Định lý Đồng Dạng - (LUẬN văn THẠC sĩ) một số kết- 123docz.net

Trong phần này, ta sử dụng định lý McIntosh-Yagi đã đề cập ở trên để giải quyết hai vấn đề đồng dạng được nêu ở phần 1 và 3.

Hệ quả 3.5.1 (Callier-Grabowski-LeMerdy)

Cho A là generator của nửa nhóm C0 chỉnh hình bị chặn T trên không gian Hilbert H. Khi đó T đồng dạng với nửa nhóm co khi và chỉ khi B BIP   A , với B là phần đơn ánh của A.

Chứng minh:

)

 Đặt K:  A . Giả sử T đồng dạng với nửa nhóm co.

Để thay đổi tích vô hướng, giả sử A là m accretive . Áp dụng mệnh đề 3.2.6 và định lý 3.4.7 ta có BBIP K .

)

 Giả sử BBIP K .

Vì A sinh ra một nửa nhóm chỉnh hình bị chặn nên A là quạt với 2

   .

Theo định lý 3.4.7, có thể thay chuẩn trên K bằng  

1 2 2 0 dt f tA x t        , với A f DR S   tùy ý.   1

    2 2 1 1 2 2 2 0 0 tA new dt x tA e x A T t x dt t     

Sử dụng tính chất nửa nhóm ta dễ dàng thấy rằng T t  co lại trên K đối với chuẩn mới.

Tuy nhiên, trên N A  mỗi toán tử T t  giống như đồng nhất.

Vì H N A K , có thể chọn tích vô hướng mới theo cách đó là cái cũ trên N A , xây dựng trên K và N A  K. Đối với tích vô hướng mới này, nửa nhóm T là

phép co.

Định lý 3.5.2 (Định lý đồng dạng)

Cho A là toán tử quạt trên không gian Hilbert H thỏa



  . Giả sử A thỏa các tính chất tương đương từ (i) đến (iv) trong định lý 3.4.7. Khi đó, với mỗi

   

thì có một tích vô hướng tương đương   trên H thỏa các tính chất sau: 1) N A   A đối với  .

2) Toán tử A là m  accretive đối với   . 3)    , 0

D A D A  



   . Ở đây, A là liên hợp của A đối với   . 4) f A   f , f DRext S H S . Chú ý: 1 4 2    . Do đó đặc biệt ta có kết quả: 1 1 2 2 D A  D A          . Chứng minh: 1) Chọn A   :  ' và đặt : 2 '     và B: A.

Khi đó BSect ' với ' . ' 2 2

    



Suy ra:  sinh ra một nửa nhóm C0 chỉnh hình bị chặn.

Theo giả thiết, A thỏa điều kiện  i của định lý 3.4.7. Áp dụng mệnh đề 1.7.2 ta có

B cũng vậy.

Áp dụng hệ quả 3.5.1, tồn tại một tích vô hướng tương đương   để B là m

accretive và sao cho N A   A . 2) Ta có: 1 AB. Khi đó, theo mệnh đề 3.3.2, A là 2 m  accretive    đối với tích

vô hướng mới.

3) Theo định lý Kato 3.3.4 ta có:

        1

, 0

D A D B D B D A    .

Vậy tính chất 3) đã được chứng minh, do 0

2 4 '        và 4 ' 4      . 4) Lấy f DR S  DR S0   .1 bị chặn. Khi đó áp dụng mệnh đề 1.7.2 và mệnh đề 3.2.6 ta có:     ' 2 1 1 S S S f A f z B f z f f                      .

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Trong phần kết luận, tác giả sẽ tóm tắt lại nội dung cũng như mục tiêu đã đạt được trong luận văn này.

Chủ đề của luận văn là một số kết quả về tính đồng dạng cho toán tử quạt trong các không gian Hilbert. Trong chương 1, tác giả đã hệ thống lại một số khái niệm về toán tử quạt, các mệnh đề cơ bản của toán tử quạt, không gian các hàm chỉnh hình, natural functional calculus, tính bị chặn của H - calculus. Ở chương 2, tác giả trình bày những thông tin về các toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert, bao gồm liên hợp (của toán tử đa trị), toán tử accretive, và định lý Lax-Milgram. Sau phần kiến thức chuẩn bị trong chương 1 và 2, tác giả sử dụng những kết quả từ lý thuyết toán tử trên không gian Hilbertvà functional calculus để đạt được một số kết quả về tính đồng dạng cho toán tử quạt ở chương 3. Tác giả chứng minh Định lý Đồng dạng từ đó giải quyết được hai vấn đề đồng dạng đã nêu.

Nhìn chung về mục tiêu của luận văn cơ bản tác giả đã hoàn thành, tuy nhiên do hạn chế về thời gian cũng như tính chất phức tạp của vấn đề nên luận văn không tránh khỏi sự thiếu sót. Luận văn là cơ hội để tác giả củng cố và vận dụng kiến thức đã học vào một đề tài cụ thể và biết thêm một số kiến thức mới. Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn bè.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Wolfgang Arendt, Shangquan Bu, and Markus Haase. Functional calculus, variational methods and Liapunov’s theorem. Arch.Math. (Basel), 77(1):65- 75,2001.

[2] David Albrecht, Xuan Duong, and Alan McIntosh. Operator theory and harmonic analysis. In Instructional Workshop on Analysis and Geometry, Part III (Canberra, 1995), pages 77–136. Austral. Nat. Univ., Canberra, 1996.

[3] A. V. Balakrishnam, Fractional powers of closed operators and the semigroups generated by them, Pacific J. Math., 10:419-437, 1960.

[4] E.B.Davies. One-Parameter Semigroups. London Mathematical So-ciety, Monographs, No.15.London.etc.: Academic Press, A Sub-Sidiary of Hancourt Brace Jovanovich, Publisher VIII, 230 p.,1980.

[5] S. R. Foguel. A counterexample to a problem of Sz-Nagy. Proc.Amer.Math.Soc.,15:788-790, 1998.

[6] Edwin Franks. Modified Cauchy kermel and functional calculus for operators on Banach space. J. Austral. Math. Soc. Ser. A,63(1):91-99, 1997.

[7] Markus Haase, The functional calculus for sectorial operators and similarity methods. Dissertation, Universitat Ulm, January 2003.

[8] Tosio Kato, Note on fractional powers of linear operators, Proc. Japan Acad., 36:94-96, 1960.

[9] Tosio Kato. Fractional Powers of dissipative operators. J. Math. Soc. Japan, 13:246-274, 1961.

[10] M. A. Krasnosel’skiĭ and P. E. Sobolevskiĭ, Fractional powers of operators acting in Banach spaces, Dokl, Akad, Nauk SSSR, 129:499-502, 1959.

[11] J.-L. Lions. Espaces d’interpolation et domainesde puissances franctionares d’operateurs. J. Math. Soc. Japan, 14:233-241, 1962.

[12] Christian Le Medry. The similarity problem for bounded ana-lytic semigroups on Hilbert space. Semigroups Forum, 56(2):205-224, 1998.

[14] Alan McIntosh. On the cmparability of 1 2 A and 1 * 2

A . Proc. Amer. Math. Soc.,32:430-434, 1972.

[15] Alan McIntosh, Operators which have an H functional calculus, In

Miniconference on operator theory and partial differential equations (North Ryde, 1986), pages 210–231. Austral. Nat. Univ., Canberra, 1986.

[16] Alan McIntosh, Operator Theory - Spectra and Functional Calculi, February 18, 2010.

[17] Bela de Sz.Nagy. On uniformly bounded linear transformations in Hilbert space. Acta univ.Szeged.,Acta Sci.Math.,11:152-157,1947.

[18] Bela Sz-Nagy. Completely continuos operators with uniformly bounded iterates. Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato Int. Kozl.,4:89-93, 1959.

[19] Celso Martinez Carracedo and Miguel Sanz Alix. The theory of fractional powers of operators. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 2001.

[20] Walter Rudin. Real and Complex Analysis. 3rd ed. New York,NY:McGraw- Hill. Xiv, 416p., 1987.

[21] M. Scheter. Principles of Functional Analysis. New York-London: Academic Press, 1971.

[22] Hiroki Tanabe. Equations of Evolution. Translated from Japanese by N. Mugibayashi and H. Haneda. Monographs and studies in Mathe-matics.6.London- San Francisco-Melbourne: Pitman.XII,260p., 1979.

[23] Atsushi Yagi. Coincidence entre des espaces d’interpolation et des domaines de puissances fractionares d’operateurs. C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. I

Math.,299(6):173-176, 1984.

[24] Kôsaku Yosida, Fractional powers of infinitesimal generators and the analyticity of the semigroups generated by them, Proc, Japan Acad., 36:86-89, 1960.