Định nghĩa, tính chất cơ bản - Sự khả vi Fréchet- 123docz.net

Sự khả vi Fréchet

3.1 Định nghĩa, tính chất cơ bản

Xét X và Y là các không gian vector định chuẩn có số chiều hữu hạn trên trường R và F : X → bcc Y là một ánh xạ đa trị từ X vào Y với int(dom F) 6= ∅.

Định nghĩa 3.1. Ánh xạ đa trị F : X → bcc Y là khả vi Fréchet tại điểm

x0 ∈ int(dom F) nếu tồn tại một ánh xạ đa trị affine A(x0|.) : X → bcc Y

sao cho x0 ∈ int dom A(x0|.) và lim

h→0

dH F(x0 +h), A(x0|h)

khk = 0

với dH(., .) là metric Hausdorff trên bccY.

Dễ thấy rằng A(x0|0) = F(x0). Không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sử ánh xạ đa trị affine A(x0|.) thỏa mãn định nghĩa 3.1 là không thể mở rộng được. Trong trường hợp này ánh xạ đa trị là duy nhất được xác định bởi lim h→0 dH F(x0 +h), A(x0|h) khk = 0. Thật vậy, ta có ∀ε > 0, ∃δ >0 : ∀h ∈ δBX thì F(x0 +h) ⊂ A(x0|h) +εkhkBY và A(x0|h) ⊂ F(x0 +h) +εkhkBY

Giả sử A1(x0|.) : X → bcc Y , A2(x0|.) : X → bcc Y là hai ánh xạ đa trị affine không thể mở rộng được, thỏa định nghĩa 3.1.

Khi đó, ∀ε > 0, ∃δ >0 : ∀h ∈ δBX ta có

A1(x0|h) ⊂A2(x0|h) +εkhkBY và

A2(x0|h) ⊂A1(x0|h) +εkhkBY

Vì tính đối ngẫu Minkowski nên những bao hàm thức cuối tương đương với bất đẳng thức sau

sA1 x0;h, y∗−sA2 x0;h, y∗ 6 εkhk ky∗k, với sAi(x0;., .) : (h, y∗) → max

y∈Ai(x0|h)hy, y∗i là hàm tựa của ánh xạ đa trị Ai(x0|.) . Vì sAi(x0;., y∗) : X →Y, i = 1,2 là những ánh xạ affine và ε > 0

tùy ý nên suy ra

sA1 x0;h, y∗= sA2 x0;h, y∗, ∀h ∈ dom A1 ∩dom A2, ∀y∗ ∈ Y∗ Do đó

A1(x0|h) =A2(x0|h), ∀h ∈ dom A1 ∩dom A2

Suy ra A1(x0|.) = A2(x0|.) trong một lân cận của θ . Theo nhận xét 2.4 ta được A1(x0|.) = A2(x0|.) trên X.

Nếu có duy nhất ánh xạ đa trị affine A(x0|.) : X → bcc Y không thể mở rộng được mà thỏa mãn định nghĩa 3.1 thì được gọi là xấp xỉ khả vi Fréchet của ánh xạ đa trị F : X → bcc Y tại điểm x0 và kí hiệu là DF(x0|.)

Từ mệnh đề 2.1, phép xấp xỉ khả vi Fréchet DF(x0|.) của ánh xạ đa trị F : X → bcc Y là ánh xạ affine đơn trị khi F là khả vi Fréchet tại một điểm x0 ∈ int(dom A) và F(x0) ={y0} là xác định duy nhất. Từ đó, ta thấy rằng tính khả vi Fréchet của ánh xạ đơn trị F : X → bcc Y theo định nghĩa ở trên thì tương đương với định nghĩa cổ điển của tính khả vi Fréchet cho ánh xạ đơn trị. Trong trường hợp này ta có

DF(x0|h) = F(x0) +F0(x0)h , h ∈ X

với DF(x0|.) là xấp xỉ khả vi Fréchet của F tại x0 và F0(x0) : X → Y là đạo hàm Fréchet theo nghĩa cổ điển của F tại x0.

Xét tập mở Ω ⊂ X và f : Ω → Y là ánh xạ đơn trị, M là tập con lồi, compact trong Y. Ánh xạ đa trị F : X → bcc Y được xác định bởi

gr F := {(x, y) ∈ X ×Y : x ∈ Ω, y ∈ f(x) +M}

là khả vi Fréchet tại x0 ∈ Ω nếu và chỉ nếu ánh xạ đơn trị f : Ω → Y là khả vi Fréchet tại x0 ∈ Ω và xấp xỉ khả vi Fréchet của F tại x0 được xác định bởi

gr DF(x0|.) := {(h, y) ∈ X ×Y : h ∈ X, y ∈ f(x0) +f0(x0)h+M} Ở đây f0(x0) : X → Y là đạo hàm Fréchet theo nghĩa cổ điển của f tại x0.

Ví dụ 3.2.

Xét Y với quan hệ thứ tự ”≤ ” như sau y1 6 y2 ⇔ y2 −y1 ∈ C

Trong đó C là nón đóng lồi với intC 6= ∅ và C ∩(−C) = 0.

Xét [y1, y2] := {y ∈ Y : y1 6 y 6 y2} là một tập con lồi compact trong Y. Không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sử BY = [−e, e] với e thuộc intC.

Xét tập mở Ω ⊂ X và f1 : Ω → Y , f2 : Ω → Y là những ánh xạ đơn trị thỏa mãn f2(x0)−f1(x0) ∈ intC, với điểm x0 ∈ Ω.

Xét ánh xạ đa trị F : X → bcc Y được xác định bởi

gr F := {(x, y) ∈ X ×Y : x ∈ Ω, f1(x) 6 y 6 f2(x)}

là khả vi Fréchet tại x0 ∈ Ω. nếu và chỉ nếu ánh xạ đơn trị f1, f2 là khả vi Fréchet theo nghĩa cổ điển tại x0. Xấp xỉ khả vi Fréchet của F có thể được xác định bởi

gr DF(x0|.) := {(h, y) ∈ X ×Y : h ∈ X,

f1(x0) +f01(x0)h 6 y 6 f2(x0) +f02(x0)h} Trong đó, f01(x0) : X → Y, f02(x0) : X → Y lần lượt là đạo hàm Fréchet theo nghĩa cổ điển của f1, f2 tại x0.

Định lý 3.1. Nếu một ánh xạ đa trị F : X → bcc Y khả vi Fréchet tại

Chứng minh. Cho trước ε > 0.

Vì F : X → bcc Y khả vi Fréchet tại x0 ∈ int(dom F) nên tồn tại δ > 0 sao cho δBX ⊂ dom DF(x0|.)∩dom F và

dH F(x0 +h), DF(x0|h)6 εkhk, ∀h ∈ δBX.

Vì ánh xạ đa trị affine là Lipsit trên miền hữu hiệu nên DF(x0|.) : X → Y là lipsit trên dom DF(x0|.).