3 Biểu diễn nghiệm qua chuỗi các hàm cầu điều hòa
3.2.3 Trường hợp chiral
Trong trường hợp chiral, ta tìm thấy một dạng tường minh cho F theo cách tương tự: Cho trường tiếp tuyến p∈L2t(S2) :p=XpmnUnm+qnmVnm với
pmn = Z S2 p(θ)·Um n (θ) ds(θ) và qnm = Z S2 p(θ)·Vm n (θ) ds(θ) ta chú ý rằng p=XpmnUnm+qmnVnm = 1 2 X (pmn −iqnm)(Unm+iVnm) + (pmn +iqnm)(Unm−iVnm).
Trong trường hợp chiral, hai hằng số κL = κ
1−κβ và κR = κ
1 +κβ xuất hiện như là dạng của số sóng cho các trường QL và QR. Ta tính phổ trường sóng xa là H∞(ˆx) = 4π 2ik X cL in+1 (βnm+iαmn)Vnm(ˆx) + (αmn −iβnm)Unm(ˆx) − cR in+1 (βnm−iαmn)Vnm(ˆx) + (αmn +iβnm)Unm(ˆx) với các hệ số αmn = −4πinp · Vm n (d), βnm = 4πinp · Um n (d) và các hằng số cL = Re detn(κL) detn(κL) , cR = Re detn(κR) detn(κR) .
Như trong trường hợp achiral, ta kết luận Fp= (4π) 2i 2k X cL(pmn −iqnm)(Unm+iVnm)−cR(pmn +iqmn)(Unm−iVnm).
Ta quan sát thấy rằng Unm+iVnm, m=−n, . . . , n, là các hàm riêng cho giá trị riêng λn = (4π) 2i k Re detn(κL) detn(κL)
và Unm−iVnm, m=−n, . . . , n, là các hàm riêng cho giá trị riêng
λn =−(4π)
2i k
Re detn(κR) detn(κR)
với n ∈N0. Một lần nữa, giá trị riêng có bội số 2n+ 1. Sự ước lượng của chuỗi
X
j∈N
|(φz, ψj)L2
t(S2)|2
|λj|
Trong luận văn này, tác giả đã tập trung tìm hiểu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình Maxwell thông qua một biểu diễn tương đương với phương trình tích phân Lippmann-Schwinger. Bài toán được khảo sát trên cả môi trường achiral và chiral. Bên cạnh đó, tác giả còn tìm hiểu và trình bày lại các biểu diễn dạng chuỗi cho nghiệm của phương trình Maxwell thông qua hệ cơ sở là các hàm cầu điều hòa. Việc xây dựng chuỗi khai triển trong trường hợp trường sóng tới là sóng phẳng được đưa ra như một ví dụ. Khai triển này hỗ trợ rất nhiều cho việc nghiên cứu các phương pháp số để giải phương trình Maxwell, trong hoàn cảnh rất khó tìm được nghiệm giải tích và dữ liệu đáng tin cậy để thử kết quả số, ngay cả những trường hợp đơn giản nhất. Các kết quả tham khảo chủ yếu trong các tài liệu [6], [8], [10], [11], [15], [16].
Mặc dù chưa có kết quả mới, nhưng đóng góp chính của luận văn là tổng hợp và trình bày lại một cách chi tiết các kết quả liên quan đến sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của phương trình Maxwell. Đây là một lớp hệ phương trình có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết tán xạ nói riêng và trong Vật lý nói chung. Là lớp phương trình có nhiều ứng dụng, nhưng tác giả nhận ra độ phức tạp của hệ phương trình này trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Do đó, tác giả mong rằng luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo bằng tiếng Việt, hữu ích cho sinh viên, học viên cao học hoặc nghiên cứu sinh dễ tiếp cận hơn khi bước đầu tìm hiểu về chủ đề này.
[1] H. Ammari and J. C. Nédélec,Time-harmonic fields in chiral media, Meth. Verf. Math. Phys., 42 (1997), pp. 395–423.
[2] C. Athanasiadis, P. A. Martin, and I. G. Stratis, Electromagnetic scatter- ing by a homogeneous chiral obstacle: boundary integral equations and low- chirality approximations, SIAM J. Appl. Math., 59 (1999), pp. 1745–1762.
[3] Nikolaos M. Berketis and C. Athanasiadis, Direct and inverse scattering problems for spherical electromagnetic waves in chiral media, ArXiv e- prints, 2008.
[4] Craig F. Bohren, Light scattering by an optically active sphere, Chemical Physics Letters, 29 (1974), pp. 458 – 462.
[5] David L. Colton and Rainer Kress, Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory, Springer, 2nd ed., 1998.
[6] David L. Colton and Rainer Kress, Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory, Applied Mathematical Sciences, Volume 93, Third Edi- tion, 2013.
[7] Andreas Kirsch, The factorization method for Maxwell’s equations, Inverse Problems, 20 (2004), pp. S117–S134.
[8] Andreas Kirsch and Frank Hettlich,The Mathematical Theory of Maxwell’s Equations. Expansion integral and variational methods, Applied Mathemat- ical Sciences, Volume 190, Springer, 2015.
[9] Andreas Kirsch and Natalia Grinberg,The Factorization Method for Inverse Problems, Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications 36, Oxford University Press, 2008.
[10] Andreas Kirsch and Peter Monk, An analysis of the coupling of finite- element and Nystr¨om methods in acoustic scattering, IMA Journal of Nu- merical Analysis, 14(4), 523-544, 1994.
[11] Sven Heumann,The Factorization Method for Inverse Scattering from Chi- ral Media, PhD thesis, Karlsruhe Institute of Technology, 2012.
[12] Rainer Kress, Linear integral equations, Springer, 1989.
[13] Peter Monk, Finite Element Methods for Maxwell’s Equations, Oxford Sci- ence Publications, Oxford, 2003.
[14] William McLean, Strongly Elliptic Systems and Boundary Integral Opera- tors, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2000.
[15] Jean Claude Nedelec, Acoustic and Electromagnetic Equations, Springer, New York, 2001.
[16] Gennadi Vainikko, Fast Solvers of the Lippmann-Schwinger Equation, Di- rect and Inverse Problems of Mathematical Physics, Volume 5 of the series International Society for Analysis, Applications and Computation, 423-440, 2000.