Giả sử ph-ơng trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên [a, b], f ∈ C2
[a,b], và f0, f”
không đổi dấu trên [a, b]. Điểmx∈[a, b]đ-ợc gọi là điểm Fourier, nếuf(x)f”(x)>0. a) Tr-ờng hợpf0 <0, f”>0, ∀x∈ [a, b].Dễ thấy trong tr-ờng hợp này a là điểm Fourier vì f(a)>0.
Gọixk là xấp xỉ thứk của nghiệm, x0 =blà xấp xỉ ban đầu
- x 6 y 0 y=f(x) a ξ x2 x1 b M(a, f(a)) N0(b, f(b)) N1(x1, f(x1))
Hoành độ giao điểm của dây cung MNk và trục hoành trong đó M(a, f(a)) và
Nk(xk, f(xk))là xấp xỉxk+1.
Ph-ơng trình đ-ờng thẳng quaM và Nk nh- sau:
y=f(a) + f(xk)−f(a) xk−a (x−a). Choy = 0ta có: xk+1 =xk− f(xk)(xk−a) f(xk)−f(a). Suy ra xk+1−xk =− f(xk) f(xk)−f(a)(xk−a).
Cuối cùng ta nhận đ-ợc công thức dây cung
xk+1 =xk− f(xk)
f(xk)−f(a)(xk−a), k = 1,2, ...,+∞.
b) Tr-ờng hợp f0 >0, f”>0. Cũng t-ơng tự nh- tr-ờng hợp a) đã trình bày ở trên nh-ng với điểm blà Fourier và xấp xỉ ban đầu là ata có công thức lặp sau:
xk+1 =xk− f(xk)(xk−b) f(xk)−f(b).
Công thức sai số
1. Công thức sai số thứ nhất: Giả sử|f0(x)| ≥m >0, ∀x∈[a, b]. Khi đó có
|f(xk)|=|f(xk)−f(x∗)|
=|f0(uk)(xk−x∗)| ≥m|xk−x∗|.
Vậy ta có công thức sai số thứ nhất:
|xk+1−x∗| ≤ |f(xk)| m .
2. Công thức sai số thứ hai: Giả sử
∀x∈[a, b], 0< m≤ |f0(x)| ≤M.
Từ công thức dây cung ta có:
xk+1 =xk− f(xk)(xk−a) f(xk)−f(a).
Suy ra
−f(xk) = f(xk)−f(a)
xk−a (xk+1−xk).
Xét vế trái, dof(x∗) = 0và từ công thức số gia, tồn tạiuk ∈(x∗, xk)sao cho
−f(xk) = f(x∗)−f(xk) = (x∗−xk)f0(uk).
Xét vế phải, từ công thức số gia, tồn tạix¯k ∈(xk+1, xk)sao cho
f(xk)−f(a) xk−a .(xk+1−xk) =f 0( ¯xk)(xk+1−xk). Vậy (x∗−xk)f0(uk) = f0( ¯xk)(xk+1−xk). Từ đó (x∗−xk+1+xk+1−xk)f0(uk) = f0( ¯xk)(xk+1−xk). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hay |x∗−xk+1|= |f 0( ¯xk)−f0(uk)| |f0(uk)| .|xk+1−xk|. Hơn nữa do |f0( ¯xk−f0(uk)| ≤M −m,
suy ra có công thức sai số thứ 2,
|xk+1−x∗| ≤ M −m
m |xk+1−xk|.
Ví dụ: Giải ph-ơng trình f(x) = x3 − 0.02x2 −0.2x−1.2 = 0 trên [0,1.5] với
²= 0.002.
Dễ thấy điểm Fourier làb = 1.5vàm = 3.49. Đặt
fn =x3 n−0.2x2 n−0.2−1.2 ta có xn+1 =xn− fn 1.425−fn (1.5−xn).
Bởix3 = 1.198, f(x3)' −0.0072. Sai số cho bởi
|x3−x∗ |< 0.0072
3.49 '0.002.