Ta xét phương trình Swift-Hohenberg sửa đổi
𝜀𝑢𝑡𝑡+ 𝑢𝑡 + (𝐼 + Δ)2𝑢 + 𝑓′(𝑢) = 𝑔(𝑡), 𝑥 ∈ Ω, 𝑡 ≥ 0, (3.17)
trong đó Ω là miền bị chặn trong ℝ𝑁 với biên Lipschitz, 𝜀 ≥ 0 và 𝑔 thỏa mãn (3.2). Ta giả sử thêm điều kiện biên Neumann hoặc điều kiện biên tuần hoàn, và 𝑓 ∶ ℝ ⟶ ℝ là hàm giải tích và thỏa mãn (3.3)-(3.4) (với 𝜆1 = 0).
Đối với phương trình (3.1), ta đã biết các tính chất của nghiệm liên tục: các kết quả liên quan đến sự tồn tại và duy nhất của nghiệm, sự hội tụ về điểm cân bằng đã được chứng minh với một và giả thiết đối với hàm phi tuyến (tham khảo [4] , [14], [15]). Ngược lại, các nghiên cứu đối với phương trình (3.17) vẫn còn thiếu thốn, nhưng các kết quả tương tự có thể được đưa ra, thậm chí còn dễ dàng hơn. Trong trường hợp đặc biệt 𝜀 = 0, các kết quả liên quan đã được chỉ ra và sự hội tụ về điểm cân bằng được chứng minh trong [10] với một vài giả thiết thích hợp đối với hàm 𝑔. Thêm nữa, trong trường hợp 𝑔 = 0, sự tồn tại nghiệm không tầm thường được chỉ ra trong [3].
Trong trường hợp 𝜀 = 0, (3.17) là phương trình Swift-Hohenberg. Nó là hệ
𝐿2(Ω)-gradient của hàm ℇ(𝑢) ≔ ∫ [1 2(Δ𝑢 + 𝑢 2)2+ 𝑓(𝑢)] d𝑥 Ω ,
và với ví dụ điển hình của hàm 𝑓 là hàm thế vị 𝑓(𝑠) = (𝑠2−𝑟) 2
4 (với 𝑟 > 0). Hàm số này được Elder và Grant sử dụng để biểu diễn quá trình chuyển tiếp chất lỏng-rắn (tham khảo [5], [6]). Từ đó, Galenko thêm 𝜀𝑢𝑡𝑡 vào phương trình (3.17) để mở rộng ứng dụng của mô hình.
Bài toán phần tử hữu hạn của (3.17) cho ta hệ (tương tự như (3.12)):
𝜀𝑈𝑡𝑡(𝑡) + 𝑈𝑡(𝑡) + (𝐼 − 𝐴ℎ)2𝑈(𝑡) + ∇𝐹ℎ(𝑈(𝑡)) = 𝐺(𝑡), 𝑡 ≥ 0, (3.18)
𝐹(𝑊) =1
2⟨(𝐼 − 𝐴ℎ)𝑊, (𝐼 − 𝐴ℎ)𝑊⟩ + 𝐹ℎ(𝑊)
thỏa mãn (2.3) với 𝑐𝐹 = 𝑐𝑓′′. Hơn nữa 𝐹 thỏa mãn điều kiện cưỡng bức do (3.14). Do đó, nếu bước thời gian 𝛿𝑡 > 0 thỏa mãn 1
𝛿𝑡 >𝑐𝑓′′
2 , bất kì nghiệm (𝑈𝑛)𝑛 của thuật toán backward Euler của hệ (3.18) hội tụ về điểm cân bằng khi 𝑛 tiến tới ∞.
Nhận xét 3.2.1 Dạng sai phân hữu hạn của (3.17) (hoặc (3.1)) sẽ dẫn tới hệ tương tự như (3.18) (hoặc (3.6)) và ta cũng có kết luận tương tự.
Kết luận
Luận văn đã trình bày kết quả hội tụ của nghiệm giải tích của hệ gradient bậc hai có nghiệm bị chặn với 𝐹 là hàm giải tích, hơn nữa tốc độ hội tụ của nghiệm được xác định và phụ thuộc vào hàm 𝐹 và 𝐺.
Luận văn còn khẳng định sự tồn tại và duy nhất nghiệm của thuật toán backward Euler dành cho hệ gradient bậc hai nếu hàm 𝐹 thỏa mãn điều kiện là hàm tiền lồi hoặc
inf
ℝ𝑑 𝐹 > −∞ và bước thời gian đủ nhỏ. Luận văn còn chỉ ra các kết quả hội tụ của nghiệm giải tích vẫn còn đúng đối với nghiệm số. Hơn nữa, trong trường hợp đặc biệt
𝜀 = 0, ta chỉ cần giả thiết hàm 𝐹 ∈ 𝐶1(ℝ𝑑, ℝ) thay vì 𝐹 ∈ 𝐶𝑙𝑜𝑐1,1(ℝ𝑑, ℝ) mà vẫn đảm bảo sự hội tụ của nghiệm số.
Các kết quả trên được sử dụng để khẳng định sự hội tụ của nghiệm số của phương pháp phần tử hữu hạn dạng rời rạc của phương trình truyền sóng và dạng rời rạc của phương trình Swift-Hohenberg với điều kiện quán tính.
Tài liệu tham khảo
1. H. Attouch and J. Bolte (2009), "On the convergence of the proximal algorithm for nonsmooth functions involving analytic features", Math. Program., 116, pp. 5-16. 2. H. Brezis (1973), Opérateurs maximaux monotones et semi-groupes de
contractions dans les espaces de Hilbert, North-Holland Publishing Co.,
Amsterdam.
3. J. V. Chaparova, L. A. Peletier and S. A. Tersian (2003), "Existence and nonexistence of nontrivial solutions of semilinear fourth- and sixth-order differential equations", Adv. Differential Equations, 8, pp. 1237-1258.
4. R. Chill and M. A. Jendoubi (2003), "Convergence to steady states in asymptotically autonomous semilinear evolution equations", Nonliear Anal., 53, pp. 1017-1039.
5. K. R. Elder and M. Grant (2004), "Modeling elastic and plastic deformations in nonequilibrium processing using phase field crystals, Phys. Rev. E, 70.
6. K. R. Elder, N. Provatas, J. Berry, Stefanovic and M. Grant (2007), "Phase-field crystal modeling and classical density functional theory of freezing", Phys. Rev. B, 75.
7. P. Galenko, D. Danilov and V. Lebedev (2009), "Phase-field-crystal and Swift- Hohenberg equations with fast dynamics", Phys. Rev. E, 79.
8. M. Grasselli and M. Pierre (2012), "Convergence to equilibrium of solution of the backward Euler scheme for asymptotically autonomous second-order gradient-like systems", Commun. Pure Appl. Anal., 11(6).
9. A. Haraux (1991), Systèmes dynamiques dissipatifs et applications, Masson, Paris. 10. A. Haraux and M. A. Jendoubi (1998), "Convergence of solutions of second-order
gradient-like systems with analytic nonlinearities", J. Differential Equations, 144, pp. 313-320.
11. P.-E. Maingé (2009), "Asymptotic convergence of an inertial proximal method for unconstrained quasiconvex minimization", J. Global Optim., 45, pp. 631-644. 12. B. Merlet and M. Pierre (2010), "Convergence to equilibrium for the backward
Euler scheme and applications", Commun. Pure Appl. Anal., 9, pp. 685-702.
13. J. B. Swift and P. C. Hohenberg (1977), "Hydrodynamic fluctuations at the convective instability", Phys. Rev. A, 15, pp. 319-329.
14. S. Zelik (2004), "Asymptotic regularity of solutions of a nonautonomous damped wave equation with a critical growth exponent, Commun. Pure Appl. Anal., 3, pp. 921-934.
15. S. Zelik (2004), "Asymptotic regularity of solutions of singularly perturbed damped wave equations with supercritical nonlinearities", Discrete Contin. Dyn. Syst., 11, pp. 351-392.