Trong các mục trước, chúng tôi đã đưa ra một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của các bài toán tối ưu, bất đẳng thức tựa biến phân véctơ, tựa
cân bằng véctơ. Trong mục này, chúng tôi sẽ xét một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa không điểm liên quan tới ánh xạ đa trị là tổng của hai ánh xạ, tức là F = G+H với G : D ×K → 2X là ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và H : D×K →2X là ánh xạ nửa liên tục trên yếu vô hướng. Ta có định lý:
Định lý 2.3.1. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: 1. D, K là các tập lồi, compact, khác rỗng;
2. P : D ×K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng;
3. Q :D ×K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; 4. G là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng;
5. H là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
6. Với mỗi (x, y) ∈ P(x, y) ×Q(x, y), ∅ ̸= (G(x, y) −x) + (H(x, y) ∩
TP(x,y)(x)) ⊂ TP(x,y)(x).
Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D ×K sao cho: 1. x ∈ P(x, y);
2. y ∈ Q(x, y);
3. 0∈ G(x, y) +H(x, y).
Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ G∗ :D ×K → 2X xác định bởi G∗(x, y) = G(x, y)−x,(x, y) ∈ D ×K.
Khi đó, với mọi (x, y) ∈ D ×K, G∗ là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng. Khi đó, ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.3.2. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: 1. D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
2. P : D ×K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
3. Q :D ×K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; 4. G là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng;
5. H là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị lồi, đóng;
6. Với mỗi (x, y) ∈ P(x, y) × Q(x, y), x /∈ G(x, y) +H(x, y) và ∅ ̸= (G(x, y)−x) + (H(x, y)∩TP(x,y)(x)) ⊂TP(x,y)(x).
Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D ×K sao cho: 1. x ∈ P(x, y);
2. y ∈ Q(x, y);
3. G(x, y) +H(x, y) = ∅.
Chứng minh. Ta giả sử rằng G(x, y) + H(x, y) ̸= ∅, với mọi (x, y) ∈
P(x, y)×Q(x, y). Suy ra, với mọi(x, y) ∈ P(x, y)×Q(x, y), hoặcG(x, y) ̸=
∅ hoặc H(x, y) ̸= ∅. Do đó, (G(x, y) − x) + (H(x, y) ∩ TP(x,y)(x)) ⊂
TP(x,y)(x).
Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D ×K sao cho: 1. x ∈ P(x, y);
2. y ∈ Q(x, y);
3. x ∈ G(x, y) +H(x, y).
Ta thấy điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.3.3. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: 1. D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
2. P : D ×K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
3. Q :D ×K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; 4. G :D ×K → 2X là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; 5. Với mọi (x, y) ∈ P(x, y) × Q(x, y), x /∈ G(x, y) và G(x, y) − x ⊂
TP(x,y)(x)
Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D ×K sao cho: 1. x ∈ P(x, y);
2. y ∈ Q(x, y); 3. G(x, y) = ∅.
Chứng minh. Giả sử với mọi G(¯x,y¯) ̸= ∅,∀(x, y) ∈ P(x, y)×Q(x, y), ta xác định ánh xạ G˜ : D ×K →2X,H˜ :D ×K → 2Z : . ˜ G(x, y) =G(x, y)−x; ˜ H(x, y) =y,(y, x) ∈ D ×K. Khi đó,G˜(x, y) ̸= ∅∀(x, y) ∈ P(x, y)×Q(x, y)vàG˜(x, y) ∈ TP(x,y)(x),H˜(x, y)−
y = 0 ∈ TQ(x,y)(y). Chúng ta kết luận được G˜(x, y)là ánh xạ đa trị l.s.c và ˜
G(x, y) ̸= ∅∀(x, y) ∈ P(x, y)×Q(x, y). Hơn nữa, với (¯x, by¯) ∈ D ×K, sao cho:
1. x ∈ P(x, y); 2. y ∈ Q(x, y); 3. x ∈ G(x, y).
Điều đó là mâu thuẫn, vậy ta có điều phải chứng minh. Hệ quả 2.3.4. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
1. D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
2. P : D ×K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
4. H : D ×K →2Z là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; 5. Với mọi (x, y) ∈ P(x, y) × Q(x, y), y /∈ H(x, y) và H(x, y) − y ∩
TQ(x,y)(y) ̸= ∅.
Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D ×K sao cho: 1. x ∈ P(x, y);
2. y ∈ Q(x, y); 3. H(x, y) =∅.
Chứng minh. Giả sử với mọi H(x, y) ̸= ∅,∀(x, y) ∈ P(x, y)×Q(x, y), ta xác định ánh xạ G˜ : D ×K →2X,H˜ :D ×K → 2Z : ˜ G(x, y) = x; ˜ H(x, y) = H(x, y)−y,(y, x) ∈ D ×K. Khi đó,H˜(x, y) ̸= ∅,∀(x, y) ∈ P(x, y)×Q(x, y)vàH˜(x, y) ⊂ TQ(x,y)(y) ̸= ∅. Chúng ta kết luận đượcH˜(x, y)là ánh xạ đa trị u.s.c vàH˜(x, y) ̸= ∅∀(x, y) ∈
P(x, y)×Q(x, y). Hơn nữa, với (¯x, by¯) ∈ D ×K, sao cho: 1. x ∈ P(x, y);
2. y ∈ Q(x, y); 3. x ∈ H(x, y).
Điều đó là mâu thuẫn, vậy ta có điều phải chứng minh.
2.3.1 Bài toán cân bằng tổng quát và sự tồn tại nghiệm của bài toán
Cho X, Z và Y là các không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Haus- dorff,D ⊂ X, K ⊂ Z là các tập con khác rỗng. Cho các ánh xạS :D×K →
2D, T : D ×K → 2K;P1 : D → 2D, P2 : D → 2D, Q : K × D → 2K và F1 : K×D×D×D →2Y, F : K ×D×D → 2Y, ta xét các bài toán sau:
1/ x¯∈ S(¯x,y¯); 2/ y¯∈ T(¯x,y¯);
3/ 0 ∈ F1(¯y,x,¯ x, z¯ ), với mọi z ∈ S(¯x,y¯).
bài toán này được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I. B/ Tìm x¯∈ D sao cho
¯
x ∈ P1(¯x)
và
0∈ F(y,x, t¯ ),với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t). Bài toán này được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II.
Trong bài toán trên, ta gọi các ánh xạ S, T, P1, P2 và Q là các ràng buộc, F1 và F được gọi là các ánh xạ mục tiêu, chúng có thể là các đẳng thức, bất đẳng thức, các bao hàm thức, bất bao hàm thức, tương giao của các ánh xạ đa trị, hoặc các quan hệ trong các không gian tích. Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I đã được nghiên cứu chi tiết trong luận văn của tiến sĩ Trương Thị Thùy Dương. Trong chương này, chúng tôi chủ yếu nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II. Trong mục này ta đưa ra một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II. Từ kết quả dưới đây ta cũng thu được các kết quả cho các bài toán liên quan. Ta có;
Định lý 2.3.5. Các điều kiện sau là đủ để bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II có nghiệm:
(i) D là tập con lồi, compắc, khác rỗng;
(ii) Ánh xạ đa trị P1 : D → 2D có tập điểm bất động D0 = {x ∈ D| x ∈
(iii) Ánh xạ đa trị P2 : D →2D có P2−1(x) mở và bao lồi coP2(x) của P2(x)
chứa trong P1(x) với mọi x ∈ D;
(iv) Với mỗi t∈ D cố định, tập
B = {x ∈ D| 0 ∈/ F(y, x, t), với một vài y ∈ Q(x, t) nào đó }
mở trong D;
(v) F : K ×D ×D → 2Y là ánh xạ đa trị Q−KKM.
Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị M : D → 2D xác định bởi M(x) ={t ∈ D| 0 ∈/ F(y, x, t), với vàiy ∈ Q(x, t) nào đó}. Ta thấy rằng nếu có x¯∈ D,x¯ ∈ P1(¯x), mà M(¯x)∩P2(¯x) = ∅, thì
0∈ F(y,x, t¯ ), với mọi t ∈ P2(¯x)và y ∈ Q(¯x, t)
khi đó định lý được chứng minh. Sau đây ta sẽ chứng tỏ rằng tồn tại một điểm x¯ như vậy. Bằng phản chứng, ta giả sử rằng với mọi x ∈ P1(x), đều suy ra rằng M(x)∩ P2(x) ̸= ∅. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị H : D → 2D
với
H(x) =
(
co(M(x)∩P2(x)), nếu x ∈ P1(x);
P2(x), trong các trường hợp còn lại . Giả sử H(x) ̸= ∅, với mọi x ∈ D, ta có D = S
x∈DH−1(x). Hơn nữa,
H−1(x) = (coM)−1(x)∩(coP2)−1(x)∪(P2−1(x)\D0),
ở đây D0 = {x ∈ D : x ∈ P1(x)} là tập con đóng trong D. Vì vậy, H−1(x)
là tập mở trong D, với mọi x ∈ D. Hơn nữa, nếu tồn tại điểm x¯ ∈ D sao cho x¯∈ H(¯x) = coM(¯x)∩coP2(¯x), thì ta có thể tìm được t1, ..., tn ∈ M(¯x)
để x¯= n P 1 αiti, αi ≥ 0, n P 1 αi = 1. Từ định nghĩa của M, ta có
Mặt khác, từ giả thiết F là ánh xạ Q−KKM, tồn tại chỉ sốj ∈ {1, ..., n}sao cho
0∈ F(y, x, tj), với mọi y ∈ Q(x, tj)
và ta có mâu thuẫn. Như vậy, với mọix ∈ D, x /∈ H(x).Từ đây, ta suy ra tồn tạix¯∈ D so cho H(¯x) = ∅. Nếux /¯ ∈ P1(¯x),thìH(¯x) =P2(¯x) = ∅,điều này không xảy ra. Nghĩa là, ta có x¯∈ P1(¯x) và H(¯x) = coM(¯x)∩coP2(¯x) =∅. Từ mâu thuẫn này, định lý được chứng minh.
Giảm nhẹ điều kiện cho ánh xạ P2, bài toán trên vẫn có nghiệm. Ta có định lý sau,
Định lý 2.3.6. Nếu các điều kiện sau xảy ra: (i) D là tập con lồi, compắc, khác rỗng;
(ii) P1 : D → 2D có tập điểm bất động D0 = {x ∈ X| x ∈ P1(x)} in D khác rỗng và đóng;
(iii) P2 nửa liên tục dưới với giá trị khác rỗng và với mỗi x ∈ D, P1(x)
chứa bao lồi coP2(x) của P2(x); (iv) Với mỗi t∈ D cố định, tập hợp
B = {x ∈ D| 0∈/ F(y, x, t), với vài y ∈ Q(x, t) nào đó mở trong D;
(v) F : K ×D ×D → 2Y là ánh xạ Q−KKM, thì bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II có nghiệm.
Chứng minh. Cho U là cơ sở lân cận lồi đóng của gốc trong không gian X. Với mọi U ∈ U, ta định nghĩa ánh xạ đa trị P1U, P2U : D → 2D xác định bởi
PiU(x) = (Pi(x) +U)∩D, i= 1,2, x ∈ D.
Ta dễ dàng chứng minh được rằng P2−U1(t) là tập mở trong D với mọi t∈ D và bao lồi coP2U(x) của P2U(x) được bao hàm trong P1U(x) với mọi x ∈ D.
Vì vậy, P1U, P2U, Q và F thỏa mãn tất cả các điều kiện, cho nên tồn tại ¯ xU ∈ D để ¯ xU ∈ P1(¯xU) và 0∈ F(y,x¯U, t),với mọi t ∈ P2(¯xU) và y ∈ Q(¯xU, t).
Bởi tính compắc của D, không giảm tính tổng quát, ta giả sử rằng x¯U hội tụ tới x¯khi U giảm. Tính đóng của P1 suy ra x¯ ∈ P1(¯x). Cho t∈ P2(¯x) tùy ý. Tập hợp
B = {x ∈ D| 0∈/ F(y, x, t), với một vài y ∈ Q(x, t) nào đó}
mở trong D và do vậy tập
A= {x ∈ D| 0 ∈ F(y, x, t), với mọi y ∈ Q(x, t)}
là tập đóng trong D. Từ x¯U ∈ A và x¯U hội tụ tới x, ta có¯ x¯ ∈ A. Như vậy
0 ∈ F(y,x, t¯ ) với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t).
Hệ quả 2.3.7. Giả thiết các điều kiện sau được thỏa mãn: i) D, K là các tập lồi, compắc, khác rỗng;
ii) P là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; iii) Với mỗi t ∈ D cố định, tập
B = {x ∈ D| 0 ∈/ F(y, x, t), với một vài y ∈ Q(x, t) nào đó}
mở trong D;
iv) F :K ×D ×D →2Y là ánh xạ đa trị Q−KKM. Khi đó, bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II có nghiệm.
Kết luận
Trong luận văn này, tôi nghiên cứu về bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên, sự tồn tại nghiệm của bài toán. Các kết quả chính bao gồm:
1) Trình bày về khôg gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Hausdoff, nón, ánh xạ đa trị.
2) Giới thiệu về bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên, chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán qua định lí 2.2.1.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Xuân Tấn và Nguyễn Bá Minh,(2005), "Một số vấn đề trong lý thuyết tối ưu vecto đa trị", Nhà xuất bản giáo dục.
[2] Duong, T.T.T., and Tan, N.X,(2010), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems of type I and Related Prob- lems". Adv Nonlinear Var Inequal. 13, No. 1, 29-47.
[3] Duong,T.T.T., and Tan, N.X., (2010), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems of type II and Related Prob- lems". Adv Nonlinear Var Inequal. 13, No. 1, 29-47.
[4] Fan, K.,(1972). "A minimax inequality and application, in Inequalities III", O. Shisha (Ed), Aca Press, New-York.
[5] Fan, K., (2000), "Some sufficient conditions for the existence of equi- librium points concerning multivalued mappings", Vietnam Jour of Math, 28, 295-310.
[6] Tan, N.X., Minh, N.B., Hoa, N.Q., (2018), "Quasiquasi-equilibrium problems and Fixed point Theorem of the sum L.S.C and U.S.C map- pings". Minimax Theory Apl.3.No.1, 57-72.