Chúng ta biết rằng hàm sóng mô tả chuyển động của vi hạt tự do có năng lượng xác định, động lượng xác định được biểu diễn dưới dạng sóng phẳng Broglie. Bây giờ
chúng ta muốn tìm hàm sóng mô tả chuyển động của vi hạt ở trong trường ngoài. Muốn thế, ta phải đi tìm phương trình cho hàm sóng. Trước hết, ta tìm phương trình cho sóng phẳng Broglie:
Khi lấy đạo hàm của hàm ψ( )r,t =ψ(x,y,z,t) theo thời gian ta có:
và lấy đạo hàm cấp hai của ψ( )r,t theo x,y,z, rồi cộng lại ta được:
Nhưng với hạt chuyển động tự do thì năng lượng W chính là động năng, nên:
và khi đó (2- 34) trở thành:
Kết quả ta có phương trình:
toán tử Laplatce(1) trong tọa độ Dercartes(2).
Hoặc từ (2- 33) ta có thể viết (2- 35) dưới dạng:
Phương trình dạng (2-35) hay dạng (2-36) chính là phương trình Schrôdinge: phương trình cơ bản của cơ học lượng tử. Đó là phương trình sóng - một phương trình vi phân có đạo hàm riêng hạng hai tuyến tính.
Ở trên ta đã đưa được ra biểu thức của hàm sóng tự do (sóng phẳng Broglie) ở
1. Pierre Si mon Laplace (23.3.1749 - 5.3.18'7) người Pháp.
trạng thái có năng lượng W và động lượng P không đổi ; đó chính là tráng thái dừng (là trạng thái có năng lượng không phụ thuộc thời gian), nên trong biểu thức của hàm sóng ấy ta có thể tách riêng phần phụ thuộc tọa độ:
và phần phụ thuộc thời gian:
Thay ψ(r,t)=ψ(r).ψ(t) vào (2-36) ta có phương trình cho phấn phụ thuộc tọa độ
không gian của hàm sóng:
Phương trình (2- 37) cho phép xác định hàm tọa độ không gian ψ(r)đối với vi hạt tự do. Bây giờ ta muốn tổng quát hóa phương trình (2- 37) cho hạt chuyển động trong trường lực. Cơ sở cho việc tổng quát hóa là việc giả thuyết W trong phương trình (2-37) là động năng. Thật vậy, trong chuyến động tự do động năng trùng với năng lượng toàn phần, và với U(r) là thế năng vi hạt trong trường lực thế thì phương trình (2- 37) sẽ có dạng:
Phương trình (2-38) là phương trình Schrödinger cần tìm đối với hạt chuyển
động ở trong trường thế tùy ý, không phụ thuộc vào thời gian.
Nói chung nghiệm ψ(r) của phương trình Schrödinger ứng với bất kỳ giá trị nào của W, nhưng không phải giá trị nào của W cũng ứng với một trạng thái vật lý. Chỉ có nghiệm ψ(r) đơn trị, liên tục và hữu hạn thì mới có thể biểu diễn một trạng thái vật lý.
Điều này được thỏa mãn khi W nhận những giá trịđặc biệt: là những giá trị gián đoạn và một giải những giá trị liên tục. Những giá trị gián đoạn của năng lượng W thì ứng với những nghiệm ψ(r) giảm nhanh về 0 khi tọa độ dẫn tới vô cực. Những trạng thái có năng lượng như thế gọi là trạng thái liên kết. Còn những giá trị liên tục của năng lượng W thì ứng với nghiệm hữu hạn ở vô cực và trạng thái tương ứng gọi là trạng thái không bị liên kết.
Chú ý rằng trong trạng thái dừng thì xác suất tìm thấy hạt ở trọng điểm nào đó của không gian không phụ thuộc vào thời gian, vì: Ψ(r,t)2=ψ(r,0)2, và vì thế phương trình (2- 38) còn gọi là phương trình Schrödinger dừng.