5.2.1. Ứng suất trên mặt cắt ngang.
a. Thí nghiệm
Quan sát một đoạn dầm chịu uốn phẳng thuần tuý có mặt cắt ngang hình chữ nhật trước và sau khi biến dạng:
Hình 2.5.2
b. Các giả thiết
Từ các thí nghiệm dầm chịu uốn phẳng thuần tuý ⇒ một số giả thiết:
Giả thiết về mặt cắt ngang phẳng: Mặt cắt ngang của thanh trước và sau biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục của thanh.
Giả thiết về các thớ dọc: Trong suốt quá trình biến dạng các thớ dọc luôn song song với nhau và song song với trục thanh.
Thớ không bị dãn, không bị co gọi là thớ trung hoà. Các thớ trung hoà tạo thành mặt trung hoà (lớp trung hoà). Giao tuyến của mặt trung hoà với mặt cắt nganggọi là đường trung hoà.
c. Thiết lập công thức
Dựa vào giả thuyết mặt cắt ngang phẳng và theo nhận xét các ô chữ nhật sau khi bị biến dạng vẫn có các góc vuông ta đi đến kết luận: Trên mặt cắt ngang của dầm chỉ có ứng suất pháp σ, còn ứng suất tiếp không có, vì nếu có thì sẽ phát sinh biến dạng trượt và các ô không còn vuông góc nữa. Bây giờ ta thiết lập công thức tính ứng suất pháp σ.
Hình 2.5.3
Trước khi biến dạng Sau khi biến dạng
n m m n I K O 1 O 2 y dz ρ K I dθ
Xét đoạn dầm nằm giữa hai mặt cắt m-m vàn-n cách nhau một đoạn dz. Sau khi bị biến dạng các mặt cắt m-m và n-n vẫn phẳng và làm với nhau một góc dθ. Gọi ρ là bán kính cong của thớ trung hòa O1O2. Vì thớ trung hòa không co không dãn nên:
O1O2 = ∪O1O2 = dz = ρ.dθ
Thớ IK ở cách thớ trung hòa đoạn y, sau khi biến dạng trở thành cung IK có độ dài:
∪IK = (ρ + y)dθ
Trước khi biến dạng thớ IK có độ dài là dz nên biến dạng dài tuyệt đối của thớ nàylà:
∆ = (ρ+y)dθ - ρdθ = ydθ
Biến dạng dài tương đối của thớ IK là:
ε = ∆/IK = ydθ/ρdθ = y/ρ
Theo định luật Húc ta có ứng suất pháp
σ = Eε = E.(y/ρ)
trong đó E là mô đun đàn hồi khi kéo nén của vật liệu đã biết, còn lại y và ρ
chưa biết vì vị trí TTH chưa được xác định.
Để xác định Trục trung hoà ta xét một phân tố diện tích dF trên mặt cắt bất kỳ, chẳng hạn mặt cắt m-m. Gọi Trục trung hoà là trục x, trong mặt phẳng
xOy phân tố dF có các tọa độ là x và y.
Vì dF rất nhỏ nên xem như ứng suất phân bố đều, do đó hợp lực của các ứng suất σ trên diện tích dF có trị số là σ.dF. Trên mặt cắt của dầm uốn thuần túy chỉ có mô men uốn Mx, không có lực dọc nên ta có
∫FσdF = 0 và
∫Fy.σdF = Mx
trong đó các tích phân đều lấy trên toàn diện tích F của mặt cắt; y.σ dFlà mô men của hợp lực của các ứng suất σ trên diện tích dF đối với trục x.
∫F(E/ρ).ydF = 0 ---> (E/ρ)∫FydF = 0
Vì E/ρ ≠ 0 còn ∫FydF=Sx là mô men tĩnh của diện tích F đối với trục x nên ta có Sx=0.
Điều đó chứng tỏ Trục trung hoà x đi qua trọng tâm của mặt cắt. Vì trục y là đối xứng nên hệ trục xOy là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt, còn trục z trùng với trục dầm.
Ta lại có
Mx = ∫Fy.(E/ρ)ydF = (E/ρ)∫Fy2dF
Biết Jx=∫Fy2dF là mô men quán tính của mặt cắt đối với Trục trung hoà nên; Mx = (E/ρ).Jx
Rút ra:
1/ρ = Mx/EJx gọi là độ cong của dầm.
Ta thấy khi Mx không đổi nếu EJx lớn thì độ cong bé, tức là dầm bị biến dạng ít, nên EJx được gọi là độ cứng chống uốn của dầm.
Cuối cùng ta được:
σ = y.Mx/Jx , để sử dụng cho thuận tiện ta viết lại như sau:
σ = ±(Mx/Jx).y
trong đó Mx là trị tuyệt đối của mô men uốn tại mặt cắt chứa điểm cần tính ứng suất; Jx là mô men quán tính của mặt cắt đối với Trục trung hoà x; y là khoảng cách từ điểm tính ứng suất đến Trục trung hoà ; σ lấy dấu dương nếu điểm tính ứng suất ở vùng chịu kéo, dấu âm khi ngược lại.
5.2.2. Biểu đồ ứng suất phẳng.
Theo công thức ta thấy tại mặt cắt nào đó thì Mx và Jx là hằng, ứng suất pháp là hàm bậc nhất của y, nên biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt là một mặt phẳng (mặt ABCD) mà giao với mặt cắt là Trục trung hoà vì tại đó các điểm đều có ứng suất pháp triệt tiêu.
Cũng theo công thức ta nhận thấy những điểm cùng nằm trên một đường thẳng song song với Trục trung hoà có khoảng cách y đến Trục trung
hoà bằng nhau thì có trị số ứng suất pháp bằng nhau. Do vậy khi vẽ biểu đồ ứng suất pháp ta không cần vẽ cho toàn bộ mặt cắt mà chỉ vẽ cho một đường trên mặt cắt vuông góc với Trục trung hoà . Trên đường đó biểu đồ ứng suất là một đường thẳng có ứng suất tại điểm trên Trục trung hoà bằng không, các điểm càng xa Trục trung hoà thì trị số của ứng suất càng lớn. Tùy theo Mx dương hay âm mà các ứng suất ở mỗi phía trên hay dưới Trục trung hoà là kéo hoặc nén. Các ứng suất kéo được vẽ hướng ra ngoài mặt cắt, ở phần này trên biểu đồ có ghi thêm dấu (+), còn ứng suất nén vẽ hướng vào mặt cắt và ở phần này trên biểu đồ có ghi thêm dấu (-).
Trên biểu đồ ta thấy điểm nằm xa Trục trung hoà nhất về phía các thớ chịu nén sẽ chịu nén nhiều nhất, ứng suất nén ở điểm đó được ký hiệu là σmin , còn khoảng cách từ điểm đó đến Trục trung hoà được ký hiệu là yn
max (tức là khoảng cách lớn nhất ở phía chịu nén). Còn điểm nằm xa Trục trung hoà nhất về phía các thớ chịu kéo sẽ chịu kéo nhiều nhất, ứng suất kéo ở đó được ký hiệu là σmax , khoảng cách từ điểm đó đến Trục trung hoà ký hiệu là yk max . Vậy ta có: σmin = -(Mx/Jx).yn max = -Mx/Wn x σmax = (Mx/Jx).yk max = Mx/Wk x trong đó Wn x và Wk
x được gọi là mômen chống uốn của mặt cắt, có thứ nguyên là [chiều dài]3, đơn vị thường dùng là cm3, mm3, m3. Cũng như mô men quán tính,... mô men chống uốn là một đặc trưng hình học. Qua công thức ta thấy khi Wx càng lớn thì ứng suất có trị số càng nhỏ, do đó khả năng chống uốn của dầm càng lớn.
Đối với những mặt cắt mà TTH cũng là trục đối xứng (như mặt cắt chữ nhật, chữ I,...thì yn
max=yk
max do đó Wn x=Wk
x=Wx. Khi đó ta có thể viết gọn lại công thức như sau:
Công thức tính mô men chống uốn của các mặt cắt thường được tính sẵn và cho trong các bảng hay sổ tay kỹ thuật. Sau đây ta nghiên cứu mô men chống uốn của một vài mặt cắt thường gặp nhất.
-Mặt cắt tròn: ta có Jx = πd4/64 vậy Wx = Jx/ymax = (πd4/64)/(d/2) Wx = πd3/32 ≈ 0,1d3. -Mặt cắt chữ nhật: ta đã có Jx = bh3/12 vậy Wx = (bh3/12)/(h/2) Wx = bh2/6
trong đó b là cạnh song song với TTH, còn h vuông góc với TTH.
-Mặt cắt hình vành khăn (tròn rỗng):
ta đã có Jx = (1-η4)πD4/64 vậy Wx = Jx/ymax mà ymax = D/2 Wx = (1-η4)πD3/32 ≈ 0,1(1-η4)D3. -Với mặt cắt là thép định hình như chữ I, chữ [, v.v mô men chống uốn được tra trong phụ lục.
5.2.3. Điều kiện bền khi uốn thuần túy.
Nếu dầm có hình dạng và kích thước mặt cắt không đổi thì khi kiểm tra điều kiện bền về ứng suất pháp trước hết cần xác định mặt cắt nguy hiểm là mặt cắt mà mô men uốn có trị tuyệt đối lớn nhất, mô men uốn đó được ký hiệu là Mmax.
-Trường hợp dầm làm bằng vật liệu dẻo có [σk]=[σn]=[σ] thì trong hai ứng suất σmax và σmin ta lấy ứng suất nào có trị tuyệt đối lớn hơn để so sánh với ứng suất cho phép.
Điều kiện bền là: maxσ ≤ [σ]
Nếu mặt cắt có Trục trung hoà là trục đối xứng thì maxσ=σmax=σmin
σmax = Mmax/Wx≤ [σ]
-Trường hợp dầm làm bằng vật liệu giòn thì điều kiện bền là:
σmin≤ [σn] σmax≤ [σk]
Nếu mặt cắt có Trục trung hoà là trục đối xứng thì, vì σmin=σmax nên ta chỉ cần kiểm tra theo một điều kiện bất lợi là đủ:
σmax ≤ [σk]