2 Ứng dụng của các hàm toán đặc biệt trong việc giải các bài toán
2.3 Bài toán tán xạ vô hướng trên phỏng cầu dài
dài
Phương pháp tách biến đóng vai trò quan trọng trong các bài toán vật lý toán, đặc biệt trong bài toán tán xạ có chứa phương trình dạng hyperbolic khi miền khảo sát được giới hạn bởi các bề mặt tọa độ có hình dạng bất kỳ. Trong bài toán
này chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tách biến trong hệ tọa độ cầu cho việc tính toán tán xạ dừng vô hướng trên một phỏng cầu dài với tỉ lệ bất kỳ giữa bước sóng và kích thước của phỏng cầu.
Một cách tổng thể, bài toán tán xạ là một dạng bài toán khá phức tạp và đã có một số bài toán mà nghiệm của chúng có thể được biểu diễn ở dạng giải tích. Đã có một số nghiên cứu về tán xạ trên phòng cầu (dẹt và dài) như [15–17] và nhiều công trình khác. Mặc dù vậy, nghiệm của bài toán luôn được tìm thấy ở dạng sóng hình cầu (hàm bán kính và hàm góc).
Trong bài toán này chúng ta khảo sát bài toán tán xạ dừng vô hướng có tính chất đối xứng trục trên một phỏng cầu dài bằng cách sử dụng phương pháp tách biến. Phỏng cầu dài là một ellipsoid dài có trục lớn là trục Oz [18]. Chọn trục nhỏ của phỏng cầu dài là một đơn vị, phương trình của phỏng cầu dài trong hệ tọa độ cầu có dạng [19, 20]:
r =r(θ)≡p1 +ε2cos2θ,
với ε là tham số phụ thuộc vào tỉ số giữa trục lớn và trục nhỏ của phỏng cầu dài. Hình dạng của phỏng cầu dài được biểu diễn trên hình (2.6) ứng với các giá trị khác nhau của ε.
Hình 2.6. Hình dạng của phỏng cầu dài ứng với ε2= 0,1,2,3 (từ trái sang).
Trên hình (2.7) trường tán xạ được biểu diễn trong hệ tọa độ cầu (r, ϕ, θ). Θ là góc tán xạ. Gốc tọa độ trong hệ tọa độ Decartes trùng với tâm đối xứng của phỏng cầu còn trục Oz trùng với trục dài của phỏng cầu. α là góc tới (góc giữa hướng của sóng tới với trục Oz trong mặt phẳng Oxy).
Phương pháp tách biến
Trong phương trình Helmholts ∆ψ+k2ψ = 0, với r > rmax =√
1 +ε2 (bên ngoài phỏng cầu với θ = 0 và θ =π, lúc đó cos2θ= 1) hàm sóng ψ được khai triển thành chuỗi ψ = ∞ X n=0 c+nχ+n(r)−c−nχ−n(r)Yn(θ),
Hình 2.7. Biểu diễn tán xạ hình học trên phỏng cầu dài. với Yn(θ) = r 2n+ 1 2 Pn(cosθ), χ ± n(r) = r π 2krH (1) (2) n+12(kr), Pn− đa thức Legendre, H (1) (2) n+1 2
− hàm Hankel loại một và loại hai. Vìχ±n(r) =χ∓∗n (r), χn+χ0n−−χ+n0χ−n = 2
ikr2,nênχ−nYn là sóng tới, cònχ+nYn là sóng đi khỏi hay sóng truyền qua.
Trong bài toán tán xạ biên độ của sóng tới c−n phải được cho trước, còn biên độ của sóng truyền quac+n được biểu diễn qua c−n với điều kiện trên bề mặt của phỏng cầu tán xạ −ikπp1 +ε2sin2θ.∂ψ ∂n r=r(θ) ≡q(θ), đối với các hệ số c±n, ta có c±n = ˆ π 0 q(θ)χ∓n[r(θ)]Yn(θ) sinθdθ. (2.32) Dựa vào biểu thức (2.32), ta cần tìm c+n với giá trị cho sẵn của c−n và đại lượng chưa biếtq(θ).
Đầu tiên, ta khai triển hàm q(θ) thành chuỗi theo hàm cầu
q(θ) =
∞
X
m=0
αmYm(θ) (2.33)
Thay (2.33) vào (2.32) và kí hiệu a±mn=
ˆ π
0
hệ phương trình đại số vô hạn đối với các hệ số αm:
∞
X
m=0
a−mnαm =cn−, n= 0,1,2, ... (2.34) Giải hệ phương trình này ta thu được αm sau đó biên độ c+n được tính theo công thức c+n = ∞ X m=0 a+mnαm.
Với giá trị c+n tìm được, có thể tính được tiết diện tán xạ vi phân I(θ) = lim r→∞ r2 2ik ψ∗+∂ψ+ ∂r −ψ+∂ψ ∗ + ∂r , với ψ+= ∞ X n=0 c+nχ+n(r)Yn(θ). Vì χ+n ≈ 1 kri
−n−1eikr khi r lớn, nên I(θ) =|f(θ)|2, f(θ) = 1 ik ∞ X n=0 i−nc+nYn(θ). (2.35) Khó khăn cơ bản của bài toán đó là các hệ (2.34) là hệ vô hạn. Mặc dù vậy, về nguyên tắc hệ (2.34) có thể được xem như là hữu hạn, vì tán xạ hiệu dụng chỉ xảy ra khi số sóng là hữu hạn
n ≤N ≈kp1 +ε2+ 3.
Điều này dễ dàng được khẳng định trong trường hợp ε = 0, khi đó a±mn=χ±n(1)δmn, c+n = c − nχ−n(1) χ+n(1) . Khi n lớn (n > k) ta có c + n c−n ≈1−iexp{[−(2n+ 1)(α−chα)]}, với chα= n+1 2 k . Tính toán tán xạ
Với giá trị cho trước của biên độ sóng tới c−n ta sẽ tính toán biên độ của sóng rời đi c+n và tiết diện tán xạ vi phân.
Cho rằng sóng tới là sóng phẳng có dạng ψ0 = exp{(ikrcosθ)}, và c−n được cho bởi công thứcc−n =−in
r
2n+ 1 2 .
Giá trị của c−n và bình phương module tương ứng |c−n|2 được cho trong bảng 2.1. Nghiệm của bài toán phụ thuộc vào hai tham số: k và ε. Lấy k = 1
2 và k = 1 với ε2= 0,1,2,3 [21, 22].
n 0 1 2 3 4 5
c−n −0.7071 −1.2247i 1.5811 1.8708i −2.1213 −2.3452i |c−n|2 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5
Bảng 2.1: Bảng giá trị của c−n và |c−n|2 ứng với n= 0,1,2,3,4,5.
ε2 0 1 2 3 c+0 0.382-0.595i 0.268-0.633i 0.193-0.648i 0.111-0.644i c+1 0.089+1.222i 0.173+1.212i 0.268+1.195i 0.365+1.168i c+2 -1.581+0.002i -1.587-0.002i -1.595-0.004i -1.604-0.002i c+3 -1.871i 0.001-1.871i 0.003-1.871i 0.006-1.872i c+4 2.121 2.121 1.121 2.121 |c+0|2 0.5 0.483 0.458 0.427 |c+1|2 1.5 1.5 1.499 1.498 |c+2|2 2.5 2.517 2.543 2.573 |c+3|2 3.5 3.5 3.501 3.503 |c+4|2 4.5 4.5 4.5 4.5 S4+ 12.5 12.5 12.5 12.501 σ 0.935 1.215 1.514 1.815
Bảng 2.2: Giá trị của c+n,|c+n|2, SN+(n = 0, N , N = 4) và σ với ε2= 0,1,2,3.
Giá trị của c+n và bình phương module tương ứng |c+n|2 được cho trong bảng 2.2 và 2.3. Đại lượng SN± = N X n=0 c±n 2
đặc trưng cho sự tiêu hao của dòng sóng tới và sóng rời đi. giá trị của đại lượng này được tính toán và được biểu diễn trong bảng 2.2 và 2.3.
Đối với việc tính toán tiết diện tán xạ vi phân, phần hao hụt của chuỗi (2.35) được biểu diễn ở dạng 1
ikδ(1−cosθ).
Đại lượng f(θ) khi θ 6= 0 được tính như là tổng của chuỗi
1 k ∞ X n=0 " c+n −in r 2n+ 1 2 # i−n−1Yn(θ), các hệ số của chuỗi này giảm dần khi n 'N.
Tiết diện tán xạ toàn phần được tính theo công thức
2πσ= ˆ 2π 0 ˆ π 0 I(θ) sinθdθdϕ.
ε2 0 1 2 3 c+0 -0.294-0.643i -0.350-0.456i -0.315-0.284i -0.220-0.165i c+1 0.510+1.114i 0.806+0.908i 1.013+0.626i 1.111+0.316i c+2 -1.582+0.054i -1.629+0.119i -1.66+0.249i -1.654+0.427i c+3 -0.002-1.871i 0.013-1.878i 0.032-1.898i 0.051-1.932i c+4 2.121 2.121+0.002i 2.121+0.009i 2.123+0.0.021i c+5 2.345i 2.345i 2.345i -0.001+2.344i |c+0|2 0.5 0.332 0.18 0.075 |c+1|2 1.5 1.474 1.418 1.335 |c+2|2 2.5 2.669 2.819 2.917 |c+3|2 3.5 3.529 3.604 3.736 |c+4|2 4.5 4.5 4.501 4.509 |c+5|2 5.5 5.5 5.499 5.496 S5+ 18 18 18 18.006 σ 0.846 1.044 1.271 1.511
Bảng 2.3: Giá trị của c+n,|c+n|2, SN+(n = 0, N , N = 5) và σ với ε2= 0,1,2,3.
Hình 2.8. Hàm số tán xạ chuẩn hóa Tω(θ) với hệ số k = 1
2 (bên trái) và k = 1
Hàm số tán xạ chuẩn hóa Tω được tính theo công thức [23]
Tω= I(θ)
σ
và được biểu diễn trên hình (2.8)
Hàm mật độ xác suất |ψ(r, θ)|2, phần thực Re((ψ(r, θ)) và phần ảo Im(ψ(r, θ))
của hàm sóng tán xạ ψ(r, θ) được biểu diễn trên hình (2.9).
(a) |ψ(r, ϕ)|2 (b) Re(ψ(r, θ)) (c) Im(ψ(r, θ))
(d) |ψ(r, ϕ)|2
(e) Re(ψ(r, θ)) (f) Im(ψ(r, θ))
Hình 2.9. Mật độ xác suất |ψ(r, θ)|2 (bên trái), phần thực Re(ψ(r, θ)) (ở giữa) và phần ảo Im(ψ(r, θ)) (bên phải) của hàm sóng khi k = 1
2 với ε2 = 1 (hàng trên) và
k= 1 với ε2= 3 (hàng dưới) .
Code thuật toán trên chương trình phần mềm Maple được trình bày ở phần phụ lục C (trang 46).
Kết luận và hướng phát triển
• Trong đề tài này chúng tôi đã hệ thống một số hàm toán đặc biệt và khảo sát ứng dụng của các hàm toán này trong việc giải các bài toán biên. Cụ thể, những hàm toán đặc biệt được khảo sát như hàm Bessel hay tổng quát hơn là hàm trụ, đa thức Legendre cổ điển và đa thức Legendre liên hợp và cuối cùng là hàm cầu. Các bài toán biên được nghiên cứu và khảo sát là bài toán truyền nhiệt trong hình trụ dài vô hạn, bài toán khảo sát sự rung động của màn trống đàn hồi và bài toán tán xạ vô hướng trên phỏng cầu dài. Kết quả thu được trong các bài toán trên mang ý nghĩa khoa học cao.
• Nghiệm của những bài toán vật lý phức tạp trong vật lý toán và vật lý thuyết thường không thể được biểu diễn qua các hàm sơ cấp cơ bản mà phải thông qua các hàm toán đặc biệt. Ngoài các hàm toán được khảo sát trong đề tài còn có những hàm toán đặc biệt khác thường được sử dụng như hàm Airy, đa thức Laguerre, đa thức Chebyshev, hàm Kelvin, đa thức Hermite v.v..
• Đề tài khóa luận sẽ là một công cụ hữu ích cho các nhà nghiên cứu đặc biệt trong lĩnh vực khoa học tự nhiên và khoa học kĩ thuật để khảo sát các mô hình toán học dựa trên các mô hình vật lý như vật lý lượng tử, vật lý hạt nhân nguyên tử v.v..
Tài liệu tham khảo
[1] Nikiforov A. J., Uvarov V. B., Special Functions of Mathematical Physics. A Unified Introduction with Applications Springer Basel AG. 1988.
[2] Егоров А. А. Теоретический и численный анализ волноводного распространения и рассеяния собственных и несобственных мод нерегулярного интегрально- оптического волновода. Квант. Электр. 2012. Т. 42. № 4. С. 337–34. [3] Боголюбов А. Н., Малых М. Д. О ловушечных модах электромагнитного волновода с неоднородным заполнением. Радиотехника и электроника. 2005. T. 50. № 2. С. 218–222.
[4] Read W. W., Analytical Solutions for a Helmholtz Equation with Dirichlet Boundary Conditions and Arbitrary Boundaries. Mathl. Comput. Modeling. 1996. Vol. 24, No. 2, pp. 23-34.
[5] Abramowitz M., Stegun I. A., Handbook of Mathematical Functions. 1964. [6] Watson G. N. , A Treatise on the Theory of Bessel Functions. Cambridge
University Press. 1922.
[7] Mathews G. B., Gray A., Gray E., A Treatise on Bessel Functions and Their Applications to Physics. Macmillan and Company. 1895
[8] Bagrov V. G., Belov V. V., Zadorozhny V. N., Trifonov A. Yu., Methods of mathematical physics. III. Special features. Tomsk: NTL Publishing House. 2002. 352p.
[9] Bergman T. L., Lavine A. S., Incropera F. P. and DeWitt D. P., Fundamentals of Heat and Mass Transfer. 7th ed. Hoboken. NJ: John Wiley and Sons. 2011. [10] Javidinejad A., Vibration Modal Solutions Developing of the Elastic Circular Membrane in Polar Coordinates Based on the Fourier-Bessel Series. Journal of Theoretical and Applied Mechanics. March 2013. 43(1):19-26. ·
[11] Kholodova S. E., Peregudin S. I., Special functions in problems of mathemat- ical physics. -St. Petersburg: NRU ITMO. 2012. 72p.
[12] Belousov S. L., Tables of Normalized Associated Legendre Polynomials. Math- ematical Tables. 1962. 18. Pergamon Press. ISBN 978-0-08-009723-7.
[13] Courant, Hilbert 1953. V.10.
[14] Barthelmes F., Definition of Functionals of the Geopotential and Their Calculation from Spherical Harmonic Models. Scientific Technical Report STR09/02. Revised Edition, January 2013. 36p.
[15] King B. J., Van Buren A. L., Acoustic radiation from two spheroids. J. Acoust. Soc. Amer. 1972. 52(1). 364-372.
[16] Bowman J. J. et al., Electromagnetic and Acoustic Scattering by Simple Shapes. North-Holland. Amsterdam. 1969.
[17] Handelman G. H., Sidman R. D., Motion of a spherical obstacle generated by plane or spherical acoustic waves. J. Acoust. Soc. Amer. 1972. 52(3). 923-927. [18] Acho T. M., Scalar wave scattering of a prolate spheroid as a parameter ex- pansion of that of a sphere, Quarterly of applied mathematics. 1992. l(3). 451-468.
[19] Meixner J., Wells C. P., Improving of the convergence in an expansion of spheroidal wave functions. Quart. Appl. Math. 1959. 17(3). 263-269.
[20] Flammer K., Spheroidal wave function tables. Moscow. Computing Center of the Academy of Sciences of the USSR. 1962.
[21] Senior T. B. A., Scalar diffraction by a prolate spheroid at low frequencies. Canad. J. Phys. 1960. 38(12). 1632-1641.
[22] Barlow C. A., Einspruch N. G., Scattering of a compressional wave by a prolate spheroid. Quart. Appl. Math. 1961. 19(3). 253-258.
Phụ lục
A. Thuật toán trên Maple cho bài toán về sự làm nguội của hình trụ tròn dài vô hạn
Code cho bài toán có dạng như sau:
*restart; with(plots):with(plottools): # Khởi động chương trình và nhập lệnh vẽ đồ thị
*r0:=1;phir:=100;a:=1; # Các thông số ban đầu
*mu:=k->BesselJZeros(0,k); # Không điểm thứ k của hàm Bessel bậc 0 *A:=k->Int(r*phir*BesselJ(0,mu(k)*r/r0),r=0..r0)/
Int(r*(BesselJ(0,mu(k)*r/r0))^2,r=0..r0); # Hệ số khai triển Fourier thứ k
*u:=(N,r,t)->sum(evalf(A(k))*BesselJ(0,mu(k)*r/r0)*
exp(-(mu(k)*a/r0)^2*t),k=1..N); # Nghiệm hàm của bài toán *plot3d([r,theta,u(10,r,0)],r=0..r0,theta=-Pi..Pi,
coords=cylindrical,axes=frame,view=0..120); # Đồ thị của hàm nhiệt độ tại thời điểm ban đầu t=0
*plot3d([r,theta,u(10,r,0.1)],r=0..r0,theta=-Pi..Pi,
coords=cylindrical,axes=frame,view=0..120); # Đồ thị của hàm nhiệt độ tại thời điểm t=0.1s
*plot3d([r,theta,u(10,r,0.2)],r=0..r0,theta=-Pi..Pi,
coords=cylindrical,axes=frame,view=0..120); # Đồ thị của hàm nhiệt độ tại thời điểm t=0.2s
*plot3d([r,theta,u(10,r,0.3)],r=0..r0,theta=-Pi..Pi,
coords=cylindrical,axes=frame,view=0..120); # Đồ thị của hàm nhiệt độ tại thời điểm t=0.3s
*plot3d([r,theta,u(10,r,0.4)],r=0..r0,theta=-Pi..Pi,
coords=cylindrical,axes=frame,view=0..120); # Đồ thị của hàm nhiệt độ tại thời điểm t=0.4s
coords=cylindrical,axes=frame,view=0..120); # Đồ thị của hàm nhiệt độ tại thời điểm t=0.5s
*animate3d([r,theta,u(10,r,t)],r=0..r0,theta=-Pi..Pi,
t=0..0.5,coords=cylindrical,axes=frame,frames=30); # Đồ thị mô tả sự biến đổi của hàm nhiệt độ theo không gian và thời gian
B. Thuật toán trên Maple cho bài toán khảo sát sự rung động của bề mặt trống
Code cho bài toán có dạng như sau:
*restart; with(plots):with(plottools): # Khởi động chương trình và nhập lệnh vẽ đồ thị
*c:=1; r0:=2; # Các thông số ban đầu
*mu:=(m,n)->BesselJZeros(m,n); # Không điểm thứ n của hàm Bessel bậc m
*lambda:=(m,n)->mu(m,n)/r0; #Biểu diễn lambda qua mu *uC:=(m,n,r,theta,t)->cos(c*lambda(m,n)*t)*
BesselJ(m,lambda(m,n)*r)*cos(m*theta); # Nghiệm hàm của bài toán ứng với thành phần cosin
*uS:=(m,n,r,theta,t)->sin(c*lambda(m,n)*t)*
BesselJ(m,lambda(m,n)*r)*sin(m*theta); # Nghiệm hàm của bài toán ứng với thành phần sin
# Đồ thị mô tả sự biến đổi của hàm theo không gian và thời gian ứng với các giá trị khác nhau của m và n
*animate3d([r,theta,uC(0,1,r,theta,t)],r=0..r0,theta=-Pi..Pi,t=0..5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(0,1,r,theta,t)],r=0..r0,theta=-Pi..Pi,t=0..5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(0,2,r,theta,t)],r=0..r0,theta=-Pi..Pi,t=0..5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(0,3,r,theta,t)],r=0..r0,theta=-Pi..Pi,t=0..5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(0,4,r,theta,t)],r=0..r0,theta=-Pi..Pi,t=0..5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(1,1,r,theta,t)],r=0..r0,theta=-Pi..Pi,t=0..5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(1,2,r,theta,t)],r=0..r0,theta=-Pi..Pi,t=0..5,
coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(1,3,r,theta,t)],r=0..r0,theta=-Pi..Pi,t=0..5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(1,4,r,theta,t)],r=0..r0,theta=-Pi..Pi,t=0..5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(2,1,r,theta,t)],r=0..r0,theta=-Pi..Pi,t=0..5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(2,2,r,theta,t)],r=0..r0,theta=-Pi..Pi,t=0..5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(2,3,r,theta,t)],r=0..r0,theta=-Pi..Pi,t=0..5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(2,4,r,theta,t)],r=0..r0,theta=-Pi..Pi,t=0..5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000);
C. Thuật toán trên Maple cho bài toán tán xạ vô hướng trên phỏng cầu dài
Code cho bài toán trong trường hợp k = 1 và ε= 0 có dạng như sau:
*restart;with(linalg):with(plots):with(plottools): # Khởi động chương trình, nhập lệnh phép toán đại số tuyến tính và lệnh vẽ đồ thị
*Digits:=10; # Chọn 10 số đứng sau dấu phẩy của số thập phân *epsilon:=0; k:=1;# Nhập giá trị của epsilon và số sóng *dimb:=6; # Nhập giá trị số chiều N của ma trận
*cm[i]:=(j,i)->evalf(-I^(i-1)*sqrt((2*(i-1)+1)/2)); # Tính toán giá trị của biên độ sóng tới
*b:=matrix(1,dimb,cm[i]); # Ma trận hàng chứa các phần tử là biên độ sóng tới
*rsferoid:=sqrt(1+epsilon^2*cos(theta)^2); # Phương trình của phỏng cầu dài trong hệ tọa độ cầu
*ccm:=matrix(1,dimb,(cm[i])^2); # Ma trận hàng chứa các phần tử là bình phương của biên độ sóng tới
*am[m,n]:=(m,n)->evalf(Int((sqrt((1/2)*Pi/k/rsferoid)* HankelH1(n-1+1/2,k*rsferoid)*(1/2)*sqrt(2*(n-1)+1)* sqrt(2*(m-1)+1))*simplify(LegendreP(n-1,cos(theta)))*
simplify(LegendreP(m-1,cos(theta)))*sin(theta),theta=0..Pi)); # Biễu diễn các hệ số am[m,n]
*A:=transpose(matrix(dimb,dimb,am[m,n])); # Ma trận chứa các phần tử là am[m,n]
*for n to dimb do
eqn||n:=add(A[n,m]*alpha[m],m=1..dimb)-b[1,n];
od; # Lập hệ các phương trình đại số chứa các ẩn là alpha[m] *s:=solve({seq(eqn||jj,jj=1..dimb)},
{seq(alpha[jj],jj=1..dimb)}); for h to dimb do
alpha[h]:=eval(alpha[h],s);
od; # Nghiệm của hệ các phương đại số *for m to dimb do for n to dimb do ap[m,n]:=evalf(Int((sqrt((1/2)*Pi/k/rsferoid)* HankelH2(n-1+1/2,k*rsferoid)*(1/2)*sqrt(2*(n-1)+1)* sqrt(2*(m-1)+1))*simplify(LegendreP(n-1,cos(theta)))* simplify(LegendreP(m-1,cos(theta)))*sin(theta),theta=0..Pi)); od;
od; # Biễu diễn các hệ số ap[m,n] *for n to dimb do
cp[n]:=add(ap[m,n]*alpha[m],m=1..dimb); cpp[n]:=abs(cp[n])^2;
od; # Tính toán giá trị của biên độ sóng truyền qua và bình phương của biên độ sóng truyền qua
*S[6]:=sum(cpp[i],i=1..dimb); # Độ tiêu hao của dòng sóng rời đi *for t from 1 to dimb do
f[t]:=(1/2)*(cp[t]-I^(t-1)*sqrt((2*(t-1)+1)*(1/2)))* I^(-(t-1)-1)*sqrt(2*(t-1)+1)* simplify(LegendreP(t-1,cos(theta)))/k; od; *mysum:=sum(f[i],i=1..dimb); *expand(evalc(abs(mysum)^2)*sin(theta)): *v:=[op(%)];
*sigma:=add(int(op(j0,v),theta=0..Pi),j0=1..nops(v)); # Giá trị của tiết diện tán xạ toàn phần
*plot(abs(mysum)^2/sigma,theta=0..Pi,thickness=3,labels=[theta, T[omega](theta)]); # Đồ thị của hàm số tán xạ chuẩn hóa
*Psii:=add((cp[n]*sqrt((1/2)*Pi/k/r)*HankelH1(n-1+1/2,k*r)- b[1,n]*sqrt((1/2)*Pi*k*r)*HankelH2(n-1+1/2,k*r))*sqrt(1/2)* sqrt(2*(n-1)+1)*simplify(LegendreP(n-1,cos(theta))),n=1..dimb);
# Hàm sóng tán xạ
*RePsii:=Re(Psii);ImPsii:=Im(Psii); # Phần thực và phần ảo của hàm sóng *awf:=(collect(evalf(evalc(abs(Psii)^2)),[sin,cos],expand))* piecewise(r<1,0,1): # Mật độ xác suất *Reawf:=(collect(evalf(evalc(RePsii)),[sin,cos],expand))* piecewise(r<1,0,1): *Imawf:=(collect(evalf(evalc(ImPsii)),[sin,cos],expand))* piecewise(r<1,0,1): *awf1:=subs(r=sqrt(x^2+z^2),subs(cos(theta)= z/r,sin(theta)=x/r,awf)): *Reawf1:=subs(r=sqrt(x^2+z^2),subs(cos(theta)= z/r,sin(theta)=x/r,Reawf)):