tứ giác cựng cách đều mụ̣t điểm. -Chứng minh tứ giác cú hai gúc đụ́i diện bự nhau.
-Chứng minh hai đỉnh cựng nhỡn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm cũn lại hai gúc bằng nhau.
-Chứng minh tổng của gúc ngoài tại mụ̣t đỉnh với gúc trong đụ́i diện bự nhau. -Nờ́u MA.MB = MC.MD hoặc NA.ND = NC.NB thỡ tứ giác ABCD nụ̣t tiờ́p. (Trong đú M AB CD; N AD= ∩ = ∩BC)
-Nờ́u PA.PC = PB.PD thỡ tứ giác ABCD nụ̣i tiờ́p. (Trong đú P AC= ∩BD) -Chứng minh tứ giác đú là hỡnh thang cõn; hỡnh chữ nhật; hỡnh vuụng; …
Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cựng thuộc một đường trũn ta cú thể chứng minh lần lượt 4 điểm một lỳc. Song cần chỳ ý tớnh chất “Qua 3 điểm khụng thẳng hàng xỏc định duy nhất một đường trũn”
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Cho nửa đường trũn (O) đường kớnh AB, trờn đú cú điểm M. Trờn đường kớnh AB lấy điểm C sao cho AC < CB. Kẻ hai tiờ́p tuyờ́n Ax và By tại A và B với (O). Đường thẳng qua M vuụng gúc với MC cắt Ax ở P, đường thẳng qua C vuụng gúc với CP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của CQ và BM. Chứng minh:
a) Các tứ giác ACMP, CDME nụ̣i tiờ́p. b) AB//DE.
c) Ba điểm P, M, Q thẳng hàng.
VD2.Cho tam giác ABC nụ̣i tiờ́p đường trũn đường kớnh AA’, đường cao AM.
a) Hai đường cao BN, CP cắt nhau tại H và PN cắt AA’ tại S. Chứng minh các tứ giác BPNC và A’SNC nụ̣i tiờ́p.
b) Chứng minh PN vuụng gúc với AA’.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Cho (O; R) và dõy cung AB ( AB < 2R). Trờn tia AB lấy điểm C sao cho AC > AB. Từ C kẻ hai tiờ́p tuyờ́n với đường trũn tại P và K. Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh tứ giác CPIK nụ̣i tiờ́p.
b) Chứng minh hai tam giác ACP và PCB đồng dạng. Từ đú suy ra CP2 = CB.CA.
c) Gọi H là trực tõm của tam giác CPK, tớnh PH theo R.
d) Giả sử PA//CK, chứng minh tia đụ́i của tia BK là tia phõn giác của gúc CBP. 2.Cho tam giác ABC cõn tại A, mụ̣t cung trũn phớa trong tam giác tiờ́p xỳc với AB, AC tại B và C. Từ điểm D trờn cung BC kẻ các đường vuụng gúc DE với BC, DF với AC và DG với AB. Gọi M là giao điểm của BD và GE, N là giao điểm của EF và DC. Chứng minh:
a) Các tứ giác BEDG và CEDF nụ̣i tiờ́p. b) DE2 = DF.DG
d) Nờ́u GB = GE thỡ EF = EC.
3.Từ điểm M trờn đường trũn ngoại tiờ́p tam giác ABC, ta kẻ các đường vuụng gúc hạ xuụ́ng ba cạnh của tam giác MH AB; MI BC; MK⊥ ⊥ ⊥AC. Chứng minh:
a) Ba tứ giác AHMK, HBIM, ICKM nụ̣i tiờ́p.
b) Ba điểm H, I, K nằm trờn mụ̣t đường thẳng (đường thẳng Simson). ---