Trường hợp điện trường bằng không  1  0, 2 0 

Trước tiên, để kiểm tra tính chính xác của chương trình tính toán, chương trình được áp dụng trường hợp không có điện trường tức là12 0 và kết quả được so sánh với kết quả trong công trình [7]. Trong công trình này, nghiệm giải tích của bài toán exciton hai chiều không chịu tác dụng của trường ngoài, được xác định như sau:

2 1 1 2 2 n E n          với n1, 2,3,... (2.4)

trong đó đơn vị của năng lượng là hằng số Rydberg hiệu dụng

4 * * 2 2 2 0 16 e R     .

Ở phần này, khi kết luận kết quả chính xác tức là kết quả thu được chính xác đến mười ba chữ số thập phân khi biểu diễn kết quả về dạng chuẩn. Trong quá trình khảo sát năng lượng theo , sự chênh lệch giữa các giá trị trong khoảng hội tụ không đủ để thể hiện trên đồ thị nên ta có thể phóng đại sai số tuyệt đối giữa kết quả thu được bằng phương pháp FK và nghiệm giải tích trong công trình [7] có dạng tổng quát như sau:

  * 10x n E E E    (2.5)

trong đó: E là kết quả tính được bằng phương pháp FK, Enn1, 2,3... là kết quả của công trình [7], x số mũ để chữ số có nghĩa thứ 15 của EEn trở thành hàng đơn vị của *

E

 . Vì vậy, giá trị  thu được kết quả chính xác chính là những giá trị  làm

cho *  

5,5

E

   .

2.2.1 Khảo sát năng lượng theo tham số 

Việc lựa chọn tham số  đóng vai trò quan trọng đối với độ chính xác của kết quả. Trước tiên, giá trị nmax được cố định sau đó khảo sát năng lượng ở trạng thái cơ bản và các trạng thái kích ứng với những giá trị khác nhau của . Cụ thể, áp dụng chương trình cho nmax 50, sự phụ thuộc của năng lượng exciton ở một số trạng thái vào tham số  được khảo sát. Ứng với trạng thái cơ bản n1, kết quả thu được chính xác khi giá trị 1,3;12 (hình 2.1), kết quả này thu được cho thấy vùng hội tụ khá rộng Tương tự, ứng với trường hợp năng lượng ở trạng thái kích thích thứ nhất

n2, giá trị  giúp thu được năng lượng chính xác nằm trong đoạn 0, 6;3, 4 (hình 2.2). Còn mức năng lượng ở trạng thái kích thích thứ hai n3,  giúp ta thu được kết quả chính xác thuộc đoạn 0, 4;1, 7 (hình 2.3). Từ đó, nhận xét thấy là ứng với trạng thái kích thích khi n càng tăng thì khoảng giá trị  cho giá trị chính xác càng bị thu hẹp lại khá nhanh, dịch chuyển về phía  nhỏ.

Tuy nhiên, trường hợp nmax50 chương trình chỉ có thể khảo sát 0,1, còn ứng với trường hợp nhỏ hơn thì các kết quả thu được chênh lệch lớn rất nhiều so với kết quả chính xác. Nguyên nhân được dự đoán là có thể do khoảng  có ý nghĩa đối với năng lượng trạng thái kích thích cao nhưng nmax 50 chưa đủ lớn để thu được trạng thái kích thích đó. Trong khoảng  được khảo sát thu được giá trị năng lượng chính xác đến trạng thái n20, và tối đa ta chỉ xác định năng lượng kích thích ở trạng trái n25.

Hình 2.1 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái cơ bản n1

trong trường hợp nmax 50. Năng lượng của exciton ở trạng thái cơ bản thu được kết quả chính xác với 1,3;12.

Lưu ý: *   14

2, 00000000000000 *10

E E

  

Hình 2.2 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích thứ nhất n2 trong trường hợp nmax 50. Năng lượng của exciton ở trạng thái kích thích thứ nhất thu được kết quả chính xác với 0, 6;3, 4.

Lưu ý: *   15

0, 222222222222222 10

Hình 2.3 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích thứ hai

n3 trong trường hợp nmax 50. Năng lượng của exciton ở trạng thái kích thích thứ hai thu được kết quả chính xác với 0, 4;1, 7.

Lưu ý: *   16

0, 0800000000000000 10

E  E

2.2.2 Khảo sát sự phụ thuộc vào tham số nmax

Khi xây dựng chương trình tính toán thì tham số nmax được sử dụng thay cho vô cùng, nên nmax được chọn phải đủ “lớn”. Nhưng vì thời gian khảo sát có hạn nên khi tiếp tục tăng nmax, ta chọn nmax 80 để áp dụng chương trình. Tương tự với trường hợp

max 50

n  , sự phụ thuộc của năng lượng ở các trạng thái theo  cũng được khảo sát. Ở trường hợp nmax 80, giá trị thu được năng lượng chính xác ở trạng thái kích thích thứ nhất n2 là 0,35;5, 0 (hình 2.4). Còn khi 0,3; 2, 4 kết quả thu được năng lượng ở trạng thái kích thứ ba n3 chính xác (hình 2.5). Ở cả hai mức năng lượng kích thích thì đoạn  giúp thu kết quả chính xác so với trường hợp nmax 50

đều được mở rộng ra về hai phía.

Tuy nhiên, tương tự với nmax 50thì giá trị  có thể khảo sát cũng phải lớn hơn

0,1. Và trong khoảng  được khảo sát thì thu được giá trị năng lượng chính xác đến trạng thái n24, và tối đa ta chỉ xác định năng lượng kích thích ở trạng trái n28.

Hình 2.4 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích thứ nhất n2 trong trường hợp nmax 80. Năng lượng của exciton ở trạng thái kích thích thứ nhất thu được kết quả chính xác với 0,35;5, 0.

Lưu ý: *   15

0, 222222222222222 10

E  E

Hình 2.5 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích thứ hai

n3 trong trường hợp nmax 80. Năng lượng của exciton ở trạng thái kích thích thứ hai thu được kết quả chính xác với 0,3; 2, 4.

Lưu ý: *   16

0, 0800000000000000 10

2.2.3 Kết luận:

Thông qua hai khảo sát trên thì ta có thể rút ra được một số kết luận chương trình tính toán được xây dựng như sau:

Thứ nhất, đối với mức năng lượng ở trạng thái kích thích càng cao, khoảng giá trị  có thể thu giá trị năng lượng chính xác càng bị thu hẹp và dịch về  nhỏ.

Thứ hai, tăng nmax 50 đến nmax 80: không làm tăng độ chính xác của kết quả nhưng việc này sẽ giúp mở rộng khoảng  có thể thu được kết quả chính xác và thu mức được năng lượng ở trạng thái kích thích cao hơn.

Đối với mức năng lượng có n20, áp dụng chương trình cho nmax 50 ta có thể thu được kết quả chính xác đến mười ba chữ số sau dấu phẩy khi kết quả được viết về dạng chuẩn. Kết quả năng lượng exciton 2D được tính bằng phương pháp toán tử FK ở một số trạng thái được thể hiện trong bảng 2.1.

Bảng 2.1 Năng lượng của exciton 2D ở trạng thái cơ bản và một số trạng thái

kích thích được tính bằng phương pháp toán tử FK và trong công trình [7]

Phương pháp toán tử FK Công trình [7]

1 n -2,00000000000000 -2,000000000000000000 2 n -0,222222222222222 -0,2222222222222222222 3 n -0,0800000000000000 -0,08000000000000000000 4 n -0,0408163265306122 -0,04081632653061224489 5 n -0,0246913580246914 -0,02469135802469135802 6 n -0,0165289256198347 -0,0165289256198347107438 7 n -0,0118343195266272 -0,0118343195266272189349 8 n -0,00888888888888889 -0,00888888888888888888889 9 n -0,00692041522491350 -0,00692041522491349480968 10 n -0,00554016620498615 -0,00554016620498614958448