CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC
6.338 CAF = BAE (= 600 + CAE) 6.339AB = AC ( ∆ABC đều)
6.340 ⇒∆AEB = ∆AFC (c.g.c)
6.341 ⇒ BEA = CFA = 900 (vì AE ⊥ BE) 6.342 b) Cách dựng
6.343 Từ A hạ AE ⊥ m tại E 6.344 - Dựng ∆ đều AEF
6.345 - Từ F dựng đường vuông góc với AF cắt n tại C
6.346 - Nối A với C, dựng đường tròn tâm A bán kính AC cắt m tại B. 6.347 - Nối A với B, B với C ta được ∆ABC cần dựng
6.348 c) Chứng minh
6.349 Xét ∆ vuông ABE và ∆ vuông ACF có:
6.350 AB = AC (Cách dựng) ⇒∆ vuông ABF = ∆ vuông ACF (c.g.c) 6.351 AE = AF
6.352 ⇒ BAE = CAF
6.353 Mà CAF = EAF + CAE = 600 + CAE 6.354 Và BAE = BAC + CAE
6.355 ⇒ BAC = 600
6.356 ∆ABC có AB = AC và BAC = 600 ⇒∆ABC đều 6.357 d) Biện luận 75 A F E C B
76
6.358 Bài toán có 2 nghiệm vì ta có thể dựng được 2 ∆ đều
6.359 Bài toán 3
6.360 Dựng ∆ABC biết BC = a; AB + AC = d; ABC = α 6.361 Bài giải:
6.362 a) Phân tích
6.363 Giả sử ta đã dựng được ∆ABC thoả mãn các điều kiện của đầu bài. Kéo dài BA và trên đường kéo dài lấy điểm D sao cho AD = AC.
6.364 Suy ra: BD = AB + AD = AB + AC = d
6.365 ⇒∆ DAC cân ⇒ A = BD ∩ đường trung trực của CD 6.366 b) Cách dựng 6.367 6.368 6.369 6.370 6.371 6.372 6.373 6.374 6.375 - Dựng đoạn BC = a
6.376 - Dựng tia Bx sao cho xBC = α
6.377 - Dựng điểm D trên Bx sao cho BD = d 6.378 - Nối D với C
6.379 - Dựng điểm A là giao của BD và đường trung trực của CD 6.380 - Nối A với C ta được ∆ABC cần dựng
6.381 c) Chứng minh 76 x D A B C d a
77
6.382 ABC = α (cách dựng) 6.383 BC = a (cách dựng)
6.384 A ∈ đường trung trực của DC ⇒ AD = AC 6.385 A, D ∈ Bx; BD = d (cách dựng)
6.386 ⇒ BD = AB + AD = AB + AC = d 6.387 ⇒∆ABC là ∆ cần dựng
6.388 d) Biện luận
6.389 - d < a ⇒ bài toán vô nghiệm 6.390 - d > a ⇒ Bài toán có một nghiệm
6.391 Bài toán 4
6.392 Dựng ∆ABC biết BC = a, trung tuyến AM = m, đường cao CH = h
6.393 Bài giải
6.394 a) Phân tích
6.395 Giả sử đã dựng được ∆ABC thoả mãn điều kiện của đầu bài 6.396 ⇒ A ∈ đường tròn tâm M bán kính m.
6.397 H ∈ đường tròn đường kính BC 6.398 CH = h; B, H, A thẳng hàng 6.399 b) Cách dựng
6.400 - Dựng BC = a, trung điểm M của BC 6.401 - Dựng đường tròn (M, m)
6.402 - Dựng đường tròn đường kính BC
6.403 - Dựng điểm H ∈ đường tròn đường kính BC sao cho HC = h 6.404 - Dựng điểm A là giao điểm của BH và (M, m)
6.405 c) Chứng minh 77 A ’ B C M A H h h
78
6.406 BC = a
6.407 CH = h (cách dựng) 6.408 A ∈ (M, m) ⇒ AM = m
6.409 ⇒∆ABC là tam giác cần dựng 6.410 d) Biện luận
6.411 Bài toán có nghiệm khi > = < h m a BC h 2
6.412 Bài toán có hai nghiệm do BH cắt (M, m) tại hai điểm là A và A'