III- MỘT SỐ VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH VỀ CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ :
A đến B mất giờ, và như vậy lâu hơn 1giờ Ta có phương trình:
+ 1 =
Hay : 120 (x – 10) + x (x – 10) = 120x x2 – 10x – 1200 = 0 ’=25+1200=1225=352 ;
Phương trình có hai nghiệm là : x1 = 40 ; x2 = - 30 Vì x > 10 nên ta loại nghiệm âm.
Thử lại : = 3(giờ) ; (giờ)
3 + 1 = 4 (giờ)
Vận tốc của xe thứ nhất là 40 (km/h). Vận tốc của xe thứ hai là 30(km/h).
Bài tập đề nghị :
1- Hai bến tàu thủy A và B cách nhau 48 km. Một tàu thủy đi từ A đến B rồi trở lại A ngay mất 5 giờ tất cả. Biết vận tốc của dòng nước là 4 (km/h). Tính vận tốc của tàu thủy khi nước đứng im.
2- Một xe ôtô phải đi quãng đường dài 150km với vận tốc đã định. Người ta tính rằng : Nếu ôtô tăng vận tốc thêm 10km mỗi giờ thì thời gian chạy hết quãng đường sẽ giảm được 45 phút. Tính vận tốc đã định.
Loại 2 : Bài toán về năng suất lao động
Chú ý : Năng suất lao động là kết quả làm được, như vậy năng suất lao động trội = mức quy định + tăng năng suất.
Ví dụ : Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất được 400 chi tiết máy. Trong tháng sau, tổ I vượt mức 10%, tổ II vượt mức 15% nên cả hai tổ sản xuất được 448 chi tiết máy. Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
Phân tích : Cần phải xác định năng suất của mỗi tổ trong tháng đầu, nên ta có thể đặt hai ẩn, mỗi ẩn tương ứng là năng suất của mỗi tổ. Nhưng vì biết năng suất chung của hai tổ là 400 chi tiết máy, do đó có thể chỉ cần một ẩn số. Giả sử gọi năng suất của tổ I (trong tháng đầu) là x thì năng suất của tổ II là . Tiếp theo có thể dựa vào năng suất của mỗi tổ trong tháng sau để lập phương trình, hoặc có thể dựa vào phần tăng năng suất của mỗi tổ để đi đến một phương trình khác.
Giải :
Cách 1 : Gọi x là số chi tiết máy tổ I sản xuất trong tháng đầu, x nguyên dương, như vậy tổ 2 sản xuất (400 – x) chi tiết máy.
Trong tháng sau, tổ I làm được so với tháng đầu là : 100% + 10% = 110%
Tổ II làm được so với tháng đầu là : 100% + 15% = 115%
Tháng sau số chi tiết máy mà cả hai tổ làm được là:
Giải phương trình trên :
110x + 115 (400 – x) = 44.800
- 5x = - 1.200 x = 240
Thử lại: ; ; 264 +184 =448.
Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất được 240 chi tiết máy, tổ II sản xuất được 400 – 240 = 160 chi tiết máy.
Cách 2: Phần đặt ẩn số như cách 1.
Trong tháng sau, cả hai tổ đã tăng năng suất là :
448 - 400 = 48 (chi tiết máy) Như vậy ta có phương trình :
Giải phương trình trên :
10x + 15 (400 – x) = 4.800 - 5x = - 1200
x = 240
Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất được 240 chi tiết máy, tổ 2 sản xuất được 400 – 240 = 160 chi tiết máy.
Bài tập đề nghị :
1- Theo kế hoạch, trong quý I, phân xưởng A phải sản xuất nhiều hơn phân xưởng B 200 bình bơm thuốc trừ sâu. Khi thực hiện, do phân xưởng A tăng năng suất 20%, còn phân xưởng B tăng năng suất 15% nên phân xưởng A sản xuất được nhiều hơn phân xưởng B là 350 bình bơm. Hỏi theo kế hoạch mỗi phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu bình bơm?
2- Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công thợ. Hãy tính số công nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày công.
Loại 3 : Bài toán có liên quan đến số học và hình học
Chú ý về cấu tạo thập phân của một số : mỗi đơn vị của hàng này lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) mỗi đơn vị của hàng liền sau nó (hoặc liền trước nó) 10lần. Chẳng hạn, số có ba chữ số bằng :
Ví dụ 1 : Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số đó bằng 7 và nếu ta viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số lớn hơn số đã cho là 27 đơn vị.
Giải :
Gọi số đã cho là , trong đó x, y là số tự nhiên và 1 < x < 9, 0 < y < 9 và .
Theo giả thiết thì x + y = 7. Số được viết theo thứ tự ngược lại là .
Theo đầu bài ta có hệ phương trình :
Rút gọn hệ này ta được:
Cộng theo từng vế ta có 2y = 10 hay y = 5. Suy ra x = 7 - 5 = 2. Giá trị này thõa mãn điều kiện đã nêu.
Thử lại : 52 - 25 = 27 Vậy số phải tìm là 25.
Ví dụ 2: Một tam giác có cạnh huyền bằng 25cm và tổng hai cạnh góc vuông bằng 35cm. Tính độ dài mỗi cạnh góc vuông.
Giải :
Gọi x (cm) là độ dài một cạnh góc vuông, x > 0. Cạnh góc vuông kia dài 35 - x (cm). Theo định lý Pitago ta có phương trình :
x2 + (35 - x)2 = 252
hay x2 + 1225 - 70x + x2 = 625 x2 - 35x - 300 = 0 =1225-1200=25 ; .
Phương trình có hai nghiệm: x1 = 20 và x2 = 15. Hai giá trị này thỏa mãn điều kiện đã nêu. Thử lại : 20 + 15 = 35 và 202 + 152 = 400 + 225 = 625 = 252.
Vậy độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 20cm và 15cm.
Bài tập đề nghị :
1- Nhà trường dự định làm một sân tập thể dục hình chữ nhật diện tích 350m2. Tính kích thước của sân biết rằng nếu giảm chiều dài 10m và tăng chiều rộng lên 4m thì diện tích vẫn không đổi.
2- Trong một tam giác vuông, đường cao thuộc cạnh huyền dài 12cm và chia cạnh huyền thành hai đoạn hơn kém nhau 7cm. Tính độ dài cạnh huyền.
Loại 4 : Bài toán có nội dung vật lý, hóa học :
Để lập được phương trình, ta phải dựa vào các công thức, định luật của vật lý, hóa học liên quan đến những đại lượng có trong đề toán.
Ví dụ 1 : Dùng hai lượng nhiệt, mỗi lượng bằng 168kJ để đun nóng hai khối nước hơn kém nhau 1kg thì khối nước nhỏ nóng hơn khối nước lớn 20C. Tính xem khối nước nhỏ được đun nóng thêm mấy độ?.
Phân tích : Công thức tính nhiệt lượng là : Q = cm (t2 - t1)
trong đó nhiệt độ được tăng thêm là t2 - t1, suy ra khối lượng của nước là
, biết rằng nhiệt dung riêng của nước là: c =4,2 kJ/kg.độ.
Giải: Giả sử khối nước nhỏ được đun nóng x độ(x>0). Như vậy khối lượng nước nhỏ là:
= (kg) , vì khối nước lớn được đun nóng kém hơn khối
nước nhỏ 20C nên khối lượng của khối nước lớn là: (kg)
Theo đầu bài ta có phương trình : + 1 =
Giải phương trình trên ta được :
40 (x - 2) + x (x - 2) = 40x x2 - 2x - 80 = 0
‘=1+80=81
Phương trình có hai nghiệm là x1 = 10; x2 = - 8 Vì x > 0 nên ta loại nghiệm âm.
Vậy khối nước nhỏ được đun nóng thêm 100C.
(Để giải bài toán này, có thể đặt ẩn là khối lượng khối nước nhỏ).
Ví dụ 2 : Lấy 40g chất lỏng thứ nhất trộn lẫn với 30g chất lỏng thứ hai có khối lượng riêng nhỏ hơn 100kg/m3 ta được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 350kg/m3. Tính khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.
Phân tích : Công thức khối lượng riêng: (kg/m3)
Chú ý khi trộn hai chất lỏng có khối lượng riêng khác nhau thì khối lượng riêng của hỗn hợp cũng sẽ khác nhưng thể tích của mỗi hỗn hợp thì bao giờ cũng bằng tổng
thể tích của hai chất lỏng đem trộn mà công thức tính thể tích: .
Giải :
Gọi khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x (kg/m3) thì khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai là (x - 100) kg/m3. Điều kiện x > 100.
So sánh thể tích của hai chất lỏng và với thể tích củahỗn hợp:
Ta đi đến phương trình : + =
Nhân hai vế với 100 và thay ta được phương trình:
50 (4x - 400 + 3x) = x (x -100) x2 - 450x + 20000 = 0
= 202500 - 80000 = 122500 = 3502 ; Phương trình có hai nghiệm : x1 = 400; x2 = 50. Theo điều kiện đã đặt ra, ta chỉ lấy nghiệm x = 400.
Vậy khối lượng riêng của hai chất lỏng là 400kg/m3 và 300kg/m3.
Bài tập đề nghị :
1- Có hai loại dung dịch chứa cùng một thứ axit. Loại I chứa 30% axit, loại II chứa 50% axit. Muốn có 50 lít dung dịch chứa 15% axit thì cần phải trộn lẫn bao nhiêu lít dung dịch mỗi loại?
2- Một hợp kim đồng và nhôm nặng 11,250kg, có thể tích là 3,500dm3.
Tính khối lượng của đồng và nhôm có trong hợp kim, biết rằng khối lượng riêng của đồng là 8,9g/cm3; của nhôm là 2,6g/cm3.
Loại 5 : Bài toán về công việc làm chung, làm riêng
Chú ý : Nếu mất n đơn vị thời gian (giờ, ngày...) để làm xong một công việc thì
trong 1 đơn vị thời gian ấy sẽ làm được công việc.
Ví dụ 1 : Hai đội công nhân xây dựng nếu làm chung thì mất 6 ngày sẽ làm xong công trình. Nếu làm riêng thì đội I phải làm lâu hơn đội II là 5 ngày. Hỏi mỗi đội làm riêng thì mất bao nhiêu ngày sẽ xong công trình.
Giải :
Gọi x là số ngày mà đội I phải làm một mình để hoàn thành công trình. Như
vậy đội II làm riêng phải mất x - 5 ngày. Điều kiện x > 5. Mỗi ngày đội I làm được
công trình, đội II làm được công trình và cả hai đội
làm chung được công trình. Ta có phương trình : + = download by : skknchat@gmail26.com
Giải phương trình trên :
6(x - 5) + 6x = x(x - 5) x2 - 17x + 30 = 0
= 289 - 120 = 169 = 132; Giải ra ta được : Phương trình có nghiệm là x1 = 15, x2 = 2
Vì x > 5 nên ta chỉ lấy nghiệm x = 15
Ví dụ 2 : Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước trong 12 giờ thì đầy
bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ và vòi thứ hai chảy trong 6 giờ thì đầy bể. Hỏi mỗi vòi nếu chảy một mình thì phải mất bao lâu mới đầy bể.
Giải : Gọi x và y là số giờ mà mỗi vòi nước chảy một mình để đầy bể, x và y dương
và tính bằng giờ. Như vậy, sau 1 giờ mỗi vòi chảy được và bể, cả hai vòi chảy
được bể. Theo đề bài ta có hệ phương trình :
+ =
+ =
Giải hệ phương trình : x =20 và y = 30
Mà x = 20, từ đó y = 30 thỏa mãn điều kiện đã nêu. Thử lại đúng.Vậy mỗi vòi nếu chảy riêng thì lần lượt phải mất 20 giờ và 30 giờ mới đầy bể.
Bài tập đề nghị :
1- Hai cần cẩu làm chung thì hoàn thành công việc sau 7giờ 30 phút. Nếu cần cẩu thứ nhất làm riêng trong 5 giờ và cần cẩu thứ hai làm riêng tiếp tục trong 1 giờ 40 phút thì mới được một nửa công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi cần cẩu phải làm trong bao lâu để xong công việc?.
2- Hai đội sản xuất cùng đào một con mương. Nếu để mỗi đội làm riêng cả con mương thì tính ra cả hai đội sẽ mất tất cả 25 ngày mới xong. Nếu góp sức làm chung thì cả hai đội chỉ mất 6 ngày. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội phải mất bao lâu để đào xong mương ?
3- Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước, sau giờ thì đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất sẽ đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu?.
Loại 6 : Bài toán về tỉ lệ, về chia phần
Ví dụ 1 : Hai cửa hàng có tất cả 600 lít nước chấm. Nếu cửa hàng thứ nhất chuyển sang cửa hàng thứ hai 80 lít thì số nước chấm ở cửa hàng thứ hai sẽ tăng gấp đôi ở cửa hàng thứ nhất. Hỏi mỗi cửa hàng chứa bao nhiêu lít nước chấm?
Giải :Gọi số nước chấm có ở cửa hàng thứ nhất là x lít, ở cửa hàng thứ hai là y lít. Điều kiện x, y dương và nhỏ hơn 600. Theo gia thiết thứ nhất ta có
x + y = 600.
Sau khi chuyển 80 lít sang cửa hàng thứ hai có (y + 80) lít.
Theo đề bài thì y + 80 = 2(x - 80). Như vậy ta có hệ phương trình: x + y = 600
y + 80 = 2(x - 80)
Giải hệ phương trình trên : x + y = 600 ha
y
y - 2x = - 240
Suy ra 3x = 840 hay x = 280, từ đó y = 600 - 280 hay y = 320. Nghiệm này thỏa mãn điều kiện đã nêu.
Thử lại : 280 + 320 = 600 ; 320 + 80 = 2 . 200 = 2 (280 - 80)
Vậy cửa hàng thứ nhất có 280 lít và cửa hàng thứ hai có 320 lit nước chấm.
Ví dụ 2 : Một đội xe cần phải chuyên chở 120 tấn hàng. Hôm làm việc, có 2 xe phải điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn. Hỏi đội xe có bao nhiêu xe? (SGK- Lớp 9 - trang 95).
Giải : Gọi x là số xe của đội xe, x nguyên dương. Hôm làm việc có (x - 2) xe. Theo
dự định thì mỗi xe phải chở tấn, nhưng vì có 2 xe đi làm việc khác nên mỗi xe
thực tế phải chở tấn và như thế phải chở thêm 16 tấn. Ta có phương trình :
- =16
Giải phương trình: 120x - 120(x - 2) = 16x (x - 2) 16x2 - 32x - 240 = 0
x2 - 2x - 15 = 0 ’=1+15=16
Phương trình có nghiệm là x1 = 5 và x = -3 . Chỉ có giá trị x =5 là thích hợp với điều kiện đã nêu.
Thử lại: 120 : 5 =24 (tấn) ; 5 - 2=3 (xe)
120 : 3 =40 (tấn) ; 40 – 24 =16 (tấn). Vậy đội xe có 5 xe ô tô.
Bài tập đề nghị :
1- Hai lớp 91 và 92 được mua tất cả thảy 380 tập giấy và được phân phối đều
cho hai lớp theo tỷ lệ . Hỏi mỗi lớp mua được bao nhiêu tập giấy.
2- Một đội thanh niên xung phong theo kế hoạch phải đào 40 m3 đất. Nhưng khi bất đầu làm đôi được bổ sung thêm 5 người nên mỗi người giảm được định mức 0,4m3 đất. Hỏi đội có bao nhiêu người?
3- Hội trường có 320 chỗ ngồi. Số người đến dự là 420 người, do đó phải xếp để mỗi dãy thêm 4 ghế và phải đặt thêm một dãy ghế nữa mới đủ. Hỏi hội trường lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế.