Ánh xạ đơn điệu và liên tục

Một phần của tài liệu (Luận văn thạc sĩ file word) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân (Trang 25 - 34)

Trong phần này, chúng tôi sẽ nhắc lại một vài khái niệm và tính chất cơ bản về ánh xạ (toán tử) loại đơn điệu.

Định nghĩa 1.12. Cho C ⊆ H là tập con khác rỗng và F : C → H là ánh

xạ xác định trên C. Ánh xạ F được gọi là:

(i) giả đơn điệu trên C nếu

F (y), x y⟩ ≥ 0 ⇒ ⟨F (x), x y⟩ ≥ 0, ∀x, y C. (1.3)

(ii) đơn điệu trên C nếu

F (x) F (y), x y⟩ ≥ 0, ∀x, y C. (1.4)

(iii) đơn điệu chặt trên C nếu

F (x) F (y), x y> 0,x ̸= y ∈ C. (1.5) 2

2 2

(iv) η-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại số thực dương η sao cho

F (x) F (y), x y⟩ ≥ αx y,x, y C. (1.6)

Nhận xét 1.5. Nếu ánh xạ F là η-đơn điệu mạnh trên C thì đơn điệu chặt

trên C, nếu ánh xạ F đơn điệu chặt trên C thì đơn điệu trên C, nếu ánh xạ F đơn điệu trên C thì giả đơn điệu trên C. Tuy nhiên, chiều ngược lại của

các khẳng định trên nói chung không đúng.

Ví dụ 1.13. Cho C = R. Ánh xạ F : R → R xác định bởi F (x) = ax là ánh

xạ a-đơn điệu mạnh (ở dây, a là số thực dương) và vì thế F cũng là ánh xạ đơn điệu chặt và đơn điệu trên R.

Ánh xạ F : R → R xác định bởi

F (x) =

1 nếu x < 0,

là ánh xạ đơn điệu trên R nhưng không đơn điệu chặt. Ánh xạ F : R → R xác định bởi

F (x) =

1 − x2 nếu x ≤ 0,

là ánh xạ đơn điệu chặt trên R nhưng không đơn điệu mạnh. 1

Ánh xạ F : [0, +∞) → R xác định bởi F (x)

=

điệu nhưng không đơn điệu.

là ánh xạ giả đơn 1 + x

Tiếp theo, ta có tính lồi của một hàm f khả vi Gâteaux (Fréchet) có thể đặc trưng bởi tính đơn điệu của ∇f như dưới đây.

Mệnh đề 1.12. [3]

Cho C H là tập con lồi khác rỗng và f : C → R là hàm khả vi Gâteaux (Fréchet) liên tục. Khi đó, hàm f là lồi khi và chỉ khi gradient f là ánh xạ đơn điệu.

Chứng minh. Giả sử f là hàm lồi. Từ tính khả vi Gâteaux của f , ta có f (y) f (x) ≥ ⟨∇f (x), y x,x, y C. 2  2x + 1 nếu x ≥ 0, 1 + x2 nếu x ≥ 0,

Đổi vai trò x và y ta lại có

f (x) f (y) ≥ ⟨∇f (y), x y,x, y C.

Cộng hai vế các bất đẳng thức trên ta nhận được

⟨∇f (x) − ∇f (y), x y⟩ ≥ 0,∀x, y C.

Ngược lại, giả sử ta có (ii). Ta xét hàm số h : R → R xác định bởi

h(t) = f (y + t(x y)). Khi đó, với mọi t ∈ [0, 1], h là hàm số khả vi và

h′(t) = ⟨∇f (y + t(x y)), x y.

Với mọi x, y ∈ C, lấy tùy ý 0 < α < β < 1 và đặt

yα = y + α(x y) C, yβ = y + β(x − y) C.

Khi đó, kết hợp với giả thiết (ii) ta có

h′(β) − h′(α) = ⟨∇f (yβ), x − y⟩ − ⟨∇f (yα), x − y

1 =

β α⟨∇f (yβ) − ∇f (yα), yβ

≥ 0.

Điều này suy ra h′ là hàm không giảm trên (0, 1). Từ đây dẫn đến

h ( t ) h (0) = t 1 t t h ′(w)dw ≤ 1 1 1 − t t h′(w)dw = h (1) h ( t ) 1 − t

với mọi t ∈ (0, 1). Từ ước lượng trên suy ra

th(1) + (1 t)h(0) h(t).

Do đó, ta nhận được

t (y) + (1 t)f (x) f (x + t(y x)),x, y C.

Hay f là hàm lồi.

Chú ý 1.3. Trong không gian hữu hạn chiều Rn, hàm khả vi đến cấp hai

f : Rn → R là lồi khi và chỉ khi ma trận Hessian ∇2f (x) (ma trận các đạo

hàm riêng cấp hai) là nửa xác định dương, tức là

v, ∇2f (x)v⟩ ≥ 0, ∀v ∈Rn.

0

Chương 2

Phương pháp kiểu Korpelevich cho bài toán bất đẳng thfíc biến phân

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày lại một số mở rộng phương pháp Korpelevich tìm nghiệm xấp xỉ cho bất đẳng thức biến phân (VIP). Cấu trúc của chương gồm bốn phần: Mục 2.1 dành để giới thiệu mô hình bài toán nghiên cứu. Nội dung và sự hội tụ của các phương pháp: "Phương pháp đạo hàm tăng cường" (EGM) & "Phương pháp chiếu - co" (PCM), "Phương pháp dưới đạo hàm - Đạo hàm tăng cường" (SEGM) và "Phương pháp dưới đạo hàm - Đạo hàm tăng cường cải biên" (MSEGM) sẽ được cụ thể hóa tương ứng trong các Mục 2.2, Mục 2.3 và Mục 2.4. Cuối mỗi mục, chúng tôi sẽ đưa ra một vài kết quả tính toán số nhằm minh họa và làm rõ hơn các vấn đề lí thuyết mà luận văn đề cập.

2.1. Mô hình bài toán

Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H và ánh xạ F : C → H. Bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) có dạng: Tìm x C sao cho

F (x), y x⟩ ≥ 0, ∀y C. (2.1)

Phần tử x ∈ C thỏa mãn (2.1) được gọi là nghiệm của bài toán (VIP). Tập tất cả các nghiệm của bài toán này được kí hiệu là Sol(VIP(F, C)),

nghĩa là

Sol(VIP(F, C)) = {x C : ⟨F (x), y x⟩ ≥ 0, ∀y C}.

Ánh xạ F và tập C tương ứng được gọi là ánh xạ giá và miền hữu hiệu (miền chấp nhận được) của bài toán.

Nhận xét 2.1. Nếu F : C H là ánh xạ đơn điệu chặt (hoặc, η-đơn điệu

x∗ ∈ Sol(VIP(F, C)) và y∗ ∈ Sol(VIP(F, C)). Khi ấy, từ định nghĩa ta có

F (x∗), y∗ − x∗⟩ ≥ 0và ⟨F (y∗), x∗ − y∗⟩ ≥ 0. Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được

F (x∗) − F (y∗), x∗ − y∗⟩ ≤ 0. Từ tính chất đơn điệu của F ta thấy rằng:

(i) Nếu x∗ y∗ và F đơn điệu chặt thì

0 < ⟨F (x∗) − F (y∗), x∗ − y∗⟩ ≤ 0. Mâu thuẫn.

(ii) Nếu x∗ ≠y∗ và F là ánh xạ η-đơn điệu mạnh thì

0 < η∥x∗ − y∗∥2 ≤ 0. Mâu thuẫn.

Do đó, ta phải có x∗ = y∗.

Ví dụ 2.1. Một ví dụ đơn giản về bài toán bất đẳng thức biến phân là bài

toán giải phương trình. Cụ thể, nếu C = H và F : H → H là ánh xạ xác

định trên H thì bài toán (2.1) có dạng: Tìm x ∈H sao cho

F (x), y x⟩ ≥ 0, ∀y H. (2.2) Để ý rằng, bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi F (x) = 0. Thật vậy,

nếu F (x) = 0 thì (2.2) được bảo đảm. Ngược lại, nếu ta có (2.2) thì thay y = x − F (x) trong (2.2) ta nhận được

F (x), F (x)⟩ ≥ 0 ⇔ ⟨F (x), F (x)⟩ ≤ 0 ⇔ F (x) = 0.

Do đó, việc tìm nghiệm của bài toán (VIP) trở thành tìm nghiệm của phương trình F (x) = 0.

Khi ánh xạ F có dạng cụ thể, ta nhận được một số mô hình bài toán quen thuộc sau đây:

(i) Nếu H := R và F (x) := P (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn là đa thức

bậc n một biến x (ở đây ai, i = 0, 1, 2, . . . , n là các hệ số thực) thì ta có

mô hình bài toán giải phương trình đa thức một biến.

(ii) Nếu H := Rn và F (x) := A(x) − b là ánh xạ affine xác định bởi ma trận A =  a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n   b1  và b =   · · · · an1 an2 · · · ann   · · · 

thì bài toán (VIP) trở thành bài toán giải hệ phương trình tuyến tính bậc nhất n ẩn a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1, a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2, · · · an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn. trong đó x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn.

Ví dụ 2.2. Cho C := [a, b] ⊂ R và f : [a, b] → R là hàm số khả vi trên [a, b]. Bài toán cực trị được phát biểu như sau:

Tìm x [a, b] sao cho: f (x) = min f (y). (2.3)

y∈[a,b]

Kí hiệu F (x) := f ′(x) là đạo hàm của f tại x. Khi đó, nếu x là nghiệm của bài toán (2.3) thì x là nghiệm của bài toán (VIP). Thật vậy, giả sử x

[a, b] là nghiệm của bài toán (2.3). Khi đó, ta thấy rằng (i) Nếu x ∈ (a, b) thì theo Bổ đề Fermat ta phải có

f ′(x) = 0. (ii) Nếu x = a thì f′ (a) =

lim f ( x ) f ( a ) ≥ 0. (iii)Nếu x = b thì + xa+ x a f′ (b) = lim f ( x ) f ( b )     b2 b n     ∈

≤ 0.

xb− x b

Do đó, từ các khẳng định trên ta nhận được

Tuy nhiên, khẳng định ngược lại nói chung không đúng. Chẳng hạn, xét

f : R → R xác định bởi f (x) = x4 − 4x2. Khi đó, x = 0 nghiệm đúng (2.1) nhưng x = 0 không là nghiệm của bài toán (2.3).

Tổng quát hơn [12], nếu cho C là tập con lồi đóng trong không gian Hilbert thực H và f : C → R là hàm số khả vi Gâteaux trên C với đạo hàm Gâteaux F (x) := ∇f (x) thì ta có các khẳng định sau:

(i) Nếu x là nghiệm của bài toán (2.3) thì x là nghiệm của bài toán (2.1). (ii) Nếu f là hàm lồi và x là nghiệm bài toán (2.1) thì x cũng là nghiệm

của bài toán (2.3).

Nhận xét 2.2. Nón pháp tuyến N (x, C) của một tập lồi đóng C H tại x

được định nghĩa và xác định bởi

N (x, C) = {d H : ⟨d, y x⟩ ≤ 0, ∀y C}, nếu x C,

∅, nếu x /

C.

(2.4)

Khi đó, dễ thấy rằng x ∈C là một nghiệm của bài toán (VIP) khi và chỉ khi

0 F (x) + N (x, C), (2.5)

ở đây, 0 là phần tử gốc của không gian Hilbert thực H.

Chú ý 2.1. Cho C, D là hai tập hợp bất kì. Cho F : C ⇒ D là ánh xạ từ C

vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của D. Ta nói F là ánh xạ đa trị từ C vào D. Như vậy, với mỗi x C, F (x) là một tập hợp con của D. Không

loại trừ khả năng với một số phần tử x C nào đó ta có F (x) là tập rỗng.

Một ví dụ đơn giản về ánh xạ đa trị là ánh xạ dưới vi phân hàm lồi.

Ánh xạ (toán tử) F : H ⇒ H được gọi là đơn điệu cực đại nếu F là đơn

điệu, tức là

u v, x y⟩ ≥ 0, ∀u F (x), v F (y)

và đồ thị của F là tập hợp

Grap(F ) = {(x, u) ∈ H × H : u ∈ F (x)}

không là tập con của bất kì đồ thị của toán tử đơn điệu nào khác. Một số khẳng định sau đây có thể xem trong [10]:

(i) Toán tử đơn điệu F là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi ∀(x, u) ∈ H × H

và nếu

u v, x y⟩ ≥ 0, ∀(v, y) ∈ Grap(F ) thì u F (x).

(ii) Toán rử F xác định bởi

F (x) =

A(x) + N (x, C) nếu x C,

trong đó A là toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz. Khi đó, F là toán tử đơn điệu cực đại. Hơn nữa, tính chất sau bảo đảm

0 ∈ F (x) ⇐⇒ x Sol(VIP(A, C)).

Do đó, nếu ta có −

v, x y⟩ ≥ 0, ∀(y, v) ∈ Grap(F ) =⇒ x Sol(VIP(A, C)).

Ví dụ 2.3. Cho C = R2 và F (x) = A(x) là ánh xạ tuyến tính có ma trận A

cho bởi A = 1 1 . −1 1 Không khó khăn để chỉ ra rằng N (0, R2 ) = R2 . + − Điều kiện 0 F (0) + N (0, C).

được bảo đảm nên x = 0 là một nghiệm của bài toán (VIP). Tiếp theo, nếu x = (x1, x2) là một điểm trong của C, tức là

x1 > 0, x2 > 0

thì nón pháp tuyến của C tại x lúc này chỉ gồm duy nhất một phần tử gốc. Trong trường hợp này, ta có

F (x) = A(x) = (x1 + x2, x1 + x2)

nên F (x) + N (x, C) không chứa 0. Vì thế, không có điểm trong nào của C

là nghiệm của bài toán (VIP).

∅ nếu x / C.

+

Phần tiếp theo, chúng tôi sẽ nhắc lại một số điều kiện đủ về sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.1) mà không chứng minh (nội dung chi tiết có thể xem trong [6] và [12] cùng các tài liệu dẫn).

Mệnh đề 2.1. [12]

Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Cho F là ánh xạ η-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz. Khi đó, bài toán

(2.1) có duy nhất nghiệm. Hơn nữa, x ∈ C là nghiệm của bài toán (2.1) khi và chỉ khi

x = PC(I − ρF )(x)

trong đó PC là phép chiếu mêtric từ H lên C, I là ánh xạ đơn vị trên H và ρ ∈ (0, 2η/L2).

Mệnh đề 2.2. (Minty) [6]

Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Giả sử F : C H là một ánh xạ giả đơn điệu và h-liên tục. Khi đó, x C là nghiệm của bài toán (2.1) khi và chỉ khi

F (y), y x⟩ ≥ 0 ∀y C.

Mệnh đề 2.3. [6]

Cho C là tập con lồi compact yếu của không gian Hilbert thực H. Cho F : C H là một ánh xạ giả đơn điệu và h-liên tục. Khi đó bài toán (2.1)

có nghiệm. Hơn nữa, Sol(VIP(F, C)) là tập lồi và compact yếu.

Mệnh đề 2.4. [6]

Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Cho F : C H là một ánh xạ giả đơn điệu và h-liên tục. Giả thiết rằng điều kiện bức sau được thỏa mãn: Tồn tại một tập con lồi compact yếu D của C thỏa mãn với mỗi x C\D đều tồn tại u D sao cho F (x), x u

> 0. Khi đó bài toán (2.1) có nghiệm.

Một phần của tài liệu (Luận văn thạc sĩ file word) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân (Trang 25 - 34)

Tải bản đầy đủ (DOCX)

(59 trang)
w