Môđun không xoắn trên vành giao hoán

Trong tiết này, vành R được ngầm định là vành giao hoán có đơn vị. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, với mỗi R ta đặt tập linh hóa tử là r    R: 0.

Ta có thể lấy một số ví dụ về r  . Khi R là miền nguyên thì r  0 với mọi 0 và r  R khi 0. Còn khi R 12 là vành giao hoán có đơn vị thì

  3 0, 4, 8

r  .

Như chúng ta đã biết thì miền nguyên là một vành không có ước của 0 nên khi R là vành giao hoán có đơn vị thì tích hai phần tử khác 0 có thể bằng 0. Do đó với định nghĩa về môđun không xoắn trên miền nguyên thì không còn thỏa trên vành R vì với

0

 và ar  X 0 thì tồn tại r  và a'X sao cho aa' nhưng ' 0 ' 0

a a a

    .

Định nghĩa 2.2.1. Rmôđun X được gọi là môđun không xoắn nễu với mỗi R, với mỗi phần tử aX mà a0 thì ar  X .

Nhận xét: Định nghĩa 2.2.1 khi áp dụng cho là R miền nguyên thì trùng lại với định nghĩa 2.1.4 môđun không xoắn trên miền nguyên ở §1.

Chứng minh:

Giả sử X là môđun không xoắn theo định nghĩa 2.1.4. khi đó với phần tử aX sao cho a0 thì theo định nghĩa 2.1.4 ta có 0 hoặc a0.

Nếu 0 thì r  R do đó a X RX r  X.

Nếu a0 thì hiển nhiên ar  X .

Bây giờ ngược lại nếu X là môđun không xoắn theo định nghĩa 2.2.1. thì với

 

\ 0

R

  và aX \ 0 ta chứng minh a0. Giả sử a0 thì ar  X mà R là

miền nguyên nên với mọi 0 thì r  0 suy ra r  X 0 nên a0 (mâu thuẫn 0

a ).■

Như vậy định nghĩa này thực sự là mở rộng của môđun không xoắn trên miền nguyên nên điều chúng ta quan tâm đầu tiên là các tính chất kết quả có đươc ở §1 còn đúng trên vành giao hoán không.

Môđun thương của môđun không xoắn chưa chắc là môđun không xoắn. Vì với là

X môđun không xoắn trên vành giao hoán thì môđun thương

2 là môđun xoắn.

Mệnh đề 2.2.2. Tổng trực tiếp của  Xi i I là họ các Rmôđun không xoắn là môđun không xoắn.

Chứng minh:

Giả sử  Xi i I là họ của các môđun không xoắn và i i I

X X



 là tổng trực tiếp của họ

 Xi i I , với x xi i I X và x0 thì xi 0 với mọi iI. Do Xi là môđun không xoắn với mọi iI nên xir  Xi nên tồn tại ir  và x'iXi sao cho xi ix'i. Khi đó,  i i 'i i   'i

i I i I

x x  x  x r  X

 

    . Vậy X là môđun không xoắn.

Mệnh đề2.2.3. Môđun X là môđun không xoắn khi và chỉ khi TorR ,X 0

R

  với

mọi R.

Chứng minh:

Xét dãy đồng cấu tự nhiên i

RRR trong đó  là phép nhân trái với  và i

là đơn cấu tự nhiên. Lấy tích tenxơ với X trên R ta có dãy:

1 i 1 R X R  X  R X Theo mệnh đề 1.3.3.13 ta có: 1 i 1 R  X X R   X  R X X , 1 là toàn cấu có hạt nhân là:   ker( 1) rx r/ ker x ker1 r x/r 0 x 0      r x r/ r( ) x 0      ( ) . r  X  

Mặt khác ta có r( ) X  R r( ) X  Rr( )  X r( ) X (do r( ) là iđêan của R) suy ra ker( 1) r( ) X. Xét dãy khớp 0 R i R R 0

R



 

    theo định lý

 / ( 1)( ) ker( 1)

H  r x  r x i do đó (1)( )H K. Vì 1 là toàn cấu nên áp dụng định lý Noether ta có: K Hker( 1)    suy ra   ker ( 1)( 1) er( 1) ker( 1) . ker( 1) r( ) i k i i X           

Ta có thể xem i1:X X là phép nhân ngoài với  suy ra

   / 0

, x X x r( ) .

R

Tor R X  X

    

Như vậy, để kết thúc chứng minh, ta sẽ chứng minh “X là môđun không xoắn khi và chỉ khi xX /x0r( ) X .

Cho X là môđun không xoắn, nếu 0 thì hiển nhiên xX /x0r( ) X . Nếu 0

  thì với mọi x x X /x0 thì x0 do X là môđun không xoắn nên

( ) X

xr  suy ra xX /x0r( ) X . Bây giờ với mọi xr( ) X thì tồn tại

( )

r

  và x'X sao cho xx', khi đó xx'0 'x 0, nên x x X /x0. Vậy xX /x0r( ) X .

Ngược lại, nếu xX /x0r( ) X thì với xX thỏa x0 do

xX /x0r( ) X nên xr( ) X . Vậy X là môđun không xoắn.■

Mệnh đề 2.2.4. Môđun X là không xoắn khi và chỉ khi mọi dãy khớp

0 A  B  X 0 là thuần khiết.

Chứng minh:

Nếu X là môđun không xoắn thì TorR ,X 0

R

  với mọi R. Từ dãy khớp

0 A  B  X 0 áp dụng định lý 1.3.4.5 ta có dãy khớp   1 ... Tor R ,X 0 R A R B ... R R R            

do đó 1 đơn cấu. Khi đó áp dụng mệnh đề 1.3.3.14 và định nghĩa 1.2.2.2 ta có dãy là dãy khớp thuần khiết.

Đảo lại, xét dãy khớp

    1 ... Tor R ,B Tor R ,X R A R B ... R R R R             

Theo định lý 1.1.1.6 mỗi môđun X thì đẳng cấu với môđun thương của một môđun tự do nào đó. Khi đó ta có thể chọn B là môđun xạ ảnh, từ đó TorR ,B 0

R   , nên ta có dãy khớp   1 0 Tor R ,X R A R B ... R R R            .

Mặt khác, từ dãy khớp thuần khiết ta có dãy 1

0RR A RRB suy ra

R ,  0

Tor X

R

  . Vậy X là môđun không xoắn.■

Mệnh đề2.2.5. Với mọi dãy khớp 0 A  B  C 0

Nếu A và C là môđun không xoắn thì B là môđun không xoắn.

Chứng minh:

Với dãy khớp 0 A  B  C 0 áp dụng định lý 1.3.4.5. ta có dãy

      1

... Tor R ,A Tor R ,B Tor R ,C R A R B ...

R R R R R                Vì TorR ,A TorR ,C 0 R R     nên TorR ,B 0 R

  . Vậy B là môđun không

xoắn.■

Như chúng ta đã biết nếu ta có một toàn cấu : BC thì ta có ngay một dãy khớp ngắn 0Ker i  B  C 0 tương tự nếu :AB là một đơn cấu thì ta có dãy khớp ngắn 0 A  B pCoker0 (với ker

Im

B

Co  ). Trong trường hợp, nếu toàn cấu  (tương ứng: đơn cấu ) là phép chiếu tự nhiên (tương ứng: là phép nhúng tự nhiên) thì ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 2.2.6. Cho dãy khớp 0   A  B  C 0. Khi đó,

Môđun C được gọi là môđun thương của môđun B nếu  là toàn cấu chiếu tự nhiên và AKer .

Môđun A được gọi là môđun con của môđun B nếu là  đơn cấu nhúng tự nhiên và ker

CCo .

Đồng thời, dãy khớp tương ứng với môđun thương (hay môđun con) được gọi là dãy khớp liên kết với toàn cấu : BC (hay đơn cấu :AB).

Mệnh đề 2.2.7. Một môđun thương C của một môđun không xoắn B là môđun không xoắn nếu và chỉ nếu dãy khớp liên kết là thuần khiết.

Chứng minh:

Giả sử C là môđun thương của môđun B : C B A

 thì ta có dãy khớp 0   A  B  C 0

áp dụng định lý 1.3.4.5 , ta có dãy khớp

      1

... Tor R ,A Tor R ,B Tor R ,C R A R B ...

R R R R R



     

       

Nếu C là môđun không xoắn thì theo mệnh đề 2.2.3 TorR ,C 0

R

  do đó 1 là

đơn cấu nên theo mệnh đề 1.3.3.14. và định nghĩa 1.2.2.2. thì dãy khớp là dãy khớp thuần khiết.

Ngược lại, nếu dãy khớp là thuần khiết thì ta có 2 dãy khớp sau:

    1 0 Tor R ,B Tor R ,C R A R B ... R R R R              1 0 R A R B ... R R          Nên TorR ,C 0 R

  suy ra C là môđun không xoắn.■

Định nghĩa 2.2.8. Vành R được gọi là vành PP nếu mọi Iđêan chính của R là môđun xạ ảnh.

Định nghĩa 2.2.9. Vành R được gọi là vành PF nếu mọi Iđêan chính của R là môđun dẹt.

Hiển nhiên, một vành PP luôn là vành PF.

Mệnh đề2.2.10. Môđun con của môđun không xoắn là môđun không xoắn khi và chỉ khi vành R là vành PF.

Chứng minh:

Giả sử B là môđun không xoắn và A là môđun con của môđun B thì từ dãy khớp

0 A B C B 0

A

 

     ta có dãy khớp

       

2 2

... Tor R ,B Tor R ,C Tor R ,A Tor R ,B ...

R R R R

   

    

Nếu R vành là vành PF thì với mọi R thì R là môđun dẹt. Từ dãy khớp 0Ri R pRR0

ta có dãy khớp

       

2 2

0 Tor R, C Tor R ,C Tor R, C Tor R, C 0

R 



    

Suy ra Tor2R ,C Tor R, C 0

R 

   nên khi đó TorR ,A 0

R

  nên A là môđun

không xoắn.

Ngược lại, với C là môđun tùy ý thì tồn tại dãy khớp

0 A  B  C 0

với B là môđun xạ ảnh.

Do B là môđun xạ ảnh nên B là môđun không xoắn nên A là môđun không xoắn nên

R ,  0

Tor A

R

  suy ra 0 Tor2R ,C Tor R, C

R 



  .Vậy TorR, C0 với mọi môđun C nên vành R là vành PF.■

Mệnh đề 2.2.11. Tích trực tiếp của những môđun không xoắn là môđun không xoắn khi và chỉ khi với mọi R, linh hóa tử r  là hữu hạn sinh.

Chứng minh:

Giả sử r  là hữu hạn sinh với mọi R,  Xi i I là họ các môđun không xoắn và

i i I

X X



 là tích trực tiếp của họ các môđun không xoắn. Với x xi X, ,

i i

x X  i I nếu x0 thì xi   0, i I. Vì Xi là môđun không xoắn nên

 

i i

x r  X . Do r  hữu hạn sinh bởi  1, 2,...,r nên tồn tại xijXi sao cho     1 1 r r j ij i ij j j x  x  x r  X       

Ngược lại, với mỗi R, r    i,iI đặt i, i ,

i I

X R R R i I



    là tích trực tiếp của các bản sao của vành hệ tử R lấy chỉ số trong r  . Với x  xi X,xiXi, i I

nếu x 0 vì R là môđun tự do nên là môđun không xoắn. Suy ra X là môđun không xoắn nên xr  X. Do x thuộc tích của hai Iđêan r  , X, nên

huu han

.

j j j

x    x (với jr  , xjX) do đó huu han  

j j j x    x , (với xjX) nên huu han . j j j x    x    nên huu han j j j j

x    x . Vậy r  là hữu hạn sinh.■

Bổ đề2.2.12. Iđêan chính R của vành R là môđun xạ ảnh khi và chỉ khi nếu tồn tại phần tử lũy đẳng e thỏa   e và r    r e e R' với e'  1 e.

Chứng minh:

Nếu R là môđun xạ ảnh thì theo mệnh đề 1.2.1.3. dãy khớp

 

0 i 0

r  R  R

    là chẻ ra. Như vậy  có nghịch đảo phải, do đó tồn tại đồng cấu ' sao cho ' 1 R suy ra   '  hay e  (với e ' ).

Trước hết, ta chứng minh r    r e . Thật vậy với  r e  ta có e 0 do đó 0

e

   hay  0 suy ra r e  r  . Nếu  r  thì  0 do đó '  0 hay 0

e  suy ra  r e  .

Đặt e'  1 e, bây giờ ta chứng minh r e    1 eR. Nếu  r e  thì e 0 hay

e

   . Do đó 1e  nên   1 eR từ đó r e    1 eR. Ngược lại, với mọi   1 eR ta có   1 e' với ' R từ đó   1e'    '0 nên

   

r r e

   do đó 1eRr e  . Vì e  nên  1 e0 do đó 1e    r  r e vì vậy e1e0. Tóm lại tồn tại e sao cho   e và

    '

r  r e e R thỏa e'  1 e và e lũy đẳng.

Đảo lại, ta chứng minh R là môđun xạ ảnh. Từ toàn cấu : RR ta có đẳng cấu

 

R R

r   tương tự ta có đẳng cấu R   e R

Bây giờ ta chứng minh Re R e R' . Thật vậy, với mọi r R ta có re r  1 er

nên ta có Re R e R  ' . Đồng thời với mọi re R e R' thì tồn tại , '  R sao cho

1  '

re  e  suy ra re e  e e e '0. Do đó Re R e R' e R r  do đó dãy khớp 0r  i R R0 là chẻ theo mệnh đề 1.1.2.4 thì R

là môđun xạ ảnh.■

Dựa vào bổ đề, ta đưa ra mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.2.13. Cho R là vành PP. Khi đó X là môđun không xoắn khi và chỉ khi :e X X

  định bởi  x x với mọi x e X  là một đơn cấu.

Chứng minh:

Ta có: Ker x e X :x0 x e X x : r  Xe X e' X  0 (do '

Re R e R ). Vậy  đơn cấu.

Đảo lại, với X là Rmôđun và xX thỏa x0 thì x Ker 0 suy ra x0 nên

 

xr  X . Vậy X là môđun không xoắn.■

Mệnh đề 2.2.14. Cho R là vành PP, mọi môđun A đều có môđun con nhỏ nhất B

(theo quan hệ bao hàm) sao cho môđun thương AB là môđun không xoắn.

Chứng minh:

Với R là vành PP và  Bi i I là tập hợp tất cả các môđun con của môđun A sao cho

i

A

B là môđun không xoắn. Ta chứng minh

i i I

A B



là môđun không xoắn.

Trước hết ta chứng minh  i

A S

B

 có phần tử tối đại bằng bổ đề Zorn tức là chứng minh mọi dãy tiến trong S đều bị chặn trên.

Giả sử

1 2

... ...

i i ij

A A A

B  B   B  là dãy tiến các môđun thương không xoắn của A. Vì

R là vành PP nên theo mệnh đề 2.2.10. môđun con của môđun không xoắn là môđun không xoắn. Ta suy ra: “Nếu :AB là đơn cấu và B là môđun không xoắn thì A

theo mệnh đề 2.2.13 thì r  là hữu hạn sinh nên theo mệnh đề 2.2.10.