II. Các đề thi vào ban tự nhiên
thi vào 10 hệ THPT chuyên Lý 1989-
1990
Bài 1. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biêu thức 2 2 36
2 3
x x
x
− + +
+ nguyên.
Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 3.
Bài 3. a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng m thì biểu thức m2 + m + 1 không phảI là số chính phơng.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng m thì m(m + 1) không thể bằng tích của 4 số nguyên liên tiếp.
Bài 4. Cho ∆ ABC vuông cân tại A. CM là trung tuyến. Từ A vẽ đờng vuông góc với MC cắt BC tại H. Tính tỉ số BH
HC .
Bài 5. Có 6 thành phố, trong đó cứ 3 thành phố bất kì thì có ít nhất 2 thnàh phố liên lạc đợc với nhau. Chứng minh rằng trong 6 thành phố nói trên tồn tại 3 thành phố liên lạc đợc với nhau.
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2004 Đại học khoa học tự nhiên(vòng1)
Bài 1. a) GiảI phơng trình 2
1 1 1 1
x+ + − = +x x − b) Tìm nghiệm nguyên cảu hệ 32 32 8
2xy yx x yxy 2y 2x 7
+ + − =
− − + − =
Bài 2. Cho các số thực dơng a và b thỏa mãn a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 .Hãy tính giá trị biểu thức P = a2004 + b2004 .
Bài 3. Cho ∆ ABC có AB=3cm, BC=4cm, CA=5cm. Đờng cao, đờng phân giác, đ- ờng trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4 phần. Hãy tính diện tích mỗi phần.
Bài 4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn, có hai đờng chéo AC, BD vuông góc với nhau tại H (H không trùng với tâm cảu đờng tròn ). Gọi M và N lần lợt là chân các đờng vuông góc hạ từ H xuống các đờng thẳng AB và BC; P và Q lần lợt là các giao điểm của các đờng thẳng MH và NH với các đờng thẳng CD và DA. Chứng minh rằng đờng thẳng PQ song song với đờng thẳng AC và bốn điểm M, N, P, Q nằm trên cùng một đờng tròn .
Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 10 10 16 16 2 2 2 2 2 1 1 1 2( ) 4( ) ( ) x y Q x y x y y x = + + + − +
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2004 Đại học khoa học tự nhiên(vòng 2)
Bài 1. giảI phơng trình x− +3 x− =1 2
Bài 2. GiảI hệ phơng trình 22 22 15 3 ( )( ) (x y xx y x)( yy ) + + = − − =
Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 2
1 1 ( ) ( ) ( )( ) x y x y P x y + − + = − − với x, y là các số thực lớn hơn 1.
Bài 4. Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm trong hình vuông.
a) Tìm tất cả các vị trí của M sao cho ∠ MAB = ∠ MBC = ∠ MCD = ∠ MDA. b) Xét điểm M nằm trên đờng chéo AC. Gọi N là chân đờng vuông góc hạ từ M xuống AB và O là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng tỉ số OB
CN có giá trị không đổi khi M di chuyển trên đờng chéo AC.
c) Với giả thiết M nằm trên đờng chéo AC, xét các đờng tròn (S) và (S’) có các đờng kính tơng ứng AM và CN. Hai tiếp tuyến chung của (S) và (S’) tiếp xúc với (S’) tại P và Q. Chứng minh rằng đờng thẳng PQ tiếp xúc với (S).
Bài 5. Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vợt quá a và kí hiệu là [a]. Dãy số x0, x1, x2 …, xn, … đợc xác định bởi công thức
12 2 2 2 n n n x = + −