VI. Cấu trúc đề tài
2.4.4. Nghiệm hàm Green cho phương trình sóng không thuần nhất trong
gian ba chiều
Ở phần trước, ta đã tìm nghiệm hàm Green cho phương trình sóng không đồng nhất độc lập theo thời gian trong không gian một, hai và ba chiều. Trong phần này, ta sẽ xét trong trường hợp tổng quát hơn cho trường sóng 𝑢(𝑟, 𝑘) phát sinh từ một nguồn bất kỳ không phụ thuộc vào thời gian 𝑓(𝑟). Ta đi tìm nghiệm phương trình sóng trong không gian ba chiều có dạng:
(∇2+ 𝑘2)𝑢(𝑟, 𝑘) = −𝑓(𝑟), ∀ 𝑟 ∈ 𝑉 (2.4.18) Vế phải phương trình (2.4.18) có giá trị bằng −𝑓 để đồng nhất với nghiệm hàm Green do nghiệm hàm Green có chứa hàm −𝛿. Phương trình hàm Green có dạng:
(∇2+ 𝑘2)𝑔(𝑟|𝑟0, 𝑘) = −𝛿3(𝑟 − 𝑟0) (2.4.19) Nhân 𝑔 cho phương trình (2.4.18), nhân 𝑢 cho phương trình (2.4.19), trừ vế theo vế hai phương trình ta được:
𝑔∇2𝑢 − 𝑢∇2𝑔 = −𝑔𝑓 + 𝑢𝛿3 (2.4.20)
Giả sử nguồn được giới hạn trong một vùng không gian với thể tích hữu hạn V. Bên ngoài vùng V, hàm nguồn có giá trị là 0. Tích phân hai vế phương trình (2.4.20) trên toàn miền V: ⇒ 𝑢(𝑟0, 𝑘) = ∫ 𝑓(𝑟)𝑔(𝑟|𝑟0, 𝑘)𝑑3𝑟 𝑉 + ∫ |𝑔(𝑟|𝑟0, 𝑘)∇2𝑢(𝑟, 𝑘) − 𝑢(𝑟, 𝑘)∇2𝑔(𝑟|𝑟0, 𝑘)]𝑑3𝑟 𝑉 (2.4.21)
Định lý 2.4.1 (Green’s Second Identity)
Cho 𝑢 và 𝑔 là hai hàm liên tục trên từng đoạn, 𝑆 là mặt khép kín bao quanh thể tích V. Cho các hàm 𝑢, 𝑔, đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của chúng đơn trị, liên tục trong miền mở chứa S. Khi đó ta có:
∫ (𝑔∇2𝑢 − 𝑢∇2𝑔)𝑑3𝑟 𝑉 = ∮ (𝑔∂𝑢 𝜕𝑛̂− 𝑢 ∂𝑢 𝜕𝑛̂) 𝑑 2𝑟 𝑆
Áp dụng định lý 2.4.1 cho số hạng thứ hai bên vế phải của phương trình (2.4.21), nghiệm phương trình (2.4.18) cho trường sóng u tại điểm 𝑟0 có dạng:
𝑢(𝑟0, 𝑘) = ∫ 𝑓𝑔𝑑3𝑟 𝑉
+ ∮(𝑔∇𝑢 − 𝑢∇𝑔)𝑛̂𝑑2𝑟 𝑆
Mặc dù định lý Green giúp nghiệm phương trình sóng trở nên đơn giản hơn do chuyển từ không gian ba chiều sang không gian hai chiều nhưng nghiệm u lại nằm hai bên phương trình mà không phải hoàn toàn một bên. Do đó, nếu ta biết tính chất của hàm u và ∇𝑢 trên mặt S, ta có thể tính toán hàm u tại điểm quan sát 𝑟0 bất kỳ. Từ đây, Dirichlet và Neumann đưa hai điều kiện biên như sau: điều kiện thứ nhất gọi là điều kiện biên đồng nhất Dirichlet, cho 𝑢 = 0 trên mặt S; điều kiện thứ hai gọi là điều kiện biên đồng nhất Neumann, cho ∇𝑢 = 0 trên mặt S. Khi nghiệm u thỏa mãn hai điều kiện này, ta có:
∮(𝑔∇𝑢 − 𝑢∇𝑔)𝑛̂𝑑2𝑟 𝑆 = 0 Khi đó: 𝑢(𝑟𝑜, 𝑘) = ∫ 𝑓(𝑟)𝑔(𝑟|𝑟0, 𝑘)𝑑3𝑟 𝑉 Định lý 2.4.2 (Định lý thuận nghịch)
Nếu 𝑟1 và 𝑟2 là hai điểm trong không gian thì 𝑔(𝑟1|𝑟2, 𝑘) = 𝑔(𝑟2|𝑟1, 𝑘)
nghĩa là sự lan truyền sóng từ điểm 𝑟1 đến điểm 𝑟2 giống hệt với sự lan truyền sóng từ điểm 𝑟2 sang 𝑟1.