vói moi x1, x2∈ X. Vói mői ω ∈ D, theo Định lý 1.3.12, ton tại duy nhat phan tử u(ω) ∈ X sao cho f (ω, u(ω)) = η(ω). Do đó, phương trình f (ω, x) = η(ω) có nghi m duy nhat vói hau het ω. Theo H quả 2.1.5, phương trình f (ω,
x) = η(ω) có nghi m ngȁu nhiên duy nhat, ký hi u là ξ.
Vói mői bien ngȁu nhiên α thỏa mãn 0 < α < 2m/L2 h.c.c., ta xây dụng toán tử ngȁu nhiên fα bỏi fα(ω, x) = x − α[ f (ω, x) − η(ω)]. Ta có fα(ω, x1) −
fα(ω, x2) = x1 − x2− α[ f (ω, x1) − f (ω, x2)] và || fα(ω, x1) − fα(ω, x2)||2 = ||x1− x2||2 − 2α f (ω, x1) − f (ω, x2), x1− x2 + α2|| f (ω, x1) − f (ω, x2)||2 “ [1 − 2α.m(ω) + α2.L2(ω)].||x1− x2||2 = k2(ω)||x1− x2||2 trong đó k2(ω) = 1 − 2α.m(ω) + α2.L2(ω). Do 0 < α < 2m/L2 h.c.c. nên
k2(ω) < 1 h.c.c. Do đó, ton tại t p E có xác suat 1 sao cho vói mői ω ∈ E ta có
fα là ánh xạ co. Theo nguyên lý ánh xạ co Bannach, fα có duy nhat điem bat đ ng ký hi u là u(ω) và dãy xn(ω) xác định bỏi
xn+1(ω) = fα(ω, xn(ω)) = xn(ω) − α(ω).[ f (ω, xn(ω)) − η(ω)]
h i tụ ve u(ω) vói moi xap xỉ ban đau x0(ω) ∈ X. Từ fα(ω, u(ω)) = u(ω) ta có
f (ω, u(ω)) = η(ω) hay u(ω) là nghi m của phương trình f (ω, x) = η(ω) vói hau het ω. Do đó, ξ(ω) = u(ω) h.c.c. Từ đó suy ra (xn) h i tụ h.c.c. đen
nghi m ngȁu nhiên ξ của phương trình f (ω, x) = η(ω).
□
Định lý 2.1.7. Cho X là không gian Hilbert khá ly, h : Ω × X → X là toán tr ng uȁ nhiên Lipschitz, nghĩa là ton t iạ ánh xạ L : Ω → (0; ∞) sao cho v iớ
moi x1, x2 ∈ X, ω ∈ Ω ta có
ǁh(ω, x1) − h(ω, x2)ǁ “ L(ω)ǁx1 − x2ǁ.
Giá sr k(ω) là bien ng u nhiên nh n giá tr dȁ ị ương sao cho L(ω) < k(ω) h.c.c. Khi đó, v i moi bien ng u nhiên ớ ȁ η nh n giá tr trong ị X phương trình ng uȁ
nhiên
h(ω, x) + k(ω)x = η(ω) (2.5)
có nghi m ng uȁ nhiên duy nhat.
Chŕng minh. Phương trình ngȁu nhiên (2.5) đưoc viet lại dưói dạng f (ω, x) = η(ω) trong đó f là toán tử ngȁu nhiên xác định bỏi f (ω, x) = h(ω, x) +
k(ω)x. Vì h là toán tử ngȁu nhiên liên tục nên cũng f là các toán tử ngȁu nhiên liên tục. Do tính chat Lipschitz của h, nên vói moi x1, x2 ∈ X, ω ∈ Ω ta có
f (ω, x1) − f (ω, x2), x1 − x2
= h(ω, x1) − h(ω, x2), x1− x2 + k(ω).||x1− x2||2 ≥ k(ω).||x1− x2||2 − ||h(ω, x1) − h(ω, x2)||.||x1− x2|| ≥ [k(ω) − L(ω)].||x1− x2||2 = m(ω).||x1− x2||2
trong đó m(ω) = k(ω) − L(ω) > 0. Từ Định lý 2.1.6 suy ra phương trình
f (ω, x) = η(ω) có nghi m ngȁu nhiên duy nhat. □
Định lý 2.1.8. Cho X là không gian Banach khá ly. Giá sr rang A : Ω → L(X)
là m t ánh x sao cho v i mői ạ ớ x ∈ X, ánh x ạ ω ›→ A(ω)x là m t bien ng uȁ
nhiên X-giá trị và λ(ω) là m t bien ng uȁ nhiên nh n giá trị th cự sao cho
ǁA(ω)ǁ < λ(ω) h.c.c.
. .
Khi đó, v iớ moi bien ng uȁ nhiên η nh n giá trị trong X, phương trình ng uȁ nhiên
A(ω)x − λ(ω)x = η(ω) (2.6)
có nghi m ng uȁ nhiên duy nhat.
Chŕng minh. Ta viet lại phương trình (2.6) dưói dạng f (ω, x) = g(ω, x) trong đó f , g là các toán tử ngȁu nhiên xác định như sau:
f (ω, x) = A(ω)x − λ(ω)x, g(ω, x) = η(ω).
Khi đó, f , g là các toán tử ngȁu nhiên liên tục. Theo giả thiet, ton tại t p D có xác suat 1 sao cho ǁA(ω)ǁ < λ(ω) vói mői ω ∈ D. Do đó, vói mői ω ∈ D, ton tại duy nhat phan tử u(ω) ∈ X sao cho A(ω)u(ω) − λ(ω)u(ω) = η(ω). Hay nói cách khác, phương trình f (ω, x) = g(ω, x) có nghi m duy nhat vói hau het ω. Theo H quả 2.1.5, phương trình A(ω)x − λ(ω)x = η(ω) có nghi m
ngȁu nhiên duy nhat.
□
Ví dụ 2.1.9. Cho K : Ω × [0; 1] × [0; 1] → R và η : Ω × [0; 1] → R là các hàm ngȁu nhiên liên tục; λ(ω) là bien ngȁu nhiên nh n giá trị dương. Đ t
M(ω) =
(t,s) max
[0;1] |K(ω, t, s)|.
Xét phương trình tích phân ngȁu nhiên ∫ 1 K(
0
t s)x(s)ds ( )x(t) ( t) (2.7)
Chúng ta sẽ chỉ ra rang neu M(ω) < λ(ω) h.c.c. thì phương trình (2.7)
có nghi m duy nhat ξ(ω) = ξ(ω, t) là hàm ngȁu nhiên liên tục trong [0; 1]. Th t v y, đ t X = C[0; 1], xét ánh xạ A : Ω → L(X) xác định như sau: Vói mői x = x(t) ∈
X, 1
A(ω)x(t) =
0
K(ω, t, s)x(s)ds.
Theo [6, Định lý 4.6], vói mői ω co định, ánh xạ x ›→ A(ω, x) là toán tử liên tục trên X; vói mői x = x(t) ∈ X, ánh xạ
1 ∈[0;1] × ∫ ∫ , – λ ω = η ω, ω , .
ω ›→ A(ω)x(t) =
0
K(ω, t, s)x(s)ds
là bien ngȁu nhiên X-giá trị. Ta có
1 ||A(ω)x(t)|| = max | K(ω, t, s)x(s)ds| t [0;1] 0 ∫ 1 vói moi x ∈ X. Từ đó suy ra ǁA(ω, .)ǁ “ M(ω) < λ(ω) h.c.c. Phương trình (2.7)
có the đưoc viet lại dưói dạng A(ω, x) − λ(ω)x = η(ω), trong đó η(ω) = η(ω,
t)
là bien ngȁu nhiên X-giá trị. Do đó, từ Định lý 2.1.8, phương trình (2.7) có nghi m duy nhat ξ(ω) = ξ(ω, t) là bien ngȁu nhiên X-giá trị.
Đe ket thúc phan này, chúng ta xem xét van đe thay the toán tử ngȁu nhiên trong m t phương trình ngȁu nhiên bỏi bản sao của nó. Cho f : Ω × X → Y
là toán tử ngȁu nhiên. Theo quan điem xác suat, neu hai bien ngȁu nhiên bang nhau h.c.c. thì ta có the coi chúng trùng nhau. Vì cả toán tử ngȁu nhiên và bản sao của nó xác định cùng m t ánh xạ từ X vào LY(Ω) nên nhieu khi chúng ta có the đong nhat toán tử ngȁu nhiên vói bản sao của nó mà không làm thay đoi ý nghĩa của van đe đang nghiên cứu. Khi nghiên cứu ve phương trình ngȁu nhiên, chúng ta cũng mong muon rang khi thay the toán tử ngȁu nhiên bỏi bản sao của nó thì không làm thay đoi t p nghi m của phương trình. Tuy nhiên, ví dụ sau đây cho thay thục te đieu đó không phải luôn luôn đúng.
Ví dụ 2.1.10. Cho (Ω, A, P) = ([0; 1], B, µ) và X = Y = [0; 1], trong đó B
là
σ-đại so Borel của [0; 1], µ là đ đo Lebesgue trên [0; 1]. Cho f1, f2 là hai toán tử ngȁu nhiên xác định bỏi
f (ω, x) = x.ω neu x ≠ ω 1 neu x = ω và f2 ∫ ∈ | | || || 0 1 “ 0 M(ω). max x(s) ds = M(ω). x s∈[0;1]
(ω, x) = x.ω ∀ω ∈ Ω ∀x ∈ X.
Khi đó, f2 là m t bản sao của f1. Bien ngȁu nhiên ξ(ω) = ω là nghi m ngȁu nhiên của phương trình f1(ω, x) = 1. Tuy nhiên, ξ không là nghi m của phương trình f2(ω, x) = 1. Ta cũng thay ξ là nghi m của phương trình f2(ω, x)
= ω2, trong khi đó phương trình f1(ω, x) = ω2 vô nghi m.
Ta chú ý rang, trong các phương trình trên, cả f1 và f2 đeu là các toán tử ngȁu nhiên đo đưoc. Do đó, đieu ki n đo đưoc của toán tử ngȁu nhiên chỉ đảm
bảo rang neu phương trình ngȁu nhiên có nghi m tat định thì phương trình đó sẽ có nghi m ngȁu nhiên nhưng nó không đảm bảo đưoc sụ tương đương giữa các phương trình ngȁu nhiên khi thay the toán tử ngȁu nhiên bỏi bản sao của toán tử ay.
M t câu hỏi đưoc đ t ra là “Khi nào chúng ta có the thay the m t toán tử ngȁu nhiên trong m t phương trình bỏi bản sao của nó mà không làm thay đoi t p nghi m của phương trình ?” Định lý dưói đây trả lòi m t phan của câu hỏi đó.
Định lý 2.1.11. Cho X là không gian metric khá ly, Y là không gian metric,
f1, f2 là các toán tr ng u nhiên liên tnc tr ȁ X vào Y và chúng là bán sao c aủ
nhau. Khi đó, hai phương trình ng uȁ nhiên f1(ω, x) = η(ω) và f2(ω, x) = η(ω) là tương đương.
Chŕng minh. Ta chỉ can chỉ ra rang neu ξ là m t nghi m của phương trình
f1(ω, x) = η(ω) thì nó cũng là nghi m của phương trình f2(ω, x) = η(ω). Do tính khả ly của X, ton tại dãy (xn) trù m t trong X. Vói mői xn, ton tại
t p Ωn có xác suat 1 sao cho f1(ω, xn) = f2(ω, xn) ∀ω ∈ Ωn. Đ t
ΩJ 1 Rõ ràng, ΩJ 1 có xác suat 1 và ta có = ∩∞n=1Ωn. f1(ω, xn) = f2(ω, xn) ∀ω ∈ ΩJ 1 ∀n. (2.8) Goi ΩJ 2 là t p các ω thỏa mãn f1(ω, ξ(ω)) = η(ω). Khi đó, t p Ω0 = ΩJ 1 ∩ ΩJ 2 cũng có xác suat 1.
Vói mői ω co định thu c Ω0, ta có f1(ω, ξ(ω)) = η(ω). Do tính trù m t của (xn) trong X, nên ton tại m t dãy con (xnk ) h i tụ ve ξ(ω). Theo tính liên tục của f1 và f2, nên
lim
k→∞ fi(ω, xnk ) = fi (ω, ξ(ω)) (i = 1, 2). (2.9) Từ (2.8) và (2.9) ta suy ra f1(ω, ξ(ω)) = f2(ω, ξ(ω)) ∀ω ∈ Ω0. Do đó, f2(ω, ξ(ω))
=
Trong phan này chúng ta tìm cách mỏ r ng phương trình (2.1) cho trưòng hop các toán tử ngȁu nhiên đa trị. Cho (Ω, A, P) là không gian xác suat và X,
là các không gian metric. Phương trình toán tử ngȁu nhiên đơn trị f (ω, x) =
g(ω, x) có the đưoc viet lại dưói dạng t p hop là { f (ω, x)} ∩ {g(ω, x)} ≠ ∅.
Từ đó, ta dȁn đen định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.1.12. Phương trình toán tr ng u nhiên đa tr ȁ ịlà phương trình có dạng
S (ω, x) ∩ T (ω, x) ≠ ∅ (2.10)
trong đó S , T : Ω × X → 2Y là các toán tử ngȁu nhiên đa trị (đã biet) từ X vào
Y.
Vói dãy các toán tử ngȁu nhiên đa trị Tn : Ω × X → 2Y, phương trình toán tử ngȁu nhiên đa trị là phương trình có dạng
∩∞n=1 Tn(ω, x) ≠ ∅. (2.11)
Đe đơn giản, ta cũng goi phương trình toán tử ngȁu nhiên đa trị là phương trình ng uȁ nhiên.
Định nghĩa 2.1.13. (a). Ta nói rang phương trình ngȁu nhiên (2.10) có nghi m tat đ nhị v iớ hau het ω neu ton tại t p D có xác suat 1 sao cho vói mői
ω ∈ D ton tại phan tử u(ω) ∈ X sao cho
S (ω, u(ω)) ∩ T (ω, u(ω)) ≠ ∅.
Khi đó, ta goi u(ω) là nghi m tat đ nhị của phương trình (2.10).
(b). Ta nói rang phương trình ngȁu nhiên (2.10) có nghi m ng u nhiên ȁ neu ton tại bien ngȁu nhiên ξ : Ω → X sao cho
S (ω, ξ(ω)) ∩ T (ω, ξ(ω)) ≠ ∅ h.c.c.
Khi đó, ta goi ξ là nghi m ng uȁ nhiên của phương trình (2.10).
M t cách tương tụ, ta cũng định nghĩa nghi m ngȁu nhiên và nghi m tat định vói hau het ω cho phương trình ngȁu nhiên (2.11).
Như chúng ta đã biet, trong Định lý 2.1.4, đieu ki n đo đưoc của các toán tử ngȁu nhiên đảm bảo cho sụ tương đương giữa ton tại nghi m ngȁu nhiên vói
ton tại nghi m tat định vói hau het ω. Trong trưòng hop phương trình toán tử ngȁu nhiên đa trị, Định lý 2.1.14 sau đây chỉ ra rang đieu ki n đo đưoc của các toán tử ngȁu nhiên vȁn còn nguyên ý nghĩa.
Định lý 2.1.14. Cho X, Y là các không gian Polish và S , T : Ω × X → C(Y)
là các toán tr ng uȁ nhiên đa trị đo được. Khi đó, phương trình ng uȁ
nhiên S (ω, x) ∩ T (ω, x) ≠ ∅ có nghi m ng u nhiên khi và ch khi nó có nghiȁ ỉ
m tat đ nhị v iớ hau het ω.
H n nra, cho ơ Tn : Ω × X → C(Y) là các toán tr ng u nhiên đa tr đo đȁ ị ược
(n = 1, 2, ...). Khi đó, ph ngươ trình ng uȁ nhiên ∩∞n=1Tn(ω, x) ≠ ∅ có nghi m ng uȁ nhiên khi và chỉ khi nó có nghi m tat đ nhị v iớ hau het ω.
Chŕng minh. Neu phương trình (2.10) có nghi m ngȁu nhiên là ξ thì ξ(ω) là nghi m tat định của (2.10) vói hau het ω.
Ngưoc lại, giả sử (2.10) có nghi m tat định vói hau het ω. Không giảm tong quát ta có the coi phương trình (2.10) có nghi m u(ω) vói moi ω. Xét ánh xạ F : Ω → 2X×Y đưoc xác định bỏi
F(ω) = {(x, y)|x ∈ X, y ∈ S (ω, x) ∩ T (ω, x)}.
Do phương trình (2.10) có nghi m u(ω) vói moi ω nên F(ω) khác rőng vói moi
ω. Ta sẽ chỉ ra rang F có đo thị đo đưoc.
Gr(S ) = {(ω, x, y)| ω ∈ Ω, x ∈ X, y ∈ S (ω, x)}
Gr(T ) = {(ω, x, y)| ω ∈ Ω, x ∈ X, y ∈ T (ω, x)}
Gr(F) = {(ω, x, y)| ω ∈ Ω, x ∈ X, y ∈ S (ω, x) ∩ T (ω, x)}.
Do đó, Gr(F) = Gr(S ) ∩ Gr(T ).
Từ Định lý 1.2.1 suy ra S và T có đo thị đo đưoc, tức là
Gr(S ), Gr(T ) ∈ (A ⊗ B(X)) ⊗ B(Y).
Theo Định lý 1.2.2, ton tại hàm đo đưoc ξ : Ω → X × Y sao cho ξ(ω) ∈ F(ω) h.c.c. Đ t ξ(ω) = (ξ1(ω), ξ2(ω)). Ta có
ξ2(ω) ∈ S (ω, ξ1(ω)) ∩ T (ω, ξ1(ω)) h.c.c.
Do ξ đo đưoc nên ξ1 : Ω → X cũng đo đưoc. Từ đó suy ra ξ1 chính là nghi m ngȁu nhiên của phương trình S (ω, x) ∩ T (ω, x) ≠ ∅.
Sử dụng các l p lu n tương tụ như trên chúng ta nh n đưoc ket quả vói
phương trình ∞
n=1 Tn(ω, x) ≠ ∅.
□
Định lý 2.1.14 chỉ ra rang tính đo đưoc của các toán tử ngȁu nhiên S , T
cùng vói sụ ton tại nghi m tat định vói hau het ω kéo theo sụ ton tại nghi m ngȁu nhiên của phương trình (2.10). Tuy nhiên, ví dụ 2.1.15 sau đây chỉ ra rang đieu ngưoc lại không đúng, nghĩa là đieu ki n đo đưoc của S và T chỉ là đieu ki n đủ cho sụ ton tại nghi m ngȁu nhiên của phương trình (2.10).
Ví dụ 2.1.15. Cho Ω = {0, 1}, A = {∅, Ω}, X = [0; 1], Y = [2; 3] và T : Ω×X
→
C(Y) là ánh xạ xác định bỏi T (0, x) = T (1, x) = Y vói moi x ∈ X. Lay D là m t t p con của X và không là t p Borel. Ta xác định toán tử S : Ω × X →
C(Y) bỏi
S (0, x) = S (1, x) =
Yneu x ∈ D
De dàng kiem tra đưoc rang vói mői x ∈ X co định, các ánh xạ đa trị ω ›→ S (ω, x) và ω ›→ T (ω, x) là A-đo đưoc. Do đó, S và T là các toán tử ngȁu nhiên đa trị. Lay t p mỏ B = (2; 3). Do
S −1(B) = {(ω, x)|S (ω, x) ∩ B ≠ ∅} = Ω × D g A ⊗ B(X)
nên S là toán tử ngȁu nhiên không đo đưoc. Tuy nhiên, bien ngȁu nhiên X-giá trị ξ xác định bỏi ξ(ω) = c vói moi ω, trong đó c là m t phan tử bat kỳ của
X, là m t nghi m ngȁu nhiên của phương trình S (ω, x) ∩ T (ω, x) ≠ ∅.
H qua 2.1.16. Cho X và Y là các không gian Polish, Tn : Ω × X → C(Y) là các toán tr ng uȁ nhiên đa trị liên tnc (n = 1, 2, ...). Khi đó, phương trình
ng uȁ
T
nhiên ∞
n=1 Tn(ω, x) ≠ ∅ có nghi m ng uȁ nhiên khi và chỉ khi nó có nghi m tat đ nhị v iớ hau het ω.
Chŕng minh. Theo Định lý 2.1.14, ta chỉ can chỉ ra rang neu T : Ω× X → C(Y) là toán tử ngȁu nhiên đa trị liên tục thì T là toán tử ngȁu nhiên đa trị đo đưoc. Theo Định lý 1.2.1, đe chứng minh tính đo đưoc của T , ta chứng minh tính đo đưoc của ánh xạ (ω, x) ›→ d(y, T (ω, x)) vói mői y ∈ Y. Xét ϕy : Ω × X →
R là ánh xạ xác định bỏi ϕy(ω, x) = d(y, T (ω, x)). Từ tính liên tục của ánh xạ x ›→ T (ω, x) suy ra ánh xạ ϕy(ω, x) liên tục theo bien x. Ta sẽ chứng minh tính đo đưoc của ϕy(ω, x) theo ω. Th t v y, vói mői x co định, ω ›→ T
(ω, x) là ánh xạ đo đưoc nên theo Định lý 1.2.1 ánh xạ ω ›→ d(y, T (ω, x)) cũng đo đưoc. Do đó, ϕy là ánh xạ liên tục theo bien x, đo đưoc theo bien ω
hay nói cách khác ϕy là toán tử ngȁu nhiên liên tục. Từ Định lý 1.2.13 suy ra ϕy
là toán tử ngȁu nhiên đo đưoc. Từ đó suy ra ánh xạ (ω, x) ›→ d(y, T (ω, x)) đo đưoc vói mői y ∈ Y. □
2.2 Điem bat đ ng cua toán t ngȁu nhiên đơn trị
Khái ni m điem bat đ ng ngȁu nhiên là sụ mỏ r ng, ngȁu nhiên hóa khái ni m điem bat đ ng của toán tử tat định cho toán tử ngȁu nhiên. Trong những năm gan đây, bài toán điem bat đ ng ngȁu nhiên đã nh n đưoc sụ quan tâm của nhieu tác giả. Phiên bản ngȁu nhiên của nhieu định lý điem bat đ ng noi tieng cho toán tử tat định đã đưoc chứng minh. M t so tác giả như H. K. Xu, K. K. Tan, X. Z. Yuan, N. Shahzad đã đưa ra các định lý điem bat đ ng ngȁu nhiên tong quát, khȁng định rang vói m t so đieu ki n nào đó neu hau het các quỹ đạo của toán tử ngȁu nhiên có điem bat đ ng tat định thì toán tử
ngȁu nhiên có điem bat đ ng ngȁu nhiên (chȁng hạn, xem [13]). Theo đó,
cùng vói m t so m t so giả thiet, chúng ta có the ngȁu nhiên hóa các định lý điem bat đ ng cho ánh xạ tat định. Tuy nhiên, các đieu ki n đe có the ngȁu nhiên hóa đưoc các định lý điem bat đ ng của ánh xạ tat định mà các tác giả
trưóc đưa ra thưòng khá phức tạp, nhieu khi khó chỉ ra ví dụ ve toán tử ngȁu nhiên thỏa mãn các đieu ki n đó.
Trong mục tiep theo, chúng tôi trình bày các ket quả ve bài toán điem bat đ ng của toán tử ngȁu nhiên. Các ket quả ve bài toán điem bat đ ng của toán tử ngȁu nhiên như các trưòng hop đ c bi t của phương trình toán tử ngȁu nhiên mà đã đưoc trình bày trong mục trên. Vói đieu ki n toán tr ng uȁ
nhiên đo được xác đ nhị trên không gian Polish, neu các quỹ đạo của toán tử ngȁu nhiên có điem bat đ ng thì toán tử ngȁu nhiên có điem bat đ ng ngȁu nhiên. Từ đó, chúng ta nh n đưoc các ket quả của các tác giả trưóc như những trưòng hop đ c bi t. Ngoài ra, khái ni m toán tr hoàn toàn ng uȁ
nhiên cũng đưoc trình bày. Vói khái ni m đó, chúng tôi trình bày toán tử ngȁu nhiên m t cách toàn cục (không theo từng quỹ đạo).
Trong phan này, chúng tôi sẽ trình bày định lý điem bat đ ng ngȁu nhiên tong quát cho toán tử ngȁu nhiên đơn trị. Như những minh hoa cho định lý đó, phiên bản ngȁu nhiên của m t so định lý điem bat đ ng cho toán tử tat định cũng đưoc đưa ra.
Trong những năm gan đây, bài toán điem xap xỉ tot nhat của ánh xạ tat định là m t trong các hưóng nghiên cứu thu hút đưoc sụ quan tâm của nhieu tác giả, nhieu ket quả ve sụ ton tại cũng như thu t toán tìm điem xap xỉ tot nhat đưoc đưa ra. Trong phan này, chúng tôi đưa ra khái ni m điem xap x ng uỉ ȁ
nhiên tot nhat, là phiên bản ngȁu nhiên của khái ni m điem xap xỉ tot nhat. Dụa vào các ket quả ve phương trình toán tử ngȁu nhiên, chúng tôi trình bày m t so đieu ki n đủ đe m t toán tử ngȁu nhiên có điem xap xỉ ngȁu