3 Tiêu chuẩn bất khả quy cho đa thức thuận nghịch
3.2 Tiêu chuẩn của đa thức thuận nghịch bất khả quy
Trong phần này, tôi đề cập đến một số yếu tố liên quan đến tiêu chuẩn của đa thức bất khả quy và khả quy.
Cho n là một số tự nhiên. Mọi đa thức bậc n với hệ số nguyên có thể được biểu diễn dưới dạng một điểm (an, an−1, . . . , a1, a0) của (n+ 1)− chiều Zn+1.
Cho một số dương B, chúng ta coi những điểm đó nằm trong (n+ 1)−cube
[−B, B]n+1 sao cho:
Sn(B) := {f ∈ Z[t] : degf = n,∥f∥ ≤ B}.
Do Sn(B) là một đa thức bậc n với hệ số nguyên trong khoảng [−B;B]. Ta chỉ ra rằng số |Sn(B)| bằng 2B(2B + 1)n với B là một số nguyên.
Đây là một kết quả liên quan đến số đa thức có thể rút gọn trong Sn(B).
Trên thực tế nó chỉ ra ràng buộc dưới đây:
|Red(Q)∩Sn(B)| ≪n Bnlog2B. (3.2) Trong đó kí hiệu ≪n nghĩa là có một hằng số chỉ phụ thuộc vào n liên quan đến giới hạn trên.
Giới hạn trên được đưa ra cho trong (3.1) cũng cung cấp giới hạn trên cho tỉ thức sau:
|Red(Q)∩Sn(B)|
|Sn(B)| ≪n
Bnlog2B
2B(2B + 1)n B ∈ N. (3.3) Mục đích của chúng tôi là sử dụng kết quả trên để có được một số ước tính về số đa thức khả quy và đa thức nghịch đảo bất khả quy, Chúng ta coi tập Red(R) ∩S2n(B) đây là tập đa thức nghịch đảo với hệ số nguyên và chuẩn vô cùng của B.
Kết quả đầu tiên của chúng tôi thu được chính là |Red(R)∩S2n(B)|.
Định lý 3.2.1. Cho B là một số nguyên dương. Khi đó
|Red(R)∩ S2n(B)| ≪n Bnlog2B.
Chứng minh. Từ Mệnh đề 2.4.2 chúng ta thấy rằng:
R(Red(R)∩S2n(B)) ⊂ Red(Q)∩Sn(B′).
trong đó B′ = Ln+2B và do đó
|Red(R)∩S2n(B)| ≤ |Red(Q)∩Sn(B′)|.
Ta thế |Red(Q)∩Sn(B)| ≤n Bnlog2B vào vế phải của bất đẳng thức trước ta suy ra:
|Red(R)∩S2n(B)| ≪ n(Ln+2B)n(log(Ln+2B))2.
Điều này cho ta thấy phát biểu của mệnh đề này liên quan đến một hằng số.
Nhắc lại với bất kỳ f ∈ R bậc 2n được cho bởi vectơ hệ số. [f] = (an, an−1, . . . , a1, a0) ∈ Qn+1 với an ̸= 0. Chúng ta có |R ∩Sn(B)| = 2B(2B+ 1)n với B ∈ N. và từ Định lý 3.2.1 ta có mệnh đề |Red(R)∩S2n(B)| |R ∩S2n(B)| <<n Bn(logB)2 2B(2B + 1)n. (3.4) Tiến đến 0 khi B tiến tới vô cùng.
Từ đó ta nói rằng: Tất cả các đa thức trong R với hệ số nguyên là bất khả quy trong R.
Định lý 3.2.2. Cho B là số nguyên lớn hơn hoặc bằng 2. Khi đó
|R2 ∩S2n(B)| ≤ 4B √
B(2 √
B + 1)n.
Chứng minh. Từ Mệnh đề 2.4.3, ta thấy rằng với f ∈ R2 ∩ S2n(B), tồn tại
một đa thức bất khả quy g ∈ Z[t] với chuẩn vô cùng ∥g∥∞ ≤ √B sao cho
f = aggrev với a là một số nguyên khác không a ∈ [−B, B].
Theo Bổ đề 2.2.2 chúng ta có rằng |R2 ∩S2n(B)| ≤ 2B|{ggrev : g ∈ Irred(Q)} ∩Sn( √ B)|. Mặt khác ta có |{ggrev : g ∈ Irred(Q)}| ∩Sn( √ B) ≤ 2 √ B(2 √ B + 1)n.
Từ đó ta dễ dàng có được kết quả của định lý trên. Theo kết quả của Định lý (3.2.2), ta suy ra
|R2 ∩ S2n(B)| R ∩S2n(B) ≤ 2√ B 2 √ B + 1 2B + 1 !n ≤ 2 √ B (√ B − 12)n. (3.5)
Từ (3.4) và (3.5) chúng ta thấy rằng hầu hết các đa thức trong R∩S2nB là bất khả quy trên Q khi B tiến đến vô cùng.
Định lý 3.2.3. Tất cả đa thức f ∈ R với hệ số nguyên là bất khả quy trên
Q.
Tóm lại khi chúng ta xem xét một đa thức trong R. Chúng ta phải xác định được rằng nó là một đa thức bất khả quy trên Q. Do đó điều quan trọng là chúng ta phải có các tiêu chí để xác định tính bất khả quy của đa thức.
Kết luận
Dựa theo các tài liệu tham khảo, luận văn đã trình bày được một số vấn đề sau:
1. Trình bày khái niệm, tính chất và một số kĩ thuật tính toán đối với đa thức thuận nghịch.
2. Trình bày tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức thuận nghịch và mối liên hệ giữa tính bất khả quy trên Q và tính thuận nghịch bất khả quy.
Tài liệu tham khảo
[1] A. Cafure and E. Cesaratto Source, "Irreducibility Criteria for Reciprocal Polynomials and Applications", The American Mathematical Monthly,
Vol. 124, No. 1 (January 2017), pp. 35 - 53.
[2] E. J. Barbeau, "Polynomials", Problem Books in Mathematics, Springer- Verlag, New York, 1989.
[3] M. Filaseta, Course notes on The Theory of Irreducible Polynomials, University of South Carolina, 2013.