Với X là một không gian compact, ta kí hiệu dàn Banach của các hàm số liên tục với chuẩn supx X x là C X . Hàm số :C X
(không nhất thiết liên tục) được gọi là một phiếm hàm của C X . Không gian
C X
của tất cả các phiếm hàm trên được trang bị tôpô tích Tychonoff. Với mỗi xX thì độ đo Dirac C X
X x
là một phiếm hàm gán cho mỗi hàm C X với một giá trị x tại x.
Cho X Y, là hai không gian compact, mọi ánh xạ liên tục f X: Y
đều cảm sinh một toán tử tuyến tính * *
: , :
f C Y C X f f giữa các không gian hàm tương ứng được gọi là đối ngẫu của f . Toán tử đối ngẫu thứ hai của f là hàm số **
: C X C Y
f biến mỗi phiếm hàm C X với phiếm hàm ** ** , : C Y f f f . Đặt ** : C f f
chúng ta có thể kết luận rằng cấu trúc của
.
: Comp Tych
C là một hàm tử hiệp biến từ phạm trù Comp đến phạm trù Tych của các không gian Tychonoff và các ánh xạ liên tục của chúng. Hàm tử Dirac là hàm tử con của hàm tử C .
Định lý Tietze-Urysohn khẳng định rằng: với bất kỳ nội xạ liên tục :
f X Y giữa các không gian compact, ánh xạ đối ngẫu f:C Y C X
là toàn ánh và do đó ánh xạ đối ngẫu thứ hai **
: C X C Y
f là phép
nhúng tôpô. Từ đó, với mỗi tập con đóng A X và phép nhúng đơn vị :
A
i A X ta có thể đồng nhất không gian hàm C A với không gian con
** C A C X
A
i . Quy ước tương tự sẽ quan hệ tới hàm tử Fkhác: khi viết
aFAFX chúng ta hiểu rằng aFiA FA FX.
Ta sẽ hiểu là bất kì hàm tử con F: CompComp của hàm tử
.
: Comp Tych
C chứa hàm tử độ đo Dirac F là một hàm tử chức năng. Hàm tử độ đo xác suất P trong [11] và hàm tử độ đo lũy đẳng I trong [23] là hai hàm tử độ đo chức năng đã được nghiên cứu.
Khái niệm của một toán tử chính quy u C X: C Y xuất hiện trong các định nghĩa của không gian Dugundji và Milutin là những trường hợp cục bộ của khái niệm của một toán tử F– chính quy cho một hàm tử chức năng
F. Ta hiểu rằng một ánh xạ u C X: C Y nào đó (không cần tuyến tính hay liên tục) là một toán tử giữa hai không gian hàm C X và C Y . Một toán tử u C X: C Y sẽ cảm sinh một toán tử đối ngẫu u*: C X C Y gán mỗi phiếm hàm :C Y với phiếm hàm *
, C X u * :
u u . Dễ dàng kiểm tra rằng toán tử đối ngẫu u* là liên tục với tôpô tích Tychonoff trên các không gian hàm C X và C Y .
2.2.1. Định nghĩa
Với X Y, là hai không gian compact và hàm tử chức năng
: Comp Comp
F . Một toán tử u C X: C Y được gọi là Fchính quy nếu mỗi y Y , ta có phiếm hàm *
Y
u y nằm trong FX C X . Chú ý rằng một toán tử u C X: C Y là chính quy và tuyến tính nếu và chỉ nếu nó là P – chính quy đối với hàm tử của độ đo xác suất P.
Để định nghĩa các khái niệm của không gian compact Dugundji và Milutin, ta giới thiệu một tham số hàm tử là định nghĩa của chúng.
2.2.2. Định nghĩa
Với X là một không gian compact và F: CompComp là một hàm tử chức năng. Không gian X được gọi là:
F – Milutin nếu tồn tại một toàn ánh f K: X (với K 0,1 là khối lập phương Cantor) nhận một toán tử trung bình F – chính quy
:
u C K C X ;
F – Dugundji nếu tồn tại một đơn ánh f X: K, (với K 0,1 là khối lập phương Tychonoff) nhận một toán tử mở rộng F – chính quy
:
u C X C K .
Trong [15], Pelczynski đã đưa ra khái niệm toán tử trung bình mở rộng là sự hợp nhất của hai khái niệm mở rộng và toán tử trung bình.
Một toán tử u C X: C Y được gọi là một f - toán tử trung bình mở rộng cho f nếu f* u f* f*. Nếu f là đơn ánh (tương tự toàn ánh), khi
đó đẳng thức * * *
f u f f là tương đương f* uidC X (tương tự cũng
có *
idC Y
u f ), trong đó u được gọi là một toán tử mở rộng trung bình cho
2.2.3. Định lý
Với X Y, là hai không gian compact Hausdorff, cho một hàm tử chức năng : CompF Comp và một ánh xạ f X: Y. Khi đó, hai điều kiện sau là tương đương:
1) Tồn tại một toán tử trung bình mở rộng F – chính quy
:
u C X C Y cho ánh xạ f .
2) Tồn tại một ánh xạ liên tục s Y: FX sao cho Ff s y Y y với mỗi y f X Y.
Chứng minh
1 2 , giả sử rằng u C X: C Y là một toán tử trung bình mở rộng F – chính quy cho ánh xạ f ta cần chỉ ra sự tồn tại của một ánh xạ liên tục s Y: FX sao cho Ff s y Y y với mỗi y f X Y.
Thật vậy, toán tử đối ngẫu u*: C Y C X là một ánh xạ liên tục sao cho * Y u Y FX . Xét ánh xạ * : Y su Y FX và lấy bất kỳ điểm y f X . Chọn bất kỳ điểm 1
x f y . Khi u là một toán tử trung bình mở rộng,
* * *
f u f f , kéo theo ** * ** **
f u f f với **
: C X C X
f là toán
tử đối ngẫu của *
:
f C Y C X . Xem xét rằng F là một hàm tử con của hàm tử C , chúng ta kết luận rằng ** | Ff f FX . Dễ dàng kiểm tra rằng ** X Y Y f x f x y , nghĩa là: ** ** * ** ** * * . Y y f X x f u f X x f u Y y Ff u Y y Ff s y
Y
Ff s y y với mỗi y f X Y, ta cần chứng minh sự tồn tại của một toán tử trung bình mở rộng F – chính quy u C X: C Y cho ánh xạ
f .
Ta xác định một toán tử u C X: C Y gán mỗi ánh xạ liên tục
C X
với một ánh xạ liên tục u C Y ,
: , :
u Y u y s y . Sự liên tục của u được suy ra từ sự liên tục của hàm số s Y: FX C X và sự liên tục của toán tử ước lượng
: C X ,
.
Kế tiếp chúng ta kiểm tra tính F – chính quy của hàm tử
:
u C X C Y . Xét toán tử đối ngẫu u*: C Y C X và cố định điểm
y Y . Chú ý rằng phiếm hàm * C X Y u Y gán mỗi hàm C X với số thực Y y u u y s y , nghĩa là * Y u y s y FX
hay toán tử u là F – chính quy.
Cuối cùng, kiểm tra rằng u là một toán tử trung bình mở rộng cho ánh xạ
f , tức là, f* u f* f* với *
:
f C Y C X là toán tử đối ngẫu cảm sinh từ f . Cho bất kỳ hàm C Y và bất kỳ xX , chúng ta cần kiểm tra rằng * * * f u f x f x . Vì thế ta lấy y f x và chú ý rằng: * * * . Y f u f x u f f x s f x f Ff s f x f x f x f x
Suy ra u là một toán tử trung bình mở rộng cho f và định lý đã được chứng minh.
Định lý 2.2.3. đã chỉ ra các đặc trưng của các không gian compact F –
Milutinvà F – Dugundji.
2.2.4. Định lý
Với X là một không gian compact Hausdorff và một hàm tử chức năng
: Comp Comp
F . Khi đó, các điều kiện sau là tương đương: (1) X là F – Milutin.
(2)Tồn tại một toàn ánh f K: X với K 0,1 là khối lập phương Cantor và một ánh xạ liên tục s X: FK sao cho Ff s x X x
với mỗi xX .
Chứng minh của định lý 2.2.4. là sự kết hợp giữa định nghĩa của không gian F – Milutin trong 2.2.2. và định lý 2.2.3. đưa ra cho ta một cách khác để chứng minh một không gian compact X là một không gian F – Milutin.
2.2.5. Định lý
Với X là một không gian compact và một hàm tử chức năng
: Comp Comp
F . Khi đó, các điều kiện sau là tương đương: (1) X là F – Dugundji.
(2)Mỗi phép nhúng X Y vào một không gian compact Hausdorff Y
nhận một toán tử mở rộng F – chính quy u C X: C Y .
(3)Cho mỗi phép nhúng X Y vào một không gian compact Hausdorff Y
tồn tại một ánh xạ liên tục s Y: FX sao cho s x Y x với mọi
x X Y .
(4)Cho một phép nhúng từ X K vào K (với K 0,1 là một khối lập phương Tychonoff) tồn tại một ánh xạ liên tục s K: FX sao cho
K
1 4 : ta có thể chứng minh thông qua định nghĩa 2.2.2. không gian F – Dugundji và định lý 2.2.3.
2 3 : là kết quả của định lý 2.2.3.
3 4 : ta áp dụng điều kiện 3 cho trường hợp đặc biệt không gian compact Hausdorff Y là một khối lập phương Tychonoff ta sẽ được 4 .
4 3 : Giả sử rằng một số phép nhúng X K vào một khối Tychonoff K 0,1 tồn tại một ánh xạ liên tục s K: FX sao cho
K
s x x với mọi x X K. Lấy X Y được nhúng vào không gian compact Y.
Theo định lý Tietze-Urysohn, ánh xạ đồng nhất X X K sẽ nhận một mở rộng liên tục f Y: K . Khi đó, ánh xạ s f Y: FX có tính chất cần xác định: s f x s x Y x với mỗi xX .
Chương 3. CO RÚT F - GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
VÀ KHÔNG GIAN F - MILUTIN TUYỆT ĐỐI
Ta thấy điều kiện cuối cùng trong định lý 2.2.4. và 2.2.5 đúng với mọi hàm tử F (không nhất thiết là phiếm hàm). Do đó, ta chọn các điều kiện này như một cơ sở cho các khái niệm của co rút F – giá trị tuyệt đối và các không gian F – Milutin tuyệt đối.
Chương này sẽ trình bày một số khái niệm về co rút F – giá trị tuyệt đối và F – Milutin tuyệt đối và một số kết quả có được của lớp các co rút F – giá trị tuyệt đối khi nghiên cứu một số trường hợp hàm tử chức năng cụ thể.