2 CÁC ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ LUỒNG VÀ MỐ
2.4 Hàng xóm và bậc
Định nghĩa 2.4.1. [2] Trong đồ thị luồng S = (T; V; W; E), hàng xóm
N(u)của đỉnh u là tập thời gian và đỉnh liên kết với u.
N(u) = f([b; e]; v) W; 9([b; e]; uv) Eg :
Số bậc của một đỉnh phụ thuộc vào số liên kết mà đỉnh đó tham gia. Với sự góp mặt về thời gian, chúng ta nhận thấy có sự thay đổi về số đỉnh, số cạnh trong đồ thị luồng nên số bậc cũng thay đổi. Theo định nghĩa về số đỉnh của đồ thị luồng S, các đỉnh v kết nối với đỉnh u mất một lượng thời gian, từ đó bậc của đỉnh u là sự đóng góp về mặt thời gian của mỗi liên kết với mỗi đỉnh v trong S.
Định nghĩa 2.4.2. Bậc d(u)(dS(u)) của đỉnh u trong đồ thị luồng S là số thờigian và đỉnh liên kết với u
d (u) = jN(u)j = X jTuvj = muv: X
jT j
v2V jTj v2V
Ví dụ 2.4.1. Trên đồ thị luồng Hình 2.1, hàng xóm của đỉnh b là:
N(b) = f([2; 6] ; a) ; ([3; 7] ; c) ; ([6; 8] ; d)g :
Vậy bậc của đỉnh b là:
d (b) = jTbaj + jTbcj + jTbdj = 4+4+2 = 1:
Cũng như trong đồ thị, đồ thị luồng đơn vô hướng S = (T; V; W; E)
có tổng số bậc của tất cả các đỉnh bằng hai lần số liên kết:
X u2V d (u) = X u2V X v2V jTuvj = 2:m: jT j
Khác với đồ thị G = (V; E), mỗi đỉnh của đồ thị luồng gắn với thời gian xuất hiện nên trong việc tính trung bình bậc ta cần tính thêm sự đóng góp về mặt thời gian của mỗi đỉnh đó trong S.
Định nghĩa 2.4.3. Trung bình bậc của đồ thị luồng S là: d (S) = n1 P
nu:d (u): u2V
Nhận xét 2.4.1. Trong luồng liên kết L = (T; V; E), các đỉnh xuất hiện trên toàn thời gian nên nv = 1 với mọi v, khi đó trung bình bậc của luồng liên kết là: d(L) = n1:P
d (u) = 2:mn: Khi các cạnh liên kết trên toàn thời gian hoặc
u2V
không xuất hiện thì trung bình bậc của luồng liên kết sẽ bằng trung bình bậc của đồ thị G. Vậy giá trị bậc của đỉnh và tính chất tổng bậc đỉnh bằng hai lần số cạnh vẫn được bảo toàn trong lý thuyết đồ thị.