Tr÷îc h¸t, ta nhc l¤i ành ngh¾a h m a i·u háa d÷îi tr¶n Cn
ành ngh¾a 1.2.9. Cho tªp mð Ω ∈ Cn. H m u : Ω → [−∞,+∞) ÷ñc gåi l h m a i·u háa d÷îi (k½ hi»u u∈P SH(Ω)) n¸u:
a) u l h m nûa li¶n töc tr¶n.
b) Vîi måia∈Ω v b ∈Cn, h m λ7→u(a+λb) l h m i·u háa d÷îi, ho°c b¬ng
−∞ tr¶n måi th nh ph¦n li¶n thæng cõa tªp {λ∈C:a+λb∈Ω}.
B¥y gií ta gi£ sûul mët h m thuëc lîp C2 tr¶n mët a t¤p phùcX. D¤ng Hess phùc cõau t¤i mët iºm a∈X l d¤ng Hecmit tr¶n TX ÷ñc x¡c ành bði
Hua = X
1≤j,k≤n
∂2u
∂zj∂zk(a)dzj⊗dzk.
N¸uF :X →Y l mët ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh v n¸uν ∈C2(Y,R)th¼ vîi måiξ ∈TX,a
ta câ: H(ν◦F)a(ξ) = X j,k,l,m ∂2ν(F(a)) ∂zl∂zm ∂Fl(a) ∂zj ξj ∂Fm(a) ∂zk ξk =HνF(a)(F 0(a).ξ).
°c bi»t, Hua khæng phö thuëc v o vi»c chån tåa ë (a1, ..., an) tr¶n X, v
HνF(a) ≥0tr¶n Y d¨n ¸n H(ν◦F)a ≥0 tr¶n X. Do â, kh¡i ni»m h m a i·u háa d÷îi câ ngh¾a tr¶n måi a t¤p phùc.
Cho X, Y l c¡c a t¤p phùc, n¸u F : X → Y l mët ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh v
v ∈P SH(Y) th¼ v◦F ∈P SH(X).
ành lþ 1.2.10 (Nguy¶n lþ cüc tiºu Kiselman). Xem trong [16], Theorem 2.2. Cho Ω⊂Ctr×Ctr l mët mi·n gi£ lçi v p: Ω→U :=p(Ω)⊂Cr l ph²p chi¸u tø
Ω l¶n Cr.
Vîiϕl mët h m a i·u háa d÷îi tr¶n Ω. Gi£ sû r¬ng t§t c£ thî Ωt :=p−1(t)(t ∈
U) ·u l mi·n èng li¶n thæng v ϕ(t, z) khæng phö thuëc v o ph¦n £o cõa z vîi måi (t, z)∈Ω. Khi â
ϕ∗(t) := inf
z∈Ωt
ϕ(t, z)
l mët h m a i·u háa d÷îi tr¶n U.
1.3 a t¤p Hecmit v a t¤p Kahler¨
ành ngh¾a 1.3.1. Chov l khæng gian vecto phùc húu h¤n chi·u. Mët ¡nh x¤
h:V ×V →C ÷ñc gåi l Hecmit n¸u vîi måi u, v ∈V câ h(u, v) =h(v, u). N¸u dimV =n, mët d¤ng Hecmit H tr¶n V ÷ñc biºu di¹n bði mët d¤ng
n×n ma trªn hjk v i·u ki»n h(u, v) = h(v, u) t÷ìng ÷ìng vîi:
hjk=hkj; ∀j, k = 1, ..., n.
Cho X l mët a t¤p phùc n chi·u, mët metric Hecmit tr¶n X l mët d¤ng Hecmit x¡c ành d÷ìng lîp C∞ tr¶n TX; trong mët h» tåa ë (z1, ..., zn), mët d¤ng nh÷ th¸ ÷ñc vi¸t l : h(z) = P
1≤j≤k≤n
hjk(z)dzj ⊗dzk, vîi (hjk) l mët ma trªn Hecmit d÷ìng câ h» sè thuëc lîp C∞.
D¤ng (1,1) cì b£n ω ùng vîi h l d¤ng d÷ìng lo¤i (1,1):
ω=−Imh= i 2
X
hjkdzj∧dzk (1≤j, k ≤n).
ành ngh¾a 1.3.2. a) Mët a t¤p Hecmit l mët c°p(X, ω) vîiω l d¤ng (1,1)
x¡c ành d÷ìng lîp C∞ tr¶n X.
b) Metric Hecmit vîi d¤ng(1,1) cì b£nω ÷ñc gñi l metric Kahler n¸u¨ dω = 0. c) a t¤p phùc X ÷ñc gåi l a t¤p K¨ahler n¸u X ÷ñc trang bà ½t nh§t mët
V¼ ω l thüc n¶n i·u ki»n dω = 0, ∂ω = 0, ∂ω = 0 l t÷ìng ÷ìng. Trong h» tåa ë àa ph÷ìng ∂0ω= 0 t÷ìng ÷ìng vîi:
∂hjk ∂zl =
∂hlk
∂zj , 1≤j, k, l ≤n.
Khi â, ta câ
ωn n! = det(hjk) ^ 1≤j≤n 1 2dzj∧dzj= det(hjk)dx1∧dy1∧...∧dxn∧dyn vîi zn =xn+iyn. Do â (n, n) - d¤ng dV = 1 n!ω n l d÷ìng v tròng vîi ph¦n tû thº t½ch Hecmit cõaX. N¸u X l compact th¼ R
Xωn =n!V olω(X)>0.
Mët h m thüc àa ph÷ìng u thäa m¢n h = i∂∂u ÷ñc gåi l th¸ và K¨ahler àa ph÷ìng cõa metric h.
1.4 H m ω− a i·u háa d÷îi
Cho (X, ω) l mët a t¤p K¨ahler compact li¶n thæng n chi·u vîi ω l mët d¤ng thüc âng song bªc (1,1) tr¶n X thäa m¢n R
Xωn = 1.
Kh¡i ni»m a i·u háa d÷îi cõa mët h m u :U → R l b§t bi¸n qua mët tü çng c§u ch¿nh h¼nh cõaCn. Do â ta câ thº ành ngh¾a th¸ n o l mët h m a i·u háa d÷îi tr¶n mët a t¤p phùc. Cö thº l :
ành ngh¾a 1.4.1. Xem trong [12]
Mët h m u∈L1(X) l a i·u háa d÷îi tr¶n X n¸u u nûa li¶n töc tr¶n v tr¶n méi l¥n cªn àa ph÷ìng(U, ϕ) h m u l i·u háa d÷îi tr¶n U .
Ta kiºm tra ÷ñc ành ngh¾a tr¶n khæng phö thuëc v o vi»c chån tåa ë àa ph÷ìng do c¡c ph²p bi¸n êi tåa ë l ch¿nh h¼nh. Tuy nhi¶n ta bi¸t r¬ng theo nguy¶n lþ cüc ¤i khæng câ h m a i·u háa d÷îi n o tr¶n a t¤p Kahler¨
compactX ngo¤i trø h m h¬ng. Do â thay v¼ nghi¶n cùu c¡c h m a i·u háa d÷îi tr¶n X ta s³ nghi¶n cùu mët lîp h m rëng hìn nhi·u: h m ω-a i·u háa d÷îi.
Vîi ω l mët d¤ng thüc âng song bªc (1,1) tr¶n X ta câ thº x²t måi
(1,1)-dáng d÷ìng âng song bªcω0 tr¶n X èi çng i·u vîi ω. Khi X l a t¤p Kahler, theo Bê ·¨ ddc ta câ thº vi¸t
ω0=ω+ddc =ωϕ
vîi ϕ l mët h m kh£ t½ch èi vîi måi d¤ng thº t½ch tr¶n X,ð ¥y d, dc l c¡c to¡n tû vi ph¥n thüc d:=∂ +∂ v dc:= i
2π ∂−∂. Khi â ddc = i π∂∂.
Ta nâi r¬ng mët h m ϕ l ω-nûa li¶n töc tr¶n n¸u ϕ+ψ l nûa li¶n töc tr¶n vîi måi th¸ và àa ph÷ìng ψ cõa ω(ngh¾a l ω =ddcϕ ). °t
P SH(X, ω) := ϕ∈L1(X,R∪ {−∞}) :ddc ≥ −ω v ϕ l h m ω−nûa li¶n töc tr¶n .
Tªp hñp P SH(X, ω) l tªp hñp c¡c h m ω-a i·u háa d÷îi.
Tªp hñp P SH(X, ω) ch¿ phö thuëc v o lîp èi çng i·u {ω}. Ta s³ luæn chån mët ¤i di»n trìn ω cõa lîp èi çng i·u n y.
V¼ c¡c h mω-a i·u háa d÷îi v· àa ph÷ìng ÷ñc cho nh÷ l hi»u cõa mët h m a i·u háa d÷îi v mët th¸ và àa ph÷ìng cõa ω, i·u n y b£o £m r¬ng h m ω-a i·u háa d÷îi l nûa li¶n töc tr¶n do â nâ bà ch°n tr¶n to n cöc. Ta trang bà P SH(X, ω) vîi L1-tæpæ. Nhªn x²t r¬ng P SH(X, ω) l khæng gian con âng cõa L1(X). Sau ¥y l mët sè t½nh ch§t cõa c¡c h m ω-a i·u háa d÷îi. M»nh · 1.4.2. Gi£ sû ω l mët d¤ng trìn, âng, câ song bªc (1,1). Cho (ϕj)
l mët d¢y c¡c h m ω-a i·u háa d÷îi tr¶n X.
(i) N¸u (ϕj) bà ch°n tr¶n ·u tr¶n X th¼ ho°c ϕj hëi tö ·u ¸n −∞ tr¶n X
ho°c d¢y (ϕj) l compact t÷ìng èi tr¶n L1(X).
(ii) N¸u ϕj →ϕ trong L1(X) th¼ ϕ çng nh§t h¦u khp nìi vîi mët h m ϕ∗ ∈
P SH(X, ω) duy nh§t. Hìn núa, sup X uscϕ= lim j→+∞sup X ϕj.
(iii) °c bi»t, n¸u (ϕj) l d¢y gi£m th¼ ho°c ϕj → −∞ ho°c ϕ := limϕj ∈
P SH(X, ω). T÷ìng tü, n¸u (ϕj) l d¢y t«ng v bà ch°n tr¶n ·u th¼ ϕ :=
Ch֓ng 2
Trc àa y¸u trong khæng gian c¡c th¸ và Kahler¨
Cho (X, ω) l mët a t¤p K¨ahler compact li¶n thæng n chi·u v P SH(X, ω)
l tªp hñp c¡c h m ω-a i·u háa d÷îi. X²t u:Sαβ×X →R vîi Sαβ ={s ∈C: α < Res < β}. ÷íng cong (α, β) 3 t → ut ∈ P SH(X, ω) ÷ñc gåi l mët o¤n trc àa y¸u n¸u u l mët h m π∗ω-a i·u háa d÷îi bà ch°n àa ph÷ìng thäa
(π∗ω+i∂∂u)n+1 = 0,
trong â π : Sαβ ×X → X l ph²p chi¸u l¶n th nh ph¦n thù hai v π∗ω l k²o ng÷ñc cõa d¤ng Kahler¨ ω tr¶n Sαβ×X.
Vîi ÷íng cong u ¢ cho nh÷ th¸, mët c¡ch têng qu¡t, giîi h¤n lim
t→∞ut
khæng tçn t¤i v c¦n mët qu¡ tr¼nh chu©n tc hâa º khc phöc v§n · n y. Trong [1], Section 2.2 Berndtsson ¢ ch¿ ra r¬ng vîi c¡c trc àa y¸ut→ut thuëc lîp C1, mi·n gi¡ trà cõa c¡c vectì ti¸p xóc u˙t :X →R cõa ut l gièng nhau vîi måi t∈(α, β).
Nëi dung ch½nh cõa ch÷ìng n y tr¼nh b y sü chu©n tc hâa ÷íng cong u
º mð rëng k¸t qu£ tr¶n cõa Berndtsson cho c¡c o¤n trc àa y¸u tòy þ. Ch÷ìng 2 gçm 4 möc.
Möc 2.2 tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p Berndtsson x¥y düng c¡c o¤n trc àa y¸u nèi hai iºm thuëc lîp c¡c h m ω-a i·u háa d÷îi bà ch°n àa ph÷ìng.
Möc 2.3 tr¼nh b y v· kh¡i ni»m phi¸m h m n«ng l÷ñng Aubin-Mabuchi, mèi li¶n h» giúa phi¸m h m n y v trc àa d÷îi y¸u.
Möc 2.4 tr¼nh b y sü chu©n tc hâa c¡c trc àa y¸u. K¸t qu£ ch½nh cõa möc n y l ành lþ 2.4.4 ch¿ ra t½nh li¶n töc Lipschitz cõa c¡c trc àa y¸u. Tø ành lþ n y d¨n ¸n k¸t qu£ v· sü tçn t¤i v duy nh§t mët tia trc àa y¸u nèi hai iºm trong lîp c¡c a i·u háa d÷îi bà ch°n àa ph÷ìng (H» qu£ 2.4.5).
2.1 Tia trc àa y¸u
K½ hi»u C∞(X) l tªp hñp c¡c h m trìn tr¶n a t¤p Kahler compact li¶n¨
thængX. X²t khæng gian c¡c th¸ và Kahler trìn tr¶n¨ X
H=φ ∈C∞(X)ωφ :=ω+i∂∂φ >0 .
Khæng gian n y câ c§u tróc a t¤p Fr²chet nh÷ l mët tªp con mð cõaC∞(X). K½ hi»u TvH l khæng gian ti¸p xóc cõa H t¤i v. Vîi ξ ∈ H ta câ thº çng nh§t C∞(X) vîi TξH b¬ng ¯ng c§u C∞(X)∼=T ξH η⇔ ∂ ∂s s=0 (ξ+sη),
vîi s ∈ [−ε, ε] → ξ+sη ∈ H l mët ÷íng cong trìn trong H vîi h» sè õ nhä
ε >0.
Nh÷ ¢ ÷ñc tr¼nh b y bði Mabuchi trong [17], ta câ thº xem H nh÷ l mët a t¤p Riemann b¬ng c¡ch x¡c ành m¶tric Riemann bði d¤ng song tuy¸n t½nh nh÷ sau: Vîi méi v ∈ H:
h,iv :TvH ×TvH= C∞(X)×C∞(X)→R hξ, ηiv := Z X ξη ω+i∂∂vn, ξ, η∈C∞(X)∼=T vH.
nh x¤ Φ : t ∈ (α, β) 7→ ϕt ∈ C∞(C), k½ hi»u Φ = {ϕt : t ∈ (α, β)}, ÷ñc gåi l ÷íng cong trìn trong H n¸u ¡nh x¤
ϕ: (α, β)×X →R, ϕ(t, x) :=ϕt(x) l C∞-¡nh x¤. Vîi ÷íng cong trìn Φ ta °t ˙ ϕ= ∂ϕt dt ∈C∞(X); ¨ϕt = ∂ 2ϕt dt2 ∈C∞(X).
Khi â c¡c ÷íng cong {ϕ˙t :t∈(α, β)};{ϕ¨t :t∈(α, β)} trong C∞(X) l c¡c ÷íng cong trìn. Hìn núa, ta ành ngh¾a
˙
ϕ(t, x) := ˙ϕt(x) = ∂ϕ
dt(t, x), (t, x)∈(α, β)×X.
ành ngh¾a 2.1.1. Mët ÷íng cong trìn (α, β) 3 t 7→ φt ∈ H vîi α, β ∈ R∪ {−∞,+∞} ÷ñc gåi l mët trc àa trong khæng gian n y n¸u
¨ φt− 1 2 ∇φ˙t,∇φ˙t φt = 0, t∈(α, β),
trong â ∇ k½ hi»u cho ¤o h m hi»p bi¸n ùng vîi m¶tric ωφt.
Chó þ r¬ng trc àa φt vîi tr÷íng vectì ti¸p xócψtcâ mèi li¶n h» tr¶n ph¥n thî ti¸p xóc TH cõa nâ:
Dt(ψt) = ∂ψt ∂t − 1 2 ∇φ˙t,∇φ˙t φt. K½ hi»u Sαβ ={s ∈C :α <Res < β},
gi£ sûπ∗ω l k²o ng÷ñc cõa d¤ng K¨ahler ω tr¶n Sαβ×X v u∈C∞(Sαβ×X) l mët phùc hâa cõa φ ÷ñc ành ngh¾a bði
u(s, x) :=φ(Res, x).
Khi â, t →φt l mët trc àa n¸u v ch¿ n¸u u thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh
trong â π:Sα,β×X →X l ph²p chi¸u l¶n th nh ph¦n thù hai.
T÷ìng tü, b¬ng c¡ch thay lîp h m trìn b¬ng lîp h m ω-a i·u háa d÷îi ta ành ngh¾a mët ÷íng cong
(α, β)3t→ut ∈P SH(X, ω)
÷ñc gåi l mët o¤n trc àa d÷îi y¸u n¸u phùc hâa cõa nâ u:Sαβ×X →R l mët h m π∗ω- a i·u háa d÷îi bà ch°n àa ph÷ìng. Hìn núa n¸u (2.1.1) ÷ñc thäa m¢n theo ngh¾a Bedford-Taylor [6] th¼t→ut ÷ñc gåi l o¤n trc àa y¸u.
Vîi α= 0 v β = +∞ th¼ t→ut ÷ñc gåi l tia trc àa y¸u.
2.2 C¡ch x¥y düng d÷îi trc àa y¸u cõa Berndts-son son
Trong möc n y, kh¡i ni»m trc àa y¸u ÷ñc kh¡i qu¡t hâa º x¥y düng o¤n trc àa nèi c¡c iºm thuëc P SH(X, ω)∩L∞(X).
Chóng nhc l¤i c¡ch x¥y düng cõa Berndtsson trong [2], möc§2.1 v· nghi»m y¸u cõa b i to¡n Dirichlet gn vîi ph÷ìng tr¼nh trc àa trong khæng gian th¸ và K¨ahler:
Vîi u0, u1 ∈ P SH(X, ω)∩L∞(X), ta c¦n chùng minh b i to¡n Dirichlet câ duy nh§t nghi»m: u∈P SH(S0,1×X, ω)∩L∞(S0,1×X); (ω+i∂∂u)n+1 = 0; u(t+ir, x) = u(t, x), ∀x∈X, t ∈(0,1), r∈R; (2.2.1) lim t→0,1u(t, x) = u0,1(x), ·u tr¶n X.
Nghi»m cõa b i to¡n tr¶n ÷ñc x¥y düng b¬ng c¡ch l§y bao tr¶n cõa hå
u:= sup
S {v},
ð ¥y supremum ÷ñc l§y tr¶n S l tªp hñp t§t c£ c¡c trc àa d÷îi y¸u v:
S={(0,1)3t→vt∈P SH(X, ω) l trc d÷îi àa y¸u thäa lim
trong â c¡c giîi h¤n bi¶n ÷ñc gi£ sû ch¿ l giîi h¤n tøng iºm trong X. V¼ nghi»m cõa b i to¡n n y khæng phö thuëc v o ph¦n £o n¶n ta k½ hi»u nâ bði(0,1)3t →ut ∈P SH(X, ω)∩L∞. º chùng minh u ÷ñc ành ngh¾a theo c¡ch tr¶n câ c¡c t½nh ch§t ái häi, ta x¥y düng mët ch÷îng ng¤i
vt = max u0−At, u1+A(t−1)
V¼ u0, u1 bà ch°n n¶n vt h m a i·u háa d÷îi bà ch°n àa ph÷ìng n¶n l mët d÷îi trc àa y¸u. M°t kh¡c vîi A >0 õ lîn ta câ limt→0,1vt≤u0,1.
Vªy vt ∈S, do â vt≤ut.
H m v câ ¤o h m mët ph½a t¤i 0 lîn hìn −A v ¤o h m mët ph½a t¤i 1
nhä hìnA. V¼ v khæng phö thuëc v o ph¦n £o v lçi theot, do â ¤o h m theo
t t«ng, suy ra v n¬m giúa −A v A. Do â
u0−At≤ut ≤u0+At
v t÷ìng tü t¤i 1. Nh÷ vªy vt câ gi¡ trà bi¶n ph£i ·u. V¼ c¡c ph¦n tû cõa S l lçi theo t n¶n ta câ ¡nh gi¡ sau
vt ≤ut≤u0+t(u1−u0). (2.2.2) ¡nh gi¡ n y công óng vîi c¡c ch½nh quy hâa nûa li¶n töc tr¶n u∗ cõa u. Do
u∗ l a i·u háa d÷îi n¶n u∗ ∈ S v do â tròng vîi u, vªy u l h m a i·u háa d÷îi.
K¸t qu£ (π∗ω+i∂∂u)n+1= 0 câ ÷ñc do ut l h m a i·u háa d÷îi cüc ¤i vîi gi¡ trà bi¶n cho tr÷îc [14] v t½nh duy nh§t ÷ñc suy ra tø nguy¶n lþ cüc ¤i ([4],Theorem 6.4), v¼ chóng ta ¢ gi£ sû r¬ng c¡c giîi h¤n bi¶n l ·u.
Hìn núa, tø (2.2.2) ta suy ra t→ut l li¶n töc Lipschitz theo bi¸n t:
∂u ∂t L∞(X) ≤ ku0−u1kL∞(X). 2.3 Phi¸m h m n«ng l÷ñng Aubin-Mabuchi
Méi khæng gian ti¸p xóc TϕH câ mët ph¥n t½ch trüc giao
trong â β =ωϕn = ω+ddcϕn l 1-d¤ng x¡c ành tr¶n H bði
βϕ(ψ) =
Z
X
ψωϕn.
1-d¤ng β l d¤ng âng n¶n tçn t¤i duy nh§t mët h m E x¡c ành tr¶n tªp lçi mðHsao choβ =dE v E(0) = 0. ¥y l phi¸m h m n«ng l÷ñng gåi l phi¸m h m Aubin-Mabuchi:
ành ngh¾a 2.3.1. N«ng l÷ñng Aubin-Mabuchi l mët phi¸m h m AM :=E : P SH(X, ω)∩L∞(X)→R ÷ñc cho bði cæng thùc: AM(v) = 1 n+ 1 n X j=0 Z X vωj∧ ω+i∂∂vn−j. (2.3.1) Ta ph¡t biºu v bä qua chùng minh hai k¸t qu£ sau (câ thº tham kh£o trong [5] hay [15]).
M»nh · 2.3.2. Phi¸m h m AM khæng gi£m v thäa i·u ki»n: Vîi u, v ∈P SH(X, ω)∩L∞(X) ta câ AM(u)−AM(v) = 1 n+ 1 n X j=0 Z X (u−v)(ω+i∂∂u)j∧(ω+i∂∂v)n−j. (2.3.2) °c bi»t AM(u+c) = AM(u) +c (2.3.3) vîi h¬ng sè c∈R.
Phi¸m h m Aubin-Mabuchi quan trång èi vîi c¡c trc àa trong khæng gian c¡c th¸ và K¨ahler v¼ c¡c k¸t qu£ sau:
ành lþ 2.3.3. Xem trong [5], Proposition 6.2
N¸u (α, β) 3 t 7→ ut ∈ P SH(X, ω) l mët tia d÷îi trc àa y¸u th¼ ¡nh x¤ t →
AM(ut), t ∈ (α, β) l lçi. Hìn núa, d÷îi trc àa t 7→ ut l trc àa n¸u v ch¿ n¸u t→AM(ut) l tuy¸n t½nh.
M»nh · 2.3.4. Xem trong [3],Proposition 2.8 èi vîi u∈P SH(X, ω)∩L∞(X), u≤0 ta câ
Z X u(ω+i∂∂u)n ≤AM(u)≤ 1 n+ 1 Z X u(ω+i∂∂u)n.
Chùng minh. V¼ u≤0 n¶n ¡nh gi¡ thù hai l t¦m th÷íng: AM(u) = 1 n+ 1 n X j=0 Z X uωj∧(ω+i∂∂u)n−j ≤ 1 n+ 1 Z X (ω+i∂∂u)n.
Chùng minh ¡nh gi¡ thù nh§t ta ch¿ c¦n lªp luªn r¬ng
Z X uωk∧ ω+i∂∂un−k = Z X
uωk∧ ω+i∂∂u∧ ω+i∂∂un−k−1
= Z X uωk∧ω∧ ω+i∂∂un−k−1+ Z X
uωk ∧i∂∂u∧ ω+i∂∂un−k−1
= Z X uωk+1∧ ω+i∂∂un−k−1+ Z X u∧i∂∂u∧ωk∧ ω+i∂∂un−k−1 = Z X uωk+1∧ ω+i∂∂un−k−1− Z X
i∂u∧∂u∧ωk∧ ω+i∂∂un−k−1,
vîi k = 0,1, ..., n−1. Do â Z X uωk∧(ω+i∂∂u)n−k ≤ Z X uωk+1∧(ω+i∂∂u)n−k−1, k∈ {0,1, ..., n−1}. Tùc l Z X u∧(ω+i∂∂u)n ≤ Z X uω1∧(ω+i∂∂u)n−1 ≤ Z X