1/C/m:BDEC noơi tiêp:
Ta cĩ: BDC=BEC=1v(do CD;BE là đường cao)⇒Hai đieơm D và E cùng làm với hai đaău đốn BC…⇒đpcm
2/c/m AD.AB=AE.AC.
Xét hai tam giác ADE và ABC cĩ Gĩc BAC chung .
Do BDEC nt ⇒EDB+ECB=2v.Mà ADE+EDB=2v⇒ADE=ACB ⇒∆ADE~∆ACB⇒đpcm.
3/Do HKBD nt⇒HKD=HBD(cùng chaĩn cung DH). Do BDEC nt⇒HBD=DCE (cùng chaĩn cung DE)
Deê dàng c/m KHEC nt⇒ECH=EKH(cùng chaĩn cungHE) 4/C/m JI//AO. Từ A dựng tiêp tuyên Ax.
Ta cĩ sđ xAC=12sđ cung AC (gĩc giữa tt và moơt dađy) .Mà sđABC=21sđ cung AC (gĩc nt và cung bị chaĩn) Ta lái cĩ gĩc AED=ABC(cùng bù với gĩc DEC)
Vaơy Ax//DE.Mà AO⊥Ax(t/c tiêp tuyên)⇒AO⊥DE.Ta lái cĩ do BDEC nt trong đường trịn tađm I ⇒DE là dađy cung cĩ J là trung đieơm ⇒JI⊥DE(đường kính đi qua trung đieơm cụa dađy khođng đi qua tađm)Vaơy IJ//AO
HKD=EKH
xAC=AED Hình 80
Bài 81:
Cho tam giác ABC cĩ 3 gĩc nhĩn noơi tiêp trong đường trịn tađm O.Tiêp tuyên tái B và C cụa đường trịn caĩt nhau tái D.Từ D kẹ đường thẳng song song với AB,đường này caĩt đường trịn ở E và F,caĩt AC tái I(Enaỉm tređn cung nhỏ BC) 1/Chứng minh BDCO noơi tiêp.
2/Chứng minh:DC2=DE.DF
3/Chứng minh DOCI noơi tiêp được trong đường trịn. 4/Chứng tỏ I là trung đieơm EF.
A F O I B C E D Sđ DFC= 2 1
sđ cung EC (gĩc nt và cung bị chaĩn)⇒EDC=DFC ⇒∆DCE~∆DFC ⇒đpcm.
3/Cm: DCOI noơi tiêp:Ta cĩ sđ DIC=21sđ(AF+EC).
Vì FD//AD ⇒Cung AF=BE ⇒sđ DIC=21sđ(BE+EC)= 2 1
sđ cung BC Sđ BOC=sđ cung BC.Mà DOC=
21 1 BOC⇒sđ DOC= 2 1 sđBC⇒DOC=DIC
⇒Hai đieơm O và I cùng làm với hai đaău đốn thẳng DC những gĩc baỉng nhau ⇒đpcm.
4/C/m I là trung đieơm EF.
Do DCIO noơi tiêp⇒DIO=DCO (cùng chaĩn cung DO).Mà DCO=1v(tính chât tiêp tuyên)⇒DIO=1v hay OI⊥FE.Đường kính OI vuođng gĩc với dađy cung FE neđn phại đi qua trung đieơm cụa FE⇒đpcm.
1/C/m: BDCO noơi tiêp Vì BD và DC là hai tiêp tuyên ⇒OBD=OCD=1v ⇒OBD+OCD=2v
⇒BDCO noơi tiêp. 2/Cm: :DC2=DE.DF Xét hai tam giác
DCE và DCF cĩ: D chung SđECD= 21sđ cung EC (gĩc giữa tiêp tuyên và moơt dađy) Hình 81
Bài 82:
Cho đường trịn tađm O,đường kính AB và dađy CD vuođng gĩc với AB tái F. Tređn cung BC,lây đieơm M.AM caĩt CD tái E.
1/Chứng minh AM là phađn giác cụa gĩc CMD.
2/Chứng minh tứ giác EFBM noơi tiêp được trong moơt đường trịn. 3/Chứng tỏ AC2=AE.AM
4/Gĩi giao đieơm cụa CB với AM là N;MD với AB là I.Chứng minh NI//CD. C M E N A O I B F D
1/C/m AM là phađn giác cụa gĩc CMD: Ta cĩ: Vì OA⊥CD và ∆COD cađn ở O ⇒OA là phađn giác cụa gĩc COD. Hay COA=AOD⇒cung AC=AD ⇒gĩc CMA=AMD(hai gĩc noơi tiêp chaĩn hai cung baỉng nhau)⇒đpcm.
2/cm EFBM noơi tiêp: VìCD⊥AB(gt)⇒EFB=1v;và EMB=1v(gĩc nt chaĩn nửa đường trịn)⇒ EFB+ EMB=2v⇒đpcm.
3/Cm: AC2=AE.AM.
Xét hai tam giác:ACM và ACE cĩ A chung.Vì cung AD=AC⇒hai gĩc ACD=AMC(hai gĩc nt chaĩn hai cung baỉng nhau)
⇒∆ACE~∆AMC⇒đpcm 4/Cm NI//CD:
Vì cung AC=AD⇒gĩc AMD=CBA(hai gĩc nt chaĩn hai cung baỉng nhau) Hay NMI=NBI ⇒Hai đieơm M và B cung làm với hai đaău đốn thẳng NI những gĩc baỉng nhau ⇒NIBM noơi tiêp ⇒Gĩc NIB+NMB=2v mà NMB=1v(cmt) ⇒NIB=1v hay NI⊥AB.Mà CD⊥AB(gt)⇒NI//CD.
Bài 83:
Cho ∆ABC cĩ A=1v;Kẹ AH⊥BC.Qua H dựng đường thẳng thứ nhât caĩt cánh AB ở E và caĩt đường thẳng AC tái G.Đường thẳng thứ hai vuođng gĩc với đường thẳng thứ nhât và caĩt cánh AC ở F,caĩt đường thẳng AB tái D.
1. C/m:AEHF noơi tiêp.
2. Chứng tỏ:HG.HA=HD.HC
3. Chứng minh EF⊥DG và FHC=AFE.
4. Tìm đieău kieơn cụa hai đường thẳng HE và HF đeơ EF ngaĩn nhât. G A E F B H C D
1/Cm AEHF noơi tiêp: Ta cĩ BAC=1v(gĩc nt chaĩn nửa đtrịn) FHE=1v ⇒ BAC+ FHE=2v⇒đpcm.
2/Cm: HG.HA=HD.HC. Xét hai ∆ vuođng HAC và HGD cĩ:BAH=ACH (cùng phú với gĩc ABC).Ta lái cĩ GAD=GHD=1v⇒GAHD noơi tiêp ⇒DGH=DAH
( cùng chaĩn cung DH ⇒DGH=HAC ⇒∆HCA~∆HGD⇒đpcm.
3/•C/m:EF⊥DG:Do GH⊥DF và DA⊥CG và AD caĩt GH ở E ⇒E là trực tađm cụa ∆CDG⇒EF là đường cao thứ 3 cụa ∆CDG⇒FE⊥DG.
• C/m:FHC=AFE:
Do AEHF noơi tiêp ⇒AFE=AHE(cùng chaĩn cung AE).Mà AHE+AHF=1v và AHF+FHC=1v⇒AFE=FHC.
4/ Tìm đieău kieơn cụa hai đường thẳng HE và HF đeơ EF ngaĩn nhât:
Do AEHF noơi tiêp trong đường trịn cĩ tađm là trung đieơm EF .Gĩi I là tađm đường trịn ngối tieđùp tứ giác AEHF⇒IA=IH⇒Đeơ EF ngaĩn nhât thì I;H;A thẳng hàng hay AEHF là hình chữ nhaơt ⇒HE//AC và HF//AB.
Bài 84:
Cho ∆ABC (AB=AC) noơi tiêp trong (O).M là moơt đieơm tređn cung nhỏ AC, phađn giác gĩc BMC caĩt BC ở N,caĩt (O) ở I.
1. Chứng minh A;O;I thẳng hàng.
2. Kẹ AK⊥ với đường thẳng MC. AI caĩt BC ở J.Chứng minh AKCJ noơi tiêp. 3. C/m:KM.JA=KA.JB. A K O • M E B J N C I ⇒đpcm
2/C/m AKCJ noơi tiêp: Theo cmt ta cĩ AI là đường kính đi qua trung đieơm cụa dađy BC ⇒AI⊥BC hay AJC=1v mà AKC=1v(gt)⇒AJC+AKC=2v ⇒đpcm.
3/Cm: KM.JA=KA.JB Xét hai tam giác vuođng JAB và KAM cĩ: Gĩc KMA=MAC+MCA(gĩc ngồi tam giác AMC)
Mà sđ MAC=21sđ cung MC và sđMCA=21sđ cung AM ⇒sđKMA=21
sđ(MC+AM)= 2 1
sđAC=sđ gĩc ABC Vaơy gĩc ABC=KMA ⇒∆JBA~∆KMA⇒đpcm. 1/C/m A;O;I thẳng hàng: Vì BMI=IMC(gt) ⇒ cung IB=IC ⇒Gĩc BAI=IAC(hai gĩc nt chaĩn hai cung baỉng nhau)⇒AI là phađn gíc cụa ∆ cađn ABC ⇒AI⊥BC.Mà ∆BOC cađn ở O⇒ cĩ các gĩc ở tađm chaĩn các cung baỉng nhau
⇒OI là phađn giác cụa gĩc BOC
• O
Bài 85:
Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB.Gĩi C là moơt đieơm tređn nửa đường trịn.Tređn nửa maịt phẳng bờ AB chứa đieơm C,kẹ hai tiêp tuyên Ax và By. Moơt đường trịn (O’) qua A và C caĩt AB và tia Ax theo thứ tự tái D và E. Đường thẳng EC caĩt By tái F.
1. Chứng minh BDCF noơi tiêp.
2. Chứng tỏ:CD2=CE.CF và FD là tiêp tuyên cụa đường trịn (O). 3. AC caĩt DE ở I;CB caĩt DF ở J.Chứng minh IJ//AB
4. Xác định vị trí cụa D đeơ EF là tiêp tuyên cụa (O)
F C E I J • O’ A D B 1/Cm:BDCF noơi tiêp:
Ta cĩ ECD=1v(gĩc nt chaĩn nửa đường trịn tađm O’)⇒FCD=1v và FBD=1v(tính chât tiêp tuyên)⇒đpcm.
2/•C/m: CD2=CE.CF .Ta cĩ
Do CDBF nt⇒DFC=CBD(cùng chaĩn cung CD).Mà CED=CAD(cùng chaĩn cung CD cụa (O’). Mà CAD+CBD=1v (vì gĩc ACB=1v-gĩc nt chaĩn nửa đt)
⇒CED+CFD=1v neđn EDF=1v hay ∆EDF là tam giác vuođng cĩ DC là đường cao.Aùp dúng heơ thức lượng trong tam giác vuođng ta cĩ CD2=CE.CF.
•Vì ∆EDF vuođng ở D(cmt)⇒FD⊥ED hay FD⊥O’D tái đieơm D naỉm tređn đường trịn tađm O’.⇒đpcm.
3/C/m IJ//AB.
Ta cĩ ACB=1v(cmt) hay ICJ=1v và EDF=1v (cmt) hay IDJ=1v ⇒ICJD nt CJI=CDI(cùng chaĩn cung CI).Mà CFD=CDI (cùng phú với gĩc FED). Vì BDCF nt (cmt)⇒CFD=CBD (cùng chaĩn cung CD)⇒CJI=CBD ⇒đpcm. 4/ Xác định vị trí cụa D đeơ EF là tiêp tuyên cụa (O).
Ta cĩ CD⊥EF và C naỉm tređn đường trịn tađm O.Neđn đeơ EF là tiêp tuyên cụa (O) thì CD phại là bán kính ⇒D≡O.
Hình 85 Hình 85
F
Bài 86:
Cho (O;R và (O’;r) trong đĩ R>r, caĩt nhau tái Avà B. Gĩi I là moơt đieơm bât kỳ tređn đường thẳng AB và naỉm ngồi đốn thẳng AB. Kẹ hai tiêp tuyên IC và ID với (O) và (O’). Đường thẳng OC và O’D caĩt nhau ở K.
1. Chứng minh ICKD noơi tiêp. 2. Chứng tỏ:IC2=IA.IB.
3. Chứng minh IK naỉm tređn đường trung trực cụa CD. 4. IK caĩt (O) ở E và F; Qua I dựng cát tuyên IMN.
a/ Chứng minh:IE.IF=IM.IN.
b/ E; F; M; N naỉm tređn moơt đường trịn.
I C E M A D • O •O’ B N K Sđ CBI= 2 1
sđ CE (gĩc nt và cung bị chaĩn)⇒ICE=IBC⇒∆ICE~∆IBC⇒đpcm. 3/Cm IK naỉm tređn đường trung trực cụa CD.
Theo chứng minh tređn ta cĩ: IC2=IA.IB. Chứng minh tương tự ta cĩ:ID2=IA.IB
-Hai tam giác vuođng ICK và IDK cĩ Cánh huyeăn IK chung và cánh gĩc vuođng IC=ID
⇒∆ICK=∆IDK⇒CK=DK⇒K naỉm tređn đường trung trực cụa CD.⇒đpcm. 4/ a/Baỉng cách chứng minh tương tự như cađu 2 ta cĩ:
IC2=IE.IF và ID2=IM.IN Mà IC=ID (cmt)⇒IE.IF=IM.IN.
b/ C/m Tứ giác AMNF noơi tiêp: Theo chứng minh tređn cĩ E.Ì=IM.IN.Aùp dúng tính chât tư leơ thức ta cĩ:
IE IN IM
IF
= .Tức là hai caịp cánh cụa tam giác IFN tương ứng tư leơ với hai caịp cánh cụa tam giác IME.Hơn nữa gĩc EIM chung
⇒∆IEM~∆INF⇒IEM=INF.Mà IEM+MEF=2v⇒MEF+MNF=2v⇒đpcm.
IC=ID⇒I naỉm tređnđường trung trực cụa CD
1/C/m ICKD nt: Vì CI và DI là hai tt cụa hai đtrịn ⇒ICK=IDK=1v
⇒đpcm.
2/C/m: IC2=IA.IB. Xét hai tam giác ICE và ICBcĩ gĩc I chung và sđ ICE= 2 1 sđ cung CE (gĩc giữa tt và 1 dađy) Hình 86
Bài 87:
Cho∆ABC cĩ 3 gĩc nhĩn.Vẽ đường trịn tađm O đường kính BC.(O) caĩt AB;AC laăn lượt ở D và E.BE và CD caĩt nhau ở H.
1. Chứng minh:ADHE noơi tiêp. 2. C/m:AE.AC=AB.AD.
3. AH kéo dài caĩt BC ở F.Cmr:H là tađm đường trịn noơi tiêp ∆DFE. 4. Gĩi I là trung đieơm AH.Cmr IE là tiêp tuyên cụa (O)
A I E D x H B F O C
1/Cm:ADHE noơi tiêp: Ta cĩ BDC=BEC=1v(gĩc nt chaĩn nửa đường trịn) ⇒ADH+AEH=2v⇒ADHE nt.
2/C/m:AE.AC=AB.AD. Ta chứng minh ∆AEB và ∆ADC đoăng dáng. 3/C/m H là tađm đường trịn ngối tiêp tam giác DEF:
Ta phại c/m H là giao đieơm 3 đường phađn giác cụa tam giác DEF.
-Tứ giác BDHF nt⇒HED=HBD(cùng chaĩn cung DH).Mà EBD=ECD (cùng chaĩn cung DE).Tứ gáic HECF nt⇒ECH=EFH(cùng chaĩn cung HE) ⇒EFH=HFD⇒FH là phađn giác cụa DEF.
-Tứ gáic BDHF nt⇒FDH=HBF(cùng chaĩn cung HF).Mà EBC=CDE(cùng chaĩn cung EC)⇒EDC=CDF⇒DH là phađn giác cụa gĩc FDE⇒H là…
4/ C/m IE là tiêp tuyên cụa (O):Ta cĩ IA=IH⇒IA=IE=IH=21AH (tính chât trung tuyên cụa tam giác vuođng)⇒∆IAE cađn ở I⇒IEA=IAE.Mà IAE=EBC (cùng phú với gĩc ECB) và AEI=xEC(đơi đưnh)Do ∆OEC cađn ở O⇒ OEC=OCE
⇒xEC+CEO =EBC +ECB=1v Hay xEO=1v Vaơy OE⊥IE tái đieơm E naỉm tređn đường trịn (O)⇒đpcm.
• O
• O’
Bài 88:
Cho(O;R) và (O’;r) caĩt nhau ở Avà B.Qua B vẽ cát tuyên chung CBD⊥AB (C∈(O)) và cát tuyên EBF bât kỳ(E∈(O)).
1. Chứng minh AOC và AO’D thẳng hàng.
2. Gĩi K là giao đieơm cụa các đường thẳng CE và DF.Cmr:AEKF nt. 3. Cm:K thuoơc đường trịn ngối tiêp ∆ACD.
4. Chứng tỏ FA.EC=FD.EA. A E C B D F K 1/C/m AOC và AO’D thẳng hàng:
-Vì AB⊥CD ⇒Gĩc ABC=1v⇒AC là đường kính cụa (O)⇒A;O;C thẳng hàng.Tương tự AO’D thẳng hàng.
2/C/m AEKF nt: Ta cĩ AEC=1v(gĩc nt chaĩn nửa đường trịn tađm O.Tương tự AFD=1v hay AFK=1v ⇒AEK+AFK=2v⇒đpcm
3/Cm: K thuoơc đường trịn ngối têp ∆ACD.
Ta cĩ EAC=EBC(cùng chaĩn cung EC).Gĩc EBC=FBD(đơi đưnh).Gĩc FBD=FAD(cùng chaĩn cung FD).Mà EAC+ECA=90o⇒ADF=ACE và ACE+ACK=2v⇒ADF+ACK=2v⇒K naỉm tređn đường trịn ngối tiêp … 4/C/m FA.EC=FD.EA.
Ta chứng minh hai tam giác vuođng FAD và EAC đoăng dáng vì
EAC=EBC(cùng hcaĩn cung EC)EBC=FBD(đơi đưnh) FBD=FAD(cùng chaĩn cung FD)⇒EAC=FAD⇒đpcm.
Bài 89:
Cho ∆ABC cĩ A=1v.Qua A dựng đường trịn tađm O bán kính R tiêp xúc với BC tái B và dựng (O’;r) tiêp xúc với BC tái C.Gĩi M;N là trung đieơm AB;AC,OM và ON kéo dài caĩt nhau ở K.
1. Chứng minh:OAO’ thẳng hàng 2. CM:AMKN noơi tiêp.
3. Cm AK là tiêp tuyên cụa cạ hai đường trịn và K naỉm tređn BC. 4. Chứng tỏ 4MI2=Rr. O’ A O M I N B K C 1/C/m AOO’ thẳng hàng:
-Vì M là trung đieơm dađy AB⇒OM⊥AB neđn OM là phađn giác cụa gĩc AOB hay BOM=MOA. Xét hai tam giác BKO và AKO cĩ OA=OB=R; OK chung và BOK=AOK (cmt) ⇒∆KBO=∆KAO ⇒ gĩc OBK=OAK mà OBK=1v ⇒OAK=1v. Chứng minh tương tự ta cĩ O’AK=1v Neđn OAK+O’AK=2v ⇒đpcm.
2/Cm:AMKN noơi tiêp:Ta cĩ Vì AMK=1v(do OMA=1v) và ANK=1v ⇒AMK+ANK=2v ⇒đpcm. Caăn lưu ý AMKN là hình chữ nhaơt. 3/C/m AK là tiêp tuyên cụa (O) và O’)
-Theo chứng minh tređn thì Gĩc OAK=1v hay OA⊥AK tái đieơm A naỉm tređn đường trịn (O)⇒đpcm.Chứng minh tương tự ta cĩ AK là tt cụa (O’)
-C/m K naỉm tređn BC:
Theo tính chât cụa hai tt caĩt nhau ta cĩ:BKO=OKA và AKO’=O’KC.
Nhưng do AMKN là hình chữ nhaơt⇒MKN=1v hay OKA+O’KA=1v tức cĩ nghĩa gĩc BKO+O’KC=1v vaơy BKO+OKA+AKO’+O’KC=2v⇒K;B;C thẳng hàng ⇒đpcm
4/ C/m: 4MI2=Rr. Vì ∆OKO’ vuođng ở K cĩ đường cao KA.Aùp dúng heơ thue=ức lượng trong tam giác vuođng cĩ AK2=OA.O’A.Vì MN=AK và MI=IN hay MI=
21 1 AK⇒đpcm
Bài 90:
Cho tứ giác ABCD (AB>BC) noơi tiêp trong (O) đường kính AC; Hai đường chéo AC và DB vuođng gĩc với nhau. Đường thẳng AB và CD kéo dài caĩt nhau ở E; BC và AD caĩt nhau ở F.
1. Cm:BDEF noơi tiêp.
2. Chứng tỏ:DA.DF=DC.DE
3. Gĩi I là giao đieơm DB với AC và M là giao đieơm cụa đường thẳng AC với đường trịn ngối tiêp ∆AEF. Cmr: DIMF noơi tiêp.
4. Gĩi H là giao đieơm AC với FE. Cm: AI.AM=AC.AH.
E B
A O I C H M
D
F
1/ Cm:DBEF nt: Do ABCD nt trong (O) đường kính AC⇒ABC=ADC=1v (gĩc nt chaĩn nửa đường trịn)⇒ FBE=EDF=1v⇒đpcm.
2/ C/m DA.DF=DC.DE:
Xét hai tam giác vuođng DAC và DEF cĩ: Do BF⊥AE và ED⊥AF neđn C là trực tađm cụa ∆AEF⇒Gĩc CAD=DEF(cùng phú với gĩc DFE)⇒đpcm.
3/ Cm:DIMF nt: Vì AC⊥BD(gt) ⇒DIM=1v và I cũng là trung đieơm cụa DB(đường kính vuođng gĩc với dađy DB)⇒∆ADB cađn ở A⇒ AEF cađn ở A (Tự c/m yêu tơ này)⇒Đường trịn ngối tiêp ∆AEF cĩ tađm naỉm tređn đường AM ⇒gĩc AFM=1v(gĩc nt chaĩn nửa đường trịn)⇒DIM+DFM=2v⇒đpcm.
4/
Bài 91:
Cho (O) và (O’) tiêp xúc ngồi tái A.Đường thẳng OO’ caĩt (O) và (O’) tái B và C (khác A). Kẹ tiêp tuyên chung ngồi DE(D∈(O)); DB và CE kéo dài caĩt nhau ở M.
1. Cmr: ADEM noơi tiêp.
2. Cm: MA là tiêp tuyên chung cụa hai đường trịn. 3. ADEM là hình gì? 4. Chứng tỏ:MD.MB=ME.MC. B O A O’ C E D M
Tương tự ta cĩ AMB=ACM⇒Hai tam giác ABM và ACM cĩ hai caịp gĩc tương ứng baỉng nhau⇒Caịp gĩc cịnlái baỉng nhau.Hay BAM=MAC.Ta lái cĩ BAM+MAC=2v⇒BAM=MAC=1v hay OA⊥AM tái đieơm A naỉm tređn đtrịn…. 3/ADEM là hình gì?
Vì BAM=1v⇒ABM+AMB=1v.Ta cịn cĩ MA là tt cụa đtrịn⇒DAM=MBA (cùng baỉng nửa cung AD).Tương tự MAE=MCA.Mà theo cmt ta cĩ ACM=AMB Neđn DAM+MAE=ABM+ACM=ABM+AMB=1v.Vaơy DAE=1v neđn ADEM là hình chữ nhaơt.
4/Cm: MD.MB=ME.MC .
Tam giác MAC vuođng ở A cĩ đường cao AE.Aùp dúng heơ thức lượng trong tam giác vuođng ta cĩ:MA2=ME.MC.Tương tự trong tam giác vuođng MAB cĩ MA2=MD.MB⇒đpcm.
1/Cm:ADEM nt: Vì AEC=1v và ADB=1v(gĩc nt chaĩn nửa đtrịn)
⇒ADM+AEM=2v⇒đpcm. 2/C/m MA là tiêp tuyên cụa hai đường trịn; -Ta cĩ sđADE= 2 1 sđ cungAD=sđ DBA.Và
ADE=AME(vì cùng chaĩn cung AE do tứ giác ADME
nt)⇒ABM=AMC.
Bài 92:
Cho hình vuođng ABCD.Tređn BC lây đieơm M. Từ C há CK⊥ với đường thẳng AM.
1. Cm: ABKC noơi tiêp.
2. Đường thẳng CK caĩt đường thẳng AB tái N.Từ B dựng đường vuođng gĩc với BD, đường này caĩt đường thẳng DK ở E. Cmr: BD.KN=BE.KA 3. Cm: MN//DB. 4. Cm: BMEN là hình vuođng. A B N M E K D C
1/Cm: ABKC noơi tiêp: Ta cĩ ABC=1v (t/c hình vuođng); AKC=1v(gt) ⇒
đpcm.
2/Cm: BD.KN=BE.KA.Xét hai tam giác vuođng BDE và KAN cĩ:
Vì ABCD là hình vuođng neđn noơi tiêp trong đường trịn cĩ tađm là giao đieơm hai đường chéo.Gĩc AKC=1v⇒A;K;C naỉm tređn đtrịn đường kính AC.Vaơy 5 đieơm A;B;C;D;K cùng naỉm tređn moơt đường trịn.⇒Gĩc BDK=KDN (cùng chaĩn cung BK)⇒∆BDE~∆KAN⇒KABD = KNBE ⇒đpcm.
3/ Cm:MN//DB.Vì AK⊥CN và CB⊥AN ;AK caĩt BC ở M⇒M là trực tađm cụa tam giác ANC⇒NM⊥AC.Mà DB⊥AC(tính chât hình vuođng)⇒MN//DB. 4/Cm:BNEM là hình vuođng:
Vì MN//DB⇒DBM=BMN(so le) mà DBM=45o⇒BMN =45o⇒∆BNM là tam giác vuođng cađn⇒BN=BM.Do BE⊥DB(gt)và BDM=45o⇒MBE=45o⇒∆MBE là tam giác vuođng cađn và BM là phađn giác cụa tam giác MBN;Ta deê dàng c/m được MN là phađn giác cụa gĩc BMN⇒BMEN là hình thoi lái cĩ gốc B vuođng neđn BMEN là hình vuođng.
Bài 93:
Cho hình chữ nhaơt ABCD(AB>AD)cĩ AC caĩt DB ở O. Gĩi M là 1 đieơm tređn OB và N là đieơm đơi xứng với C qua M. Kẹ NE; NF và NP laăn lượt vuođng gĩc với AB; AD; AC; PN caĩt AB ở Q.
1. Cm: QPCB noơi tiêp. 2. Cm: AN//DB.
3. Chứng tỏ F; E; M thẳng hàng.
4. Cm: ∆PEN là tam giác cađn.
F N I A Q E B P M O D C
1/C/m QPCB noơi tiêp:Ta cĩ:NPC=1v(gt) và QBC=1v(tính chât hình chữ nhaơt).⇒đpcm.
2/Cm:AN//DB vì O là giao đieơm hai đường chéo cụa hình chữ nhaơt⇒O là trung đieơm AC.Vì C và N đơi xứng với nhau qua M⇒M là trung đieơm NC ⇒OM là đường trung bình cụa ∆ANC⇒OM//AN hay AN//DB.
3/Cm:F;E;M thẳng hàng.
Gĩi I là giao đieơm EF và AN.Deê dàng chứng minh được AFNE là hình chữ nhaơt⇒∆AIE và OAB là những tam gíc cađn⇒IAE=IEA và ABO=BAO.Vì AN//DB⇒ IAE=ABO(so le)⇒IEA=EAC⇒EF//AC hay IE//AC
Vì I là trung đieơm AN;M là trung đieơm NC⇒IM là đường trung bình cụa
∆ANC⇒MI//AC .Từ và Ta cĩ I;E;M thẳng hàng.Mà F;I;E thẳng hàng ⇒F;F;M thẳng hàng.
4/C/m∆PEN cađn:Deê dàng c/m được ANEP noơi tiêp⇒PNE=EAP(cùng chaĩn cung PE).Và PNE=EAN(cùng chaĩn cung EN).Theo chứng minh cađu 3 ta cĩ theơ suy ra NAE=EAP⇒ENP=EPN⇒∆PEN cađn ở E.