C2/ Nếu là hai góc trong 1 tam giác thờng CM chúng là hai góc ở đáy của tam giác cân.
C3/ Nếu là hai góc đối trong một tứ giác ta thờng CM tứ giác đó là hình bình hành. C4/ Nếu là hai góc kề trong một tứ giác thờng CM tứ giác là hình thang cân.
C6/ Nếu là hai góc So le trong hoặc đồng vị thờng chứng minh hai đờng thẳng song song.
C7/ Nếu là hai góc trong đờng tròn ta thờng chuyển về chứng minh cung , dây tơng ứng bn C8/ Ngoài ra ta có thể sử dụng: hai góc có cùng số đo (tính cụ thể), tính chất tia phân giác, hai góc đối đỉnh, cặp góc có cạnh tơng ứng vuông góc hay song song,…
*Chú ý: Nếu không cm đợc trực tiếp. Ta nghĩ tới việc sử dụng góc thứ 3 làm trung gian. (CM chúng cùng bằng ,cùng bù,cùng phụ với 1góc .Hay 2 góc cùng bằng tổng ,hiệu của 2 góc bằng nhau.)
2 . C h ứ n g m i n h h a i đ o ạ n t h ẳ n g b ằ n g n h a u .
C1/ Thông thờng gắn vào hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau.
C2/ CM là hai cạnh bên của một tam giác cân hoặc hình thang cân.
C3/ CM là hai cạnh đối của hình bình hành (HCN, Hình thoi, Hình vuông).
C4/Sửdụngđịnh nghĩa:Trung điểm đờng trung tuyến, đờng trung trực,bán kính , tiếp tuyến
C5/ Sử dụng định lí thuận đảo về đờng trung bình trong tam giác, hình thang.
C6/ Nếu là 2 đờng chéo trong 1 tứ giác thờng CM tứ giác là Hình thang cân, HCN, HV. C7/ Nếu là 2 dây cung trong 1 đờng tròn thờng chuyển về dây , góc , kc đến tâm tơng ứng.
*Chú ý : Ngoài ra ta có thể chứng minh bằng cách: + Biến đổi đại số trên đoạn thẳng bằng nhau.
+ Chứng minh hai đoạn thẳng có cùng số đo. + Sử dụng tính chất bắc cầu hay CM phản chứng.
I I - C h ứ n g m i n h 2 đ ờ n g t h ẳ n g s o n g s o n g 2 đ ờ n g t h ẳ n g v u ô n g g ó c
1 . C h ứ n g m i n h h a i đ ờ n g t h ẳ n g s o n g s o n g .
C1/CM cùng song song hoặc cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba.
C2/ CM 1 cặp góc SLT hoặc đ v bằng nhau , hoặc 1 cặp TCP bù nhau. C3/ Nếu là 2 cạnh trong 1 tứ giác th ờng CM tứ giác là Hình bình hành C4/ Nếu có các đoạn thẳng tỉ lệ: ta sử dụng định lí đảo của định lí Talét.
C5/ Nếu có nhiều trung điểm thờng dùng đờng trung bình của tam giác , hình thang.
2 . C h ứ n g m i n h h a i đ ờ n g t h ẳ n g v u ô n g g ó c .
C1/ Cm chúng là 2 tia phân giác của 2 góc kề bù hay hai đờng thẳng cắt nhau tạo ra góc bằng 900.
C2/ Sử dụng tính chất đồng qui của ba đờng cao trong tam giác. Sử dụng tính chất đờng cao
ứng với cạnh đáy trong tam giác cân hoặc đờng trung trực.
C3/ Sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đ ờng tròn. Đờng kính của đờng tròn đi qua
trung điểm của dây cung hay tính chất của tiếp tuyến.
C4/ Nếu có độ dài: Sử dụng định lí đảo của định lí Pytago.
C5/ Nếu là 2 đờng chéo trong 1 tứ giác thờng chứng minh tứ giác là hình thoi
C6/ Chứng minh đờng thẳng này vuông góc với đờng thẳng song song với đờng kia hoặc song song với đờng thẳng vuông góc với đờng kia.
I I I - c h ứ n g m i n h b a đ i ể m t h ẳ n g h à n g , b a đ ờ n g t h ẳ n g đ ồ n g q u i.
1. Chứng minh ba điểm thẳng hàng: ( Cùng thuộc một đ ờng thẳng )
Cần chứng minh ba điểm: A, B, C thẳng hàng :
C1/ AB + BC = AC (hoặc AC + CB = AB, BA + AC = BC). C2/ Chứng minh góc ABC = 1800.
C3/ CM: AB, AC cùng song song với một đờng thẳng ( Sử dụng tiên đề Ơclit).Hoặc cùng vuông góc với 1 đờng thẳng.
C4/ Dùng tính chất: Trung điểm 1 đờng chéo và 2 đầu đờng chéo kia trong hình bình hành
thẳng hàng. Đờng kính đi qua tâm.
2. Chứng minh ba đờng thẳng đồng qui.
C1/ Chứng minh đờng thẳng thứ ba đi qua giao điểm của hai đ ờng thẳng kia.
C2/ Sử dụng tính chất các đ ờng thẳng đồng qui trong một tam giác: 3 đ ờng cao đồng qui, 3 đờng trung tuyến đồng qui, 3 đ ờng phân giác đồng qui, 3 đ ờng trung trực đồng qui.
C3/ Dùng tính chất : Các đờng kính đồng quy tại tâm .Các đờng chéo của những hình bình hành có chung 1 đờng chéo đồng quy.
C4/ Đa về chứng minh ba điểm thẳng hàng.
IV - chứng minh các hình cơ bản.
1. Chứng minh tam giác cân.
C1/ CM tam giác có hai góc bằng nhau.
C2/ CM tam giác có hai cạnh bằng nhau.
C3/ CM tam giác có một đờng đi qua đỉnh đồng thời là một đờng khác của tam giác.
2. Chứng minh tam giác đều.
C1/ CM tam giác có ba cạnh bằng nhau.
C2/ CM tam giác có hai góc bằng 600.hoặc 3 góc bằng nhau.
C3/ CM tam giác cân có một góc bằng 600.hoặc cạnh bên bằng cạnh đáy.
3. Chứng minh tam giác vuông.
C1/ Sử dụng định lí đảo của định lí Pytago (nếu có độ dài). C2/ CM tam giác có một góc bằng 900.
C3/ CM tam giác có đờng trung tuyến bằng 1/2 cạnh t ơng ứng.
4. Chứng minh các đờng thẳng đặc biệt.
Để chứng minh một đ ờng thẳng là: Đờng cao, đờng phân giác, đờng trung tuyến, đờng trung trực, đờng trung bình, trong một tam giác. Ta chứng minh:
C1/ Sử dụng tính chất đồng qui của các đờng này trong một tam giác. C2/ Sử dụng chính tính chất của các đ ờng ấy:
Ví dụ : + Điểm cách đều hai cạnh của góc thì thuộc tia phân giác của góc ấy.
+ Điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì thuộc đ ờng trung trực của đoạn thẳng ấy. Iv - Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn
C1/ CM bốn đỉnh cùng cách đều một điểm nào đó (gọi là tâm đ ờng tròn). C2/ CM tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800.
C3/ Từ hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh tạo bởi hai đỉnh còn lại d ới hai góc bằng nhau.
C4/ CM tứ giác có tổng các góc đối bằng nhau
C5/Cm góc trong bằng góc ngoài ở đỉnh đối.
C6/CM tứ giác là hình chữ nhật hoặc hình thang cân.
C7/ Chứng minh 2 điểm thuộc đờng tròn đờng kính là đoạn thẳng nối 2 điểm còn lại.
Chú ý : Nếu CM 5 điểm trở lên cùng thuộc một đ ờng tròn. Ta chọn ba điểm cố định rồi chon điểm thứ 4, sau đó CM 4 điểm này cùng thuộc một đ ờng tròn. Sau đó CM tơng tự với các điểm còn lại.
V I - c h ứ n g m i n h h ệ t h ứ c , t ỉ l ệ t h ứ c
C1/ Gắn vào 2 tam giác đồng dạng.
C2/ Nếu có đờng thẳng song song thờng dùng định lý Ta Lét.
C3/Nếu có góc vuông thờng dùng hệ thức lợng trong tam giác vuông C4/ Nếu có phân giác thờng dùng tính chất đờng phân giác
Chú ý: Nếu không chứng minh đ ợc trực tiếp thì dùng tính chất bắc cầu.
V I I - C h ứ n g m i n h m ộ t đ ờ n g t h ẳ n g l à t i ế p t u y ế n c ủ a đ ờ n g t r ò n .
C1/ Chứng minh đờng thẳng vuông góc với bán kính tại đầu thuộc đờng tròn.
C2/ Chứng minh khoảng cách từ tâm đến đờng thẳng bằng bán kính.
VIII-các trờng hợp bằng nhau và đồng dạng của 2 tam giác.
A)Bằng nhau: c. c. c ; c. g.c ; g.c.g B)Đồng dạng : g. g ; c.c.c ; c.g.c
IX-Khi giải bài tập tính toán cần ghi nhớ
1.Công thức tính chu vi và diện tích các hình
2.Diện tích tam giác đều và tam giác cân có một góc bằng 1200
3.Hệ thức lợng trong tam giác vuông ( cả đl Pi-ta –go) và tỉ số l ợng giác của góc nhọn.
X-Khi giải bài toán quỹ tích (Thờng cho dới dạng Khi một điểm chuyển động thì điểm ? di “
chuyển trên đờng nào hoặc chứng minh điểm ? di chuyển trên một đ ờng tròn cung tròn hay đ ờng thẳng cố định )”
cần xét xem điểm đó có một trong các tính chất sau:
1. Nhìn đoạn thẳng cố định một góc vuông là đ ờng tròn đờng kính 2. Cách một điểm cố định một khoảng không đổi là đ ờng tròn tâm 3. Nhìn đoạn thẳng cố định một góc không đổi là cung chứa góc
4. Cách đờng thẳng cố định một khoảng không đổi là đ ờng thẳng song song ( hoặc vuông góc)
5. Cách đều 2 điểm cố định là đ ờng trung trực của đoạn thẳng 6. Cách đều 2 cạnh một góc cố định là tia phận giác cuả góc
Chú ý : Quỹ tích ( còn gọi là tập hợp) phải gắn với yếu tố cố định
XI-Khi giải bài toán giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất trong hình học cần ghi nhớ:
1.Trong tam giác vuông cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông 2.Trong hình thang vuông cạnh xiên lớn hơn cạnh vuông
C.Một số dạng hình cơ bản
I,Từ một điểm nằm nghoài (O) kẻ tiếp tuyến , cát tuyến II,Đa giác nội tiếp đờng tròn (Đờng tròn ngoại tiếp) III, Hai đờng tròn cắt nhau
IV,Hai đờng tròn tiếp xúc V, Nửa đờng tròn
VI,Đờng tròn nội tiếp Đa giác VII,Không có đờng tròn
BàI tập
Dạng 1 : Từ một điểm ở ngoài đ ờng tròn kẻ tiếp tt, cát tuyến đến đ ờng tròn
Bài 1 : Từ điểm M nằm ngoài (O) kẻ hai cát tuyến MAB,MCD.
a) Chứng minh MA.MB = MC.MD
b) AD cắt BC tại N .Chứng minh NA.ND = NB.NC
c) Kẻ tiếp tuyến MP . Chứng minh MP2 = MA.MB = MC.MD
Bài 2 ( Đề năm 02-03)
Cho đờng tròn tâm O và M là điểm ở ngoài đ ờng tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MP, MQ (Q, P là hai tiếp điểm) và một cát tuyến cắt đ ờng tròn tại A và B.
a. Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh 4 điểm P, Q, O, I nằm trên một đ ờng tròn b. PQ cắt AB tại E. Chứng minh MP 2 = ME. MI
c. Qua A kẻ một đờng thẳng song song với MP cắt PQ, PB lần l ợt tại H,K. Chứng minhTứ giác AHIQ nội tiếp và KB = 2. HI
Bài 3 ( Đề năm 06-07)Cho điểm A ở bên ngoài đờng tròn tâm O. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với
đờng tròn (B, C là tiếp điểm). M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M ≠B, M ≠C ). Gọi D, E, F tơng ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đ ờng thẳng AB, AC, BC; H là giao điểm của MB và DF; K là giao điểm của MC và EF.
b) MF2 = MD.ME
b) MF vuông góc với HK.
c) DF là tiếp tuyến của đ ờng tròn đờng kính MC
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A . Đ ờng tròn (O) tiếp xúc với hai cạnh AB,AC lần l ợt tại B,C.Qua C kẻ một đờng thẳng song song với AB cắt (O) tại D .AD cắt (O) tại E .Chứng minh: a) AE.AD = OA2 – OD2
b)CE cắt AB tại G .Chứng minh : GA2 = GE.GC c) Chứng minh : GA= GB
Bài 5 : Từ điểm M nằm ngoại (O) kẻ hai tiếp tuyến MA,MB và cát tuyến MCD .Tia phân giác
của góc CAD cắt CD tại I . Chứng minh a) MI = MA b) BI là tia phân giác của góc CBD.
Bài 6 : Từ điểm M nằm ngoại (O) kẻ cát tuyến MCD. Tiếp tuyến với (O) tại C,D cắt nhau tại
A.Gọi H là hình chiếu của A trên OM. Chứng minh: a) 5 điểm C,D,O,A,H cùng thuộc một đ ờng tròn. b) MH.MO = MC.MD
c) Kẻ tiếp tuyến MB .Chứng minh MH.MO = MB2 Từ đó H cố định. d)* A,H,B thẳng hàng.
e)*AH cắt (O) tại E .Cm ME là tiếp tuyến của (O)
Bài 7 : cho (O) và đờng thẳng d cắt (O)
Tại A,B. M thuộc đờng thẳng d và nằm ngoài (O) .Kẻ 2 tiếp tuyến MC,MD . Chứng minh:
a)Đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCD luôn đi qua 2 điểm cố định b)Xác định vị trí của M để tam giác MCD vuông
Bài 8 : Cho đường trũn (O) cú bỏn kớnh R và một điểm S ở ngoài đường trũn (O). Từ S vẽ hai tiếp tuyến SA, SB với đường trũn (O) (A, B là hai tiếp điểm). Vẽ đường thẳng a đi qua S cắt đường trũn (O) tại hai điểm M, N với M nằm giữa hai điểm S và N (đường thẳng a khụng đi qua tõm O).
a) Chứng minh SO vuụng gúc với AB.
b) Gọi H là giao điểm của SO và AB, gọi I là trung điểm của MN. Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại điểm E. Chứng minh IHSE là một tứ giỏc nội tiếp.
c) Chứng minh OI.OE = R2. d) Cho biết SO = 2R và MN = Tớnh diện tớch tam giỏc ESM theo R.
Dang2 : Đa giác nội tiếp đ ờng tròn
Bài 9: (đề 06-07) Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC, BD cắt
nhau tại E. Hình chiếu vuông góc E trên AD là F. Đ ờng thẳng CF cắt đ ờng tròn tại điểm thứ hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh
a) CEFD là tứ giác nội tiếp.
b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM c) BE. DN = EN . BD
Bài 10: Cho tam giác PQR nội tiếp đ ờng tròn tâm O, đờng phân giác trong của góc P cắt cạnh
QR tại D và đờng tròn ngoại tiếp tại I. a)Chứng minh OI vuông góc với cạnh QR. b)Chứng minh đẳng thức QI2 = PI.DI
c)Gọi H là hình chiếu vuông góc của P trên cạnh QR. Cm QPˆH = RPˆO
d)Chứng minh góc HPˆO = |Q - R|
Bài11: Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đ ờng tròn tâm O, kẻ đờng kính AD.
a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật .
b) Gọi M và N thứ tự là hình chiếu vuông góc của B, C trên AD; AH là đ ờng cao của tam giác (H trên cạnh BC). Chứng minh HM vuông góc với cạnh AC.
c) Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MHN.
d) Gọi bán kính của đt nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vuông ABC là r và R. Cm: r + R ≥
AC. . AB
Bài 12 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) .Đ ờng cao AH .Kẻ đờng kính AD.
Chứng minh: a) AB.AC = AH.AD b) Diện tích tam giác ABC = ( AB.AC.BC):(4.OA)
Bài 13 Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O) .Tia phân giác của các góc B , C cắt nhau ở E
và cắt (O) lần lợt tại F,D. Chứng minh: a) AD // BF
b) Tứ giác ADEF là hình thoi
c) Qua E kẻ một đờng thẳng song song với AC cắt AB tại G
Cm tứ giác BEGD nội tiếp. DF cắt AC tại H .Cm H thuộc đt ngoại tiếp tam giác CEF
Bài 14 : Cho ∆ABC nhọn, nội tiếp đ ờng tròn tâm O. Từ B, C kẻ tiếp tuyến với đ ờng tròn, chúng cắt nhau tại D. Từ D kẻ cát tuyến song song với AB cắt đờng tròn tại E, F và cắt AC tại I.
b) Chứng minh bốn điểm O, I, D, C nằm trên một đ ờng tròn c) Chứng minh IE=IF
d) Chứng minh ID là phân giác góc BIC
e) Cho B,C cố định,kh A chuyển động trên cung BC lớn thì I di chuyển trên đ ờng nào ?
Bài15 :Cho tam giác ABC nội tiếp đ ờng tròn(O). D,E là điểm chính giữa của cung AB, AC. DE
cắt AB và AC tại H,K.
a) Chứng minh rằng: tam giácAHK cân
b) BE cắt CD tại I, Chứng minh rằng AI vuông góc với DE c) Chứng minh rằng:CEKI nội tiếp
d) Chứng minh rằng IK//AB
e) tam giác ABC có thêm điều kiện gì ? thì AI//EC
Bài 16 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đ ờng tròn. P là điểm chính giữa của cung
AB( phần không chứa C,D). Hai đây PC, PD lần l ợt cắt dây AB tại E và F. Các dây AD, PC kéo dài cắt nhau tại I. Các dây BC,PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minhrằng:
a) Góc CID bằng góc CKD. b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc. c) PC.PE = PD.PF
d) IKCD nội tiếp e) IK//AB.
f) PA là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AFD.
Bài 17 : Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong đ ờng tròn (O). Tiếp tuyến tại C với đ ờng tròn
cắt AB,AD kéo dài lần l ợt tại E và F.
a) Chứng minh AB.AE=AD.AF bằng hai ph ơng pháp.
b) Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh AM vuông góc với BD.
c) Tiếp tuyến tại B và D với đờng tròn (O) cắt EF lần lợt tại I, J. Chứng minh I và J lần l ợt là trung điểm của CE và CF.
d) Tính diện tích phần hình tròn giới hạn bởi dây AD và cung nhỏ AD, biết AB=6 và AD=6 3.
Bài 18 :Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đ ờng tròn đờng kính BD(AC cắt BO). Kéo dài AB và
DC cắt nhau ở E;CB và DA cắt nhau tại F.
a) Chứng minh DB vuông góc với EF( gọi chân đ ờng vuông góc là G) b) Chứng minh BCGF , ABGF nội tiếp
c) Chứng minh:BA.BE=BC.BF=BD.BG
d) Chứng minh B là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ACG. e) Cho góc ABC bằng 1350, hãy tính độ dài AC theo BD.
Bài 19 :Cho tam giácABC cân tại A( góc A<900) nội tiếp đờng tròn (O). Một điểm M tuỳ ý trên
cung nhỏ AC. Tia Bx vuông góc với AM cắt tia CM tại D. Chứng minh rằng: