Quá trình xây dựng biên dạng ngẫu nhiên để khảo sát có thể tổng hợp được dựa trên 3 nhóm phương pháp chính: phương pháp dựa trên lọc tuyến tính, phương pháp dựa trên xếp chồng điều hòa (sấp xỉ hình sine), phương pháp chuyển đổi Fourier ngược [43]. Với các ưu điểm của phương pháp sấp xỉ hình sine như khả năng điều khiển của nhiều thông số như: phương sai, số các hình sine, tần số và việc tránh được sự sai số số học so với các phương pháp nên luận án sử dụng phương pháp này để xây dựng biên dạng ngẫu nhiên.
Theo tiêu chuẩn ISO 8608-2016 PSD tại tần số góc bất kỳ được xác định theo công thức:
( ) = ( ). (2.31)
, : Tần số và tần số tham khảo ( =0,1cycle/m)
, : Tần số góc và tần số góc tham khảo ( = 1 / )
: số mũ, thông thường lấy w=2.
( ): PSD chuyển vị tại tần số tham khảo .
( ): PSD chuyển vị tại tần số tham khảo .
Biên dạng mặt đường ngẫu nhiên được mô tả trong ISO 8608-2016 gồm có 7 cấp đường từ A→H. Trong đó A-B được đặc trưng cho đường có biên dạng mặt đường ở chất lượng tốt nhất, G-H được đặc trưng cho đường có biên dạng kém nhất.
Bảng 2.1 Giới hạn của các giá trị Gd(n0), Gd(Ω0) theo ISO 8608-2016.
Loại đường Gd(n0) (10-6 m3) Gd(Ω0) (10-6 m3) Giới hạn trên Giới hạn dưới Giới hạn trên Giới hạn dưới
A - 32 - 2 B 32 128 2 8 C 128 512 8 32 D 512 2048 32 128 E 2048 8192 128 512 F 8192 32768 512 2048 G 32768 131072 2048 8192 H 131072 - 8192 -
Biên dạng ngẫu nhiên của mặt đường được xác định thông qua quan hệ giữa hàm tương quan của chính tín hiệu và chuyển đổi Fourier.
Mối tương quan giữa PSD của một mẫu tín hiệu liên tục có tần số n trong dải tần số ∆n như công thức 2.31
( ) = ( , ∆ ) ∆ = ( . ∆ , ∆ ) ∆ (2.33) Trong đó: : là tần số bất kỳ trong một dải ∆ : khoảng tần số (∆ = 1/ )
i: giá trị thay đổi từ 0 đến N (N=nmax/∆ ).
nmax: Tần số lấy mẫu lý thuyết lớn nhất (nmax=1/Bm)
Lm, Bm: Chiều dài đoạn đường lấy mẫu và khoảng lấy mẫu
Một số nghiên cứu trên thế giới [26] đã chỉ ra biên dạng ngẫu nhiên có thể miêu tả:
ℎ = cos (2 + ) (2.34)
= √2 = 2. ∆ ( ) (2.35)
Thay (2.35) vào (2.34) ta được:
ℎ = 2. ∆ . ( . ∆ )cos (2 + ) (2.36)
Trong đó : góc pha ngẫu nhiên tuân theo hàm phân bố chuẩn [0,2π]. Thay (2.31) và (2.32) vào (2.36) ta được miêu tả biên dạng mặt đường ngẫu nhiên:
ℎ = √2. ∆ . 2 . 10 .
∆ cos (2 . . ∆ . + ) (2.37) Với x: chiều dài quãng đường nằm trong khảng (0, L);
k: giá trị hằng số đặc trưng cho các biên dạng mặt đường theo ISO 8608- 2016, k sẽ có giá trị từ 3 đến 9 tương ứng với các cấp đường từ A đến H.