Giả sử hàm số fxác định trên tập hợp D D( ⊂ ℝ) và x0 ∈D
0 )
a x được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( )a b;
chứa điểm x0sao cho: ( )
( ) { }0 0 0 0 ; ( ) ( ) ; \ a b D f x f x x a b x ⊂ < ∀ ∈ . Khi đó f x( )0 được
gọi là giá trị cực đại của hàm số f . 0
)
b x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số fnếu tồn tại một khoảng ( )a b;
chứa điểm x0sao cho: ( )
( ) { }0 0 0 0 ; ( ) ( ) ; \ a b D f x f x x a b x ⊂ < ∀ ∈ . Khi đó f x( )0 được
gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f .
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị
Nếu x0là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số fđạt cực trị tại điểm x0.
Như vậy : Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D D( ⊂ ℝ)
Nhấn mạnh : x0 ∈( )a b; ⊂D nghĩa là x0 là một điểm trong của D :
Ví dụ : Xét hàm số f x( )= x xác định trên +∞0; ). Ta có f x( )> f ( )0 với mọi x > 0nhưng x = 0 không phải là điểm cực tiểu vì tập hợp +∞0; )
không chứa bất kì một lân cận nào của điểm 0.
• Giá trị cực đại ( cực tiểu)f x( )0 nói chung không phải là GTLN (GTNN) của
f trên tập hợp D.
• Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tâp hợp D. Hàm số cũng có thể không có điểm cực trị.
• x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x f x0; ( )0 )được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f .