BÀI TOÁN 4 CHỨNG MINH

Ta hay gặp bài toán chứng minh một đường thẳng đi qua một điểm cố định , hay một điểm nằm trên một đường tròn cố định , một hình vuông …tóm lại một hình H cố định nào đó . Khi đó ta chỉ cần chứng minh đường thẳng đó đi qua tâm vị tự của hai hình H và H’ hoặc chứng minh M nằm trên một đường tròn ảnh của một hình H qua một phép

vị tự tâm I tỉ số k

Ví dụ 1. Cho hai đường tròn (O1) và (O2) ngoài nhau , một đườngtròn (O) thay đổi

tiếp xúc ngoài với O R1; 1 và tiếp xúc ngoài với O R2; 2 . Chứng minh đường thẳng

nối hai tiếp điểm đi qua một điểm cố định .

Giải

* Gọi M,N thứ tự là hai tiếp điểm của (O) với hai đường tròn O R1; 1;O R2; 2. Thì

1 2

O O O O O  . Kẻ O M2 '/ /O M1 . Thì ta có O M1 O M2 ' cho nên MM’ đi qua tâm vị tự

ngoài của hai đường tròn . Do đó : 2 2

1 1

' '

O M O N R k

O M O M  R  .

* Hai tam giác : ONM đồng dạng với O NM2 ' suy ra :

22 2 2 2 2 2 1 ' ' O N ON OM ON ON OM

O N O M OM O M    . Vậy MN đi qua tâm vị tự ngoài cố định của hai đường tròn : O R1; 1; O R2; 2.

Ví dụ 2. Cho hai đường tròn O và O’ tiếp xúc ngoài với nhau tại A .Một góc vuông

xAy quay xung quanh A , tia Ax cắt O tại M , tia Ay cắt O tại M’. Chứng minh đường

thẳng MM’ luôn đi qua một điểm cố định .

Giải

Nối MM’ cắt O’tại N ta thấy : O N' song song cùng chiều với AM . Tương tự A’ là giaocủa OO’ với với O’ ta cùng thấy : A M' ' / /AM OM/ / 'O M'. Suy ra MM’ đi qua

tâm vị tự của hai đường tròn .

Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC với trọng tâm G . Gọi A’,B’,C’ lần lượt là trung

điểm của các cạnh BC,CA,AB

a/ Phép vị tự nào biến A thành A’,B thành B’ và C thành C’ ?

b/ Chứng minh tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trực tâm tam giác

A’B’C’

c/ Gọi H là trực tâm tam giác ABC , chứng minh rằng : 1

2

GO  GH. Suy ra G,O,H nằm trên một đường thẳng ( Đường thẳng Ơ-le ) .

Giải

a/ Theo tính chất của trọng tâm tam giác :

1 1 1 2 2 2 1 1 1 ' : '; ' : '; ' : ' 2 G 2 G 2 G GA  GAV AA GA  GAV AA GB  GBV BB 1 2 1 ' : ' 2 G

GC  GCV CC . Như vậy phép vị tự tâm G tỉ số k=-1/2 biến ba điểm A,B,C thành ba điểm A’,B,C’ .

b/ Vì O là giao ba đường trung trực , cho nên OB’ ∟AC , nhưng AC//A’C’ cho nên

OB’∟A’C’ . Chứng tỏ OB’ là một đường cao của tam giác A’B’C’ . Tương tự đối với OA’ và OC’ vì vậy O là trực tâm của tam giácA’B’C’.

c/ Do tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm G tỉ số k=-1/2 cho nên H biến thành O và : 1

2

GO  GH.

BÀI TOÁN 5.