Tiếp theo chúng tôi sẽ giới thiệu về một loại liên thông khác đó là k - cạnh liên thông, đồ thị k - cạnh liên thông là đồ thị mà sau khi xóa đi k 1 cạnh thì vẫn còn liên thông.
Định nghĩa 1.3.4. [5] Tập ngắt kết nối cạnh là tập F E(G) sao cho G F có nhiều hơn một thành phần liên thông.
Một đồ thị là k - cạnh liên thông nếu mọi tập ngắt kết nối cạnh của có có ít nhất k cạnh. Tức là xóa đi k 1 cạnh thì đồ thị vẫn còn liên thông.
Kết nối cạnh của G, viết là 0(G) là kích cỡ nhỏ nhất của các tập ngắt kết nối cạnh của G.
Cho S; T V (G), ta viết [S; T ] là tập các cạnh có một đỉnh thuộc S và đỉnh còn lại thuộc T . Tập cạnh cắt là tập cạnh có dạng [S; S] với S là tập con thực sự khác rỗng của V (G) và S = V (G) S.
Chú ý 1. Mọi tập cạnh cắt là tập ngắt kết nối cạnh, do G [S; S] không chứa đường đi từ S đến S. Điều ngược lại chưa chắc đúng do tập ngắt kết nối cạnh có thể có nhiều cạnh (hình 1.11).
Tuy nhiên, mọi tập ngắt kết nối cạnh cực tiểu đều là một tập cạnh cắt (khi đồ thị có nhiều hơn một đỉnh). Thật vậy, giả sử F là một tập ngắt kết nối cạnh của đồ thị G, khi đó với mỗi H là một thành phần liên thông của G F ta đã xóa đi tất cả các cạnh có đúng một đỉnh thuộc H. Do vậy F chứa tập cạnh cắt [V (H); V (H)], do tính cực tiểu của F nên F = [V (H); V (H)].
Định lý 1.3.3. [5] Nếu G là đơn đồ thị thì:
(G) 0(G) (G):
Chứng minh. Ta có tập tất cả các cạnh kề với đỉnh có bậc nhỏ nhất là một tập cạnh cắt nên 0(G) (G). Do đó ta chỉ cần chỉ ra (G) 0(G).
Hình 1.11: Ví dụ tập ngắt kết nối cạnh không phải tập cạnh cắt.
Xét [S; S] là tập cạnh cắt nhỏ nhất. Nếu mọi đỉnh trong S đều kề với mọi đỉnh trong S thì [S; S] = jSj : S n(G) 1 mà (G) n(G) 1 (Ví dụ
(G) (G) (G)
1.3.1) nên [S; S
] hay 0 .
Ngược lại, ta chọn x 2 S; y 2 S mà xy không phải là một cạnh của đồ thị G. Đặt T là tập đỉnh bao gồm tất cả các hàng xóm của x trong S và tất cả các đỉnh thuộc S x mà có hàng xóm nằm trong S. Ta thấy mọi đường nối x và y (nếu có) đều phải đi qua T nên T là tập phân tách của
G, do đó jT j (G). Nhặt những cạnh từ x đến T \ S và một cạnh từ mỗi đỉnh của T \S đến S ta thu được jT j cạnh phân biệt của [S; S] (các cạnh in đậm trong hình 1.12). Do đó:
0(G) [S; S] jT j (G):
Ví dụ 1.3.2. Ta có một số ví dụ về các trường hợp xảy ra hoặc không xảy ra dấu bằng trong bất đẳng thức của định lý 1.3.3 trong hình 1.13.
Hình 1.12: Hình minh họa S; S và T .