D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
A. B C D Lời giả
4.4. Tính đơn điệu của hàm hợp có chứa tham số
“Tìm m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng ”: Phương pháp giải
+ Tính đạo hàm của hàm số
+ Bài toán trở thành: Tìm m để bất phương trình
Bước 1: Cô lập tham số m, nghĩa là đưa bất phương trình (hoặc
) về dạng (hoặc ).
18
Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2
=================================================================
Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng .
Bước 3: Từ bảng biến thiên ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m.
Bài 2.12. [VD] Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số nghịch biến trên khoảng
Hướng dẫn giải:
+ Từ đồ thị hàm số ta có dấu của . Cụ thể là đồ thị có dáng đi xuống
trên khoảng , đi lên trên hai khoảng nên ; .
+ Tính đạo hàm của hàm :
+ Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước và kỹ thuật cô lập m, giải bài toán tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi .
Lời giải
Từ đồ thị hàm số ta có .
Dễ thấy có hữu hạn nghiệm, nên hàm số nghịch biến trên
Hàm số đồng biến trên [0;1] nên hệ trên tương đương
Vậy không có thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Binh luận:
+ Từ đồ thị hàm số , ta thấy bất phương trình và suy ra
nghiệm của .
Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2
=================================================================+ Ta có thể tương tự hóa dạng bài này khi học sinh học đến bài hàm mũ, logarit,… + Ta có thể tương tự hóa dạng bài này khi học sinh học đến bài hàm mũ, logarit,…
+ Nếu hàm số có , dấu bằng xảy ra tại hữu hạn thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.
Bài 2.13. Cho hàm số có đạo hàm trên và bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ sau:
Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số nghịch biến trên khoảng ?
Lời giải
.
Hàm số nghịch biến trên khoảng .
.
Vậy
Bài 2.14. Cho hàm số có đạo hàm Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số nghịch biến trên khoảng
Hướng tiếp cận:
Với dạng bài tập này ta thực hiện theo các bước sau: + Tính đạo hàm của
+ Thay giả thiết ta có + Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước và kỹ thuật
cô lập m, giải bài toán tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi .
Lời giải
Ta có .
Hàm số nghịch biến trên khoảng
Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2
=================================================================
(dấu xảy ra tại hữu hạn điểm trên khoảng - luôn đúng) Xét hàm số . Ta có . Bảng biến thiên: 016 Từ bảng biến thiên ta có . Bàn luận:
+ Vì hàm số liên tục và đơn điệu trên đoạn nên khi không lập bảng biến
thiên, ta có thể diễn đạt:
+ Ta có thể tương tự hóa dạng bài này khi học sinh học đến bài hàm mũ, logarit.
Bài 2.15. Cho hàm số có đạo hàm Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số nghịch biến trên
Lời giải
Trên ta có
Hàm số nghịch biến trên
Xét hàm số trên , có nên hàm số nghịch biến trên . Mà suy ra .
Bài 2.16. Cho hàm số có đạo hàm . Tìm
tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên .
Lời giải
Ta có .
Hàm số đồng biến trên , 21
Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2================================================================= ================================================================= , (vì ) , . Đặt , do nên . , , , Dễ thấy , do đó
Bàn luận: Bài toán có thể mở rộng theo ý tưởng sau:
Bài 2.17. Cho hàm số có
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng
Hướng tiếp cận:
Vì ta cần xét tính đơn điệu của hàm số nên cần biết dấu của
+ Từ giả thiết suy ra
+ Thay vào biểu thức
+ Suy ngược ra công thức . Từ đó suy ra tính đơn điệu của hàm .
Lời giải
Ta có .
Suy ra
Nghĩa là .
Hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi (Dấu “ ” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm - luôn đúng).
(vì và )
. Với ,
dấu “=” xảy ra khi . Do đó (*) .