s I J
H M
Định lý 2.4.1. Cho M là Rmôđun thỏa ExtRi R I M, là Lasker yếu với mọi i và s là số nguyên không âm. Nếu i,
I J
H M là I J, cofinite yếu với mọi is, khi đó ,
s I J
H M cũng là I J, cofinite yếu. Chứng minh: Ta quy nạp theo s.
Với s0, đặt M M I J, M ta có dãy khớp ngắn:
,
0 I J M M M 0 cảm sinh dãy khớp dài
, , , ,
i i i
R I J R R
Ext R I M Ext R I M Ext R I M
Ta có , ,
i i
I J I J
H M H M với mọi i0 (do Mệnh đề 1.3.14) và 0 , 0 I J H M nên , i I J
H M là I J, cofinite yếu với mọi i0. Theo Mệnh đề 2.1.7 , ExtiRR I M, là môđun Lasker yếu với mọi i0. Kết hợp với giả thiết ExtiRR I M, là Lasker yếu với mọi i, nên từ dãy khớp dài ở trên cho
ta ExtRi R I,I J, M là môđun Lasker yếu. Mặt khác từ 1.3.6 ta lại có
, ,
R I J
Supp M W I J nên I J, M là I J, cofinite yếu. Vì vậy
0
, ,
I J I J
H M M cũng là môđun I J, cofinite yếu. Vậy mệnh đề đúng với s 0.
Khi s 0, với E M là bao nội xạ của M , khi đó ta có 1 , , i i R R Ext R I E M M Ext R I M và 1 , , i i I J I J H E M M H M , với mọi i0. Vì , i I J
H M là I J, cofinite yếu với mọi is nên
1 1
, ,
i i
I J I J
H M H M cũng là I J, cofinite yếu với mọi i s 1.
Nên ,
i I J
H E M M là I J, cofinite yếu với mọi i s 1.
Mà ExtRi R I M, là Lasker yếu với mọi i nên ExtRi R I E M, M là Lasker yếu với mọi i0. Theo giả thiết qui nạp, 1
,
s I J
H E M M là
I J, cofinite yếu, vì vậy ,
s I J
H M là I J, cofinite yếu. Kết hợp Bổ đề 2.1.2.b và Định lý 2.4.1 ta được kết quả sau.
Bổ đề 2.4.2. Cho M làRmôđun Lasker yếu và slà số nguyên không âm. Nếu i,
I J
H M là I J, cofinite yếu với mọi is, khi đó s,
I J
H M cũng là
I J, cofinite yếu.
Bổ đề 2.4.3. Cho I là iđêan chính của vành R và M là môđun Lasker yếu. Khi đó ,
i I J
H M là I J, cofinite yếu với mọi i0. Chứng minh:
Từ [1, 4.11] ta có HI Ji, M 0 với mọi i1. Hơn nữa, 0
,
I J
H M là
Rmôđun Lasker yếu, vì 0
,
I J
H M là môđun con của M . Điều đó có nghĩa
,
i I J
H M là I J, cofinite yếu với mọi i1. Từ Định lý 2.4.1 ta có điều cần
Chương 3. Phạm trù con Serre