Chứng minh Định lý 2.2.
Nếu 𝜎2(𝑎 +) > 0 và 𝜎1(𝑏 −) < 1 thì theo Bổ đề 2.7 và 2.8 tồn tại 𝑣 và 𝑤 là nghiệm của phương trình (2.1) lần lượt xác định trên (𝑎, 𝑏0) và (𝑎0, 𝑏), trong đó:
𝑎0 =𝑎+𝑐
2 , 𝑏0 = 𝑐+𝑏
2 ,
𝑣(𝑎 +) = 𝑎, 𝑣(𝑏0−) = 𝜎2(𝑏0), 𝑤(𝑎 +) = 𝜎1(𝑎0), 𝑤(𝑏 −) = 1, 𝑣′(𝑏0−) ≥ 𝜎2′(𝑏0+), 𝑤′(𝑎0+) ≥ 𝜎1′(𝑎0−).
Do đó, không mất tính tổng quát ta giả sử:
𝜎2(𝑎 +) = 0, 𝜎1(𝑏 −) = 1. (2.66) Đặt: ℎ(𝑡, 𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑡, 𝑥) + 𝑔(𝑡, 𝑥)𝑦, hkn 𝑡 ∈ (𝑎, 𝑏), 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑡1𝑛 ∈ (𝑎, 𝑐), 𝑡2𝑛 ∈ (𝑐, 𝑏), 𝑛 ∈ ℕ thỏa mãn: 𝑡1𝑛+1 < 𝑡1𝑛, 𝑡2𝑛 < 𝑡2𝑛+1, 𝑛 ∈ ℕ, lim 𝑛→+∞𝑡1𝑛 = 𝑎, lim 𝑛→+∞𝑡2𝑛 = 𝑏. Khi đó, tồn tại dãy {𝜂𝑛}𝑛=1+∞ ⊂ (0, 1 2⁄ ) thỏa mãn:
𝜂𝑛 ≤ 𝜎1(𝑡) ≤ 𝜎2(𝑡) ≤ 1 − 𝜂𝑛, 𝑡 ∈ [𝑡1𝑛, 𝑡2𝑛], 𝑛 ∈ ℕ.
Do đó, với mỗi 𝑛 ∈ ℕ, từ bất phương trình (2.6) suy ra (2.31) và (2.32) đúng trên [𝑡1𝑛, 𝑡2𝑛]. Do đó, theo Bổ đề 2.6, với mỗi 𝑛 ∈ ℕ tồn tại 𝑢𝑛 là nghiệm của bài toán (2.1) xác định trên (𝑡1𝑛, 𝑡2𝑛) thỏa mãn:
𝑢𝑛(𝑡1𝑛 +) = 𝜎1(𝑡1𝑛), 𝑢𝑛(𝑡2𝑛 −) = 𝜎2(𝑡2𝑛),
𝜎1(𝑡) ≤ 𝑢𝑛(𝑡) ≤ 𝜎2(𝑡), 𝑡 ∈ (𝑡1𝑛, 𝑡2𝑛). (2.67) Từ (2.6) và Bổ đề 2.3, 2.4, với mỗi tập compact [𝑠1, 𝑠2] ⊂ (𝑎, 𝑏) tồn tại 𝑛0 ∈ ℕ sao cho dãy {𝑢𝑛}+∞𝑛=𝑛0 và {𝑢𝑛′ }𝑛=𝑛+∞0 bị chặn đều và đồng liên tục trên
[𝑠1, 𝑠2]. Do đó, không mất tính tổng quát, ta giả sử tồn tại hàm 𝑢 ∈ 𝐴𝐶𝑙𝑜𝑐1 ((𝑎, 𝑏); ℝ) thỏa mãn:
𝑢 = lim
𝑛→+∞𝑢𝑛 đều trên mỗi tập compact và 𝑢 là nghiệm của (2.1), Hơn nữa, từ (2.5), (2.66) và (2.67) suy ra 𝑢 thỏa (2.2) và (2.9).
KẾT LUẬN
Trong luận văn này, tác giả đã tìm hiểu hai bài toán biên hai điểm không chính quy cho phương trình vi phân cấp hai trong hai bài báo khác nhau. Bài báo của A. Lomtatidze xây dựng điều kiện đủ và trong một số trường hợp là điều kiện
cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm không bị chặn của bài toán 𝑢′′ = 𝑓(𝑡, 𝑢) + 𝑔(𝑡, 𝑢)𝑢′ với điều kiện biên: (𝑎 +) = 0, 𝑢(𝑏 −) = 0, trong đó
𝑓, 𝑔 ∈ Car𝑙𝑜𝑐((𝑎, 𝑏) × (0, +∞); ℝ). Các kết quả chính của Chương 1 là Định lý 1.2, Hệ quả 1.3 và Hệ quả 1.4. Còn bài báo của R. Hakl xây dựng điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán: 𝑢′′ = 𝑓(𝑡, 𝑢) + 𝑔(𝑡, 𝑢) với điều kiện biên: (𝑎 +) = 0, 𝑢(𝑏 −) = 1, trong đó 𝑓, 𝑔 ∈ Car𝑙𝑜𝑐((𝑎, 𝑏) × (0,1); ℝ). Kết quả chính của Chương 2 là Định lý 2.2. Cả hai tác giả đều dùng phương pháp nghiệm trên, nghiệm dưới để chứng minh sự tồn tại nghiệm của từng bài toán. Mặt dù luận văn chưa thu được kết quả mới như mong đợt, đó là xem xét các kết quả có đúng hay không cho phương trình vi phân bậc cao không chính quy, tuyến tính và phi tuyến, nhưng tác giả đã có gắng trình bày chi tiết và rõ ràng các bổ đề, hệ quả, định lí tìm hiểu được. Luận văn là tài liệu tham khảo cho sinh viên và học viên cao học khi nghiêu cứu về bài toán biên hai điểm không chính quy cho phương trình vi phân cấp hai tuyến tính và phi tuyến.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa và góp ý cho tác giả những chỗ thiếu xót để luận văn được hoàn chỉnh.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. J. A. Ackroyd, On the laminar compressible boundary layer with stationary origin on a moving flat wall. Proc. Cambridge Phil. Soc. 63
(1967), 871 – 888
[2]. R. P. Agarwal and D. O’ Regan, Singular boundary value problems for superlinear second order ordinary and delay differential equations. J. Differential Equations 130 (1996), 333 – 335.
[3]. L. E. Bobisud, D. O’ Regan and W.D. Royalty, Solvability of some monlinear singular boundary value problems. Nonlinear Anal. 12
(1998), 855 – 869.
[4]. J. V. Baxley, A singular nonlinear boundary value problem: membrane response of a spherical cap. Siam J. Appl. Math. 48 (1998), 855 – 869. [5]. J. E. Bouillet and S. M. Gomes, An equation with singular nonlinearity
related to diffusion problems in one dimension. Quart. Appl. Math. 42
(1985), 395 – 402.
[6]. A. J. Callegary and M. B. Friedman, An analytic solution of a nonlinear boundary value problems in theory of viscous fluids, J. Math. Anal. 21
(1968), 510 – 529.
[7]. A. J. Callegary and A. Nachman, Some singular nonlinear differential equations arising in boundary layer theory. J. Math. Anal. Appl. 64
(1978), 96 – 105.
[8]. A. J. Dunnigher and J.C. Kurtz, A priori bounds and existence of positive solutions for singular nonliinear boundary value problems. Siam J. Math. Anal. 17 (1986), 595 – 609.
[9]. J. A. Gatila, V. Oliker and P. Waltman, Singular nonlinear boundary value problems for second ordeer ordinary differential equations. J. Differential Equations. 79 (1989), 62 – 78.
[10]. Z. Guo, Solvability of some singular nonlinear boundary value problems and existence of positive radial solutions of some nonlinear elliptic problem. Nonlinear Anal. 16 (1991), 781 – 790.
[11]. P. Habets and F. Zanolin, Upper and lower solutions for a generalized Emden – Fowler equation. J. Math. Appl. 181 (1994), 684 – 700.
[12]. P. Habets and F. Zanolin, Positive solutions for a class of singular boundary value problems. Boll. Unione Mat. Ital. (7) Ser. A 9 (1995), 273 – 286.
[13]. R. Hakl and Manuel Zamora, Existence of a solution to the Dirichlet problem asociated to a second-order differential equation with singularities: The method of lower and upper functions. Georgian Math. J. 20 (2013), 469 – 491.
[14]. J. Janus and A. Myjak, A generalized Emden – Fowler equation with a negative exponent. Nonlinear Anal. 21 (1994), 953 – 970.
[15]. I. T. Kiguradze, Some singular bondary value problems for second order onlinear ordinary differential equations. Differentsial’nye Uravneniya 4
(1988), 1753 – 1773.
[16]. I. T. Kiguradze and B. L. Shekhter, Singular boundary – value problems for second-order ordinary differential equations. J. Sov. Math. 43
(1988), no. 2, 2340 – 2417.
[17]. A. Lomtatidze and P. J. Torres, On a two-point boundary value problem for second order singular equations. Czechoslovak Math. J. 53 (2003), 19 – 43.
[18]. N. F. Morozov, Onanalytic structure of a solution of the membrane equation. Dokl. Akad. Nauk SSSR. 152 (1963), 78 – 80.
[19]. L. S. Srubshhik and V. I. Yudovich, Asymptotics of equation of large deflection of circular symmetrically boaded plate. Ibirsk. Mat. Zh. 4
(1963), 657 – 672.
[20]. S. Taliaferro, A nonlinar singular boundary value problem. Nonlinear Anal. 3 (1979), 897 – 904.