Trong rất nhiều bài toán tổ hợp, để chứng minh sự tồn tại của một cấu hình với những tính chất cho trước, người ta sử dụng nguyên lý đơn giản sau gọi là nguyên lý Dirichlet.
Nguyên lý Dirichlet. Nếu đem xếp nhiều hơn n đối tượng vào n hộp thì luôn tìm được một cái hộp chứa không ít hơn 2 đối tượng.
Chứng minh. Việc chứng minh nguyên lý trên chỉ cần sử dụng một lập luận phản chứng đơn giản. Giả sử không tìm được một hộp nào chứa không ít hơn hai đối tượng. Điều đó nghĩa là mỗi hộp không chứa quá một đối tượng. Từ đó suy ra tổng các đối tượng không vượt quá n trái với giả thiết bài toán là có nhiều hơn n đối tượng được xếp vào chúng.
Ví dụ 1. Trong bất kỳ một nhóm có 367 người thế nào cũng có ít nhất hai người có cùng ngày sinh.
Giải: Vì một năm có nhiều nhất 366 ngày. Như vậy, theo nguyên lý Dirichlet thì có ít nhất một ngày có hai người cùng một ngày sinh.
Ví dụ 2. Trong bất kỳ 27 từ tiếng Anh nào cũng đều có ít nhất hai từ cùng bắt đầu bằng một chữ cái.
Giải: Vì bảng chữ cái tiếng Anh chỉ có 26 chữ cái. Nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất 2 từ sẽ bắt đầu bởi cùng một chữ cái.
Ví dụ 3. Bài thi các môn học cho sinh viên được chấm theo thang điểm 100. Hỏi lớp phải có ít nhất bao nhiêu sinh viên để có ít nhất hai sinh viên được nhận cùng một điểm.
Giải: Cần có ít nhất 102 sinh viên vì thang điểm tính từ 0.. 100 gồm 101 số. Do vậy, theo nguyên lý Diriclet muốn có 2 sinh viên nhận cùng một điểm thì lớp phải có ít nhất là 101 +1 = 102 sinh viên.
Nguyên lý Dirichlet tổng quát. Nếu đem xếp n đối tượng vào k hộp thì luôn tìm được một hộp chứa ít nhất ⎡n/k⎤ đối tượng.
Nguyên lý trên được nhà toán học người Đức Dirichlet đề xuất từ thế kỷ 19 và ông đã áp dụng để giải nhiều bài toán tổ hợp.
Ví dụ 4. Trong 100 người có ít nhất 9 người sinh nhật cùng một tháng.
Giải: Một năm có 12 tháng. Xếp tất cả những người sinh nhật vào cùng một nhóm. Theo nguyên lý Dirichlet ta có ít nhất ⎡100/12⎤ = 9 người cùng sinh nhật một tháng.
Ví dụ 5. Có năm loại học bổng khác nhau để phát cho sinh viên. Hỏi phải có ít nhất bao nhiêu sinh viên để chắc chắn có 5 người được nhận học bổng như nhau.
Giải. Số sinh viên ít nhất để có 5 sinh viên cùng được nhận một loại học bổng là số n thoả mãn ⎡n/5⎤ > 5. Số nguyên bé nhất thoả mãn điều kiện trên là n = 25 + 1 = 26. Như vậy phải có ít nhất 26 sinh viên để có ít nhất 5 sinh viên cùng được nhận một loại học bổng.
Ví dụ 6. Trong một tháng có 30 ngày một đội bóng chày chơi ít nhất mỗi ngày một trận, nhưng cả tháng chơi không quá 45 trận. Hãy chỉ ra rằng phải tìm được một giai đoạn gồm một số ngày liên tục nào đó trong tháng sao cho trong giai đoạn đó đội chơi đúng 14 trận.
Giải: Giả sử aj là số trận thi đấu cho tới ngày thứ j của đội. Khi đó: a1, a2,..., a30
là dãy tăng của các số nguyên dương và 1 ≤ aj≤ 45. Suy ra dãy:
a1 + 14, a2 + 14,..., a30 + 14 cũng là dãy tăng các số nguyên dương và 15 ≤ aj≤ 59 Như vậy, dãy 60 số nguyên dương
a1, a2,.., a30, a1 + 14, a2 + 14,..., a30 + 14 trong đó tất cả các sốđều nhỏ hơn hoặc bằng 59. Theo nguyên lý Dirichlet thì phải tồn tại ít nhất hai số trong số hai số nguyên này bằng nhau. Vì các số a1, a2,..., a30 là đôi một khác nhau và a1 + 14, a2 + 14,..., a30 + 14 cũng đôi một khác nhau. Nên ta suy ra phải tồn tại chỉ số i và j sao cho ai=aj + 14. Điều đó có nghĩa là có đúng 14 trận đấu trong giai đoạn từ ngày j + 1 đến ngày thứ i.
NHỮNG NỘI DUNG CẦN GHI NHỚ
Bạn đọc cần ghi nhớ một số kiến thức quan trọng sau:
9 Những nguyên lý đếm cơ bản: nguyên lý cộng, nguyên lý nhân & nguyên lý bù trừ.
9 Sử dụng những nguyên lý cơ bản trong đếm các hoán vị, tổ hợp.
9 Hiểu phương pháp cách giải quyết bài toán đếm bằng hệ thức truy hồi.
9 Nắm vững cách thức qui một bài toán đếm về những bài toán con.
9 Cách giải phổ biến cho bài toán tồn tại là sử dụng phương pháp phản chứng hoặc sử dụng nguyên lý Dirichlet.
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Bài 1. Xâu thuận nghịch độc là một xâu khi viết theo thứ tự ngược lại cũng bằng chính nó. Hãy đếm số xâu nhị phân có độ dài n là thuận nghịch độc.
Bài 2. Cô dâu và chú rể mời bốn bạn đứng thành một hàng để chụp ảnh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng nếu:
a) Cô dâu đứng cạnh chú rể b) Cô dâu không đứng cạnh chú rể c) Cô dâu đứng ở phía bên phải chú rể
Bài 3. Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài 10 có năm số 0 liền nhau hoặc năm số 1 liến nhau.
Bài 4. Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài bằng 8 có 3 số 0 liền nhau hoặc 4 số 1 liền nhau.
Bài 5. Mỗi sinh viên lớp toán học rời rạc hoặc giỏi toán hoặc giỏi tin học hoặc giỏi cả hai môn này. Trong lớp có bao nhiêu sinh viên nếu 38 người giỏi tin (kể cả người giỏi cả hai môn), 23 người giỏi toán (kể cả người giỏi cả hai môn), và 7 người giỏi cả hai môn.
Bài 6. Chứng tỏ rằng, trong n+1 số nguyên dương không vượt quá 2n tồn tại ít nhất một số chia hết cho một số khác.
Bài 7. Chứng minh rằng, trong dãy gồm n2 + 1 số thực phân biệt đều có một dãy con dài n+1 hoặc thực sự tăng, hoặc thực sự giảm.
Bài 8. Giả sử trong một nhóm 6 người mỗi cặp hai hoặc là bạn, hoặc là thù. Chứng tỏ rằng trong nhóm có ba người là bạn của nhau hoặc là kẻ thù của nhau.
Bài 9. Hãy chỉ ra rằng, trong 102 người có chiều cao khác nhau đứng thành một hàng có thể tìm được 11 người có chiều cao tăng dần hoặc giảm dần mà không cần thay đổi thứ tự của họ trong hàng.
Bài 10.Một đô vật tay tham gia thi đấu giành chức vô địch trong 75 giờ. Mỗi giờ anh ta thi đấu ít nhất một trận, nhưng toàn bộ anh ta không thi đấu quá 125 trận. Chứng tỏ rằng, có những giờ liên tiếp anh ta thi đấu 24 trận.
Bài 11.Một nhân viên bắt đầu làm việc tại công ty từ năm 1987 với mức lương khởi điểm là 50000 đô la. Hàng năm anh ta được nhận thêm 1000 đô la và 5% lương của năm trước.
a) Hãy thiết lập hệ thức truy hồi tính lương của nhân viên đó n năm sau năm 1987. b) Lương vào năm 1995 của anh ta là bao nhiêu?
c) Hãy tìm công thức tường minh tính lương của nhân viên này n năm sau năm 1987.
Bài 12.Tìm hệ thức truy hồi cho số hoán vị của tập n phần tử. Dùng hệ thức truy hồi đó tính hoán vị của tập n phần tử.
Bài 13.Một máy bán tem tự động chỉ nhận các đồng xu một đôla và các loại tờ tiền 1 đôla và 5 đôla.
a) Hãy tìm hệ thức truy hồi tính số cách đặt n đô la vào trong máy bán hàng, trong đó thứ tự các đồng xu, các tờ tiền là quan trọng.
b) Tìm các điều kiện đầu.
c) Có bao nhiêu cách đặt 10 đô la vào máy để mua một bộ tem.
Bài 14.Giải các hệ thức truy hồi với các điều đầu sau:
a) an = an-1 + 6an-2 với n ≥ 2, a0 = 3, a1 = 6. b) an = 7an-1 - 6an-2 với n ≥ 2, a0 = 2, a1 = 1. c) an = 6an-1 - 8an-2 với n ≥ 2, a0 = 4, a1 = 10. d) an = 2an-1 - an-2 với n ≥ 2, a0 = 4, a1 = 1. e) an = an-2 với n ≥ 2, a0 = 5, a1 = -1. f) an = -6an-1 - 9an-2 với n ≥ 2, a0 = 3, a1 = -3. g) an+2 = -4an+1 + 5an với n ≥ 0, a0 = 2, a1 = 8.
Bài 15.Tìm các nghiệm đặc trưng của hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất: a) an = 2an-1 - 2an-2
b) Tìm nghiệm thoả mãn hệ thức truy hồi trên và các điều kiện đầu a0 =1, a1 =2.
Bài 16.a) Tìm nghiệm đặc trưng của hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất an = an-4
b) Tìm nghiệm thoả mãn hệ thức truy hồi trên và các điều kiện đầu a0=1, a1=0, a2=-1, a3=1.
Bài 17.Một báo cáo về thị trường máy tính cá nhân cho biết có 65000 người sẽ mua modem cho máy tính của họ trong năm tới, 1 250 000 người sẽ mua ít nhất một sản phẩm phần mềm. Nếu báo cáo này nói rằng 1.450.000 người sẽ mua hoặc là modem hoặc là ít nhất một sản phẩm phần mềm thì sẽ có bao nhiêu người sẽ mua cả modem và mua ít nhất một sản phẩm phần mềm.
Bài 18.Một trung tâm máy tính có 151 máy vi tính. Các máy của trung tâm được đặt tên bởi một số nguyên dương từ 1 đến 300 sao cho không có hai máy nào được đặt tên trùng nhau. Chứng minh rằng luôn tìm được hai máy có tên là các số nguyên liên tiếp.
Bài 19.Chứng minh rằng trong số 10 người bất kỳ bao giờ cũng tìm được hoặc hai người có tổng số tuổi chia hết cho 16, hoặc hai người mà hiệu số tuổi của họ chia hết cho 16.
Bài 20.Có 12 cầu thủ bóng rổđeo áo với số từ 1 đến 12 đứng tập chung thành một vòng tròn giữa sân. Chứng minh rằng luôn tìm được 3 người liên tiếp có tổng các số trên áo là lớn hơn hoặc bằng 20.
CHƯƠNG III: BÀI TOÁN LIỆT KÊ
Đối với một bài toán, khi chưa tìm được giải thuật tốt để giải thì liệt kê là biện pháp cuối cùng để thực hiện với sự hỗ trợ của máy tính. Có thể nói, liệt kê là phương pháp phổ dụng nhất để giải quyết một bài toán trên máy tính. Trái lại, bài toán tồn tại chỉ cần chỉ ra được bài toán có nghiệm hay không có nghiệm và thường là những bài toán khó. Nhiều bài toán tồn tại đã được phát biểu trong nhiều thập kỉ nhưng vẫn chưa được giải quyết.Giải quyết được chúng sẽ thúc đẩy sự phát triển của nhiều ngành toán học. Nội dung chính của chương này tập chung giải quyết những vấn đề cơ bản sau:
9 Giới thiệu bài toán liệt kê.
9 Giải quyết bài toán liệt kê bằng phương pháp sinh.
9 Giải quyết bài toán liệt kê bằng phương pháp quay lui dựa trên giải thuật đệ qui. Bạn đọc có thể tìm thấy cách giải nhiều bài toán liệt kê và bài toán tồn tại hay trong các tài liệu [1] và [2] trong tài liệu tham khảo.