2.3.1 Vẽ tiếp tuyến đoạn thẳng với cung tròn từ một điểm cho trước
Trước khi thực hiện công việc này chúng ta cần ôn lại thao tác dựng hình: Vẽ tiếp tuyến của một đường tròn qua một điểm cho trước:
Ta chia ra hai trường hợp vẽ tiếp tuyến đi qua một điểm nằm trên đường tròn và vẽ tiếp tuyến đi qua một điển nằm ngoài đường tròn.
a. Vẽ tiếp tuyến đi qua điểm nằm trên đường tròn
Nếu điểm C cho trước nằm trên đường tròn (Hình 2.11). Nối tâm O với điểm C, vẽ đường vuông góc AB với bán kính OC ( áp dụng bài toán dựng hình vuông góc).
Hình 2.11 Tiếp tuyến qua điểm nằm trên đường tròn
b. Vẽ tiếp tuyến đi qua điểm nằm ngoài đường tròn(Hình 2.12)
Điểm C cho trước ở ngoài đường tròn. Nối điểm C với tâm O, và tìm trung điểm I của OC, đường tròn phụ bán kính IO cắt đường tròn tâm O tại hai điểm T và T . nối CT và CT , đó là hai tiếp tuyến phải dựng.
Hình 2.12 Tiếp tuyến qua điểm nằm ngoài đường tròn
2.3.2 Vẽ tiếp tuyến chung với hai cung tròn
Vẽ tiếp tuyến chung với hai đường tròn tâm O1 và O2 có bán kính R1 và R2 cho trước, cách vẽ như sau:
a. Tiếp tuyến chung ngoài(Hình 2.13)
Vẽ đường tròn phụ tâm O1 bán kính bằng R1 - R2, rồi từ tâm O2 vẽ tiếp tuyến với đường tròn phụ tiếp xúc tại A. Nối O1A và kéo dài, nó cắt đường tròn tâm O1 tại T1, từ tâm O2 kẻ đường O2T2 song song với O1T1. Đường T1T2 là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn tâm O1 và O2. Tương tự như trên ta vẽ được tiếp tuyến thứ hai T'
1T'
2 đối xứng với T1 T2 qua O1O2.
b. Tiếp tuyến chung trong ( Hình 2.14)
Vẽ đường tròn đồng tâm với một đường tròn có bán kính là tổng bán kính. Vẽ đường thẳng qua tâm đường tròn kia và tiếp tuyến với đường tròn ta vừa dựng. Tương tự trường hợp trước, ta cũng vẽ được đường thẳng nối tiếp cung tròn tiếp xúc trong. Trường hợp này đường tròn phụ có bán kính bằng tổng bán kính của hai đường tròn đã cho. Gọi khoảng cách hai tâm O1, O2 là d, ta có:
Nếu d > R1 + R2 Thì có hai tiếp tuyến chung trong. Nếu d = R1 + R2 Thì có một tiếp tuyến tại tiếp điểm.
T1 T2 T’2 T’1 o1 o2 R2 R1 R1- R2 A B
Nếu d < R1 + R2 Thì không có tiếp tuyến chung trong.
Hình 2.14 Vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn
2.3.3 Nối tiếp hai đường thẳng bằng một cung tròn
a. Vẽ cung tròn nối tiếp với hai đường thẳng song song
Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau, vẽ cung tròn nối tiếp với hai đường thẳng đó. Cách dựng như sau ( Hình 2.15a).
Kẻ đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng d1 và d2 cắt d1 và d2 tại hai điểm T1 và T2. Tìm trung điểm của đoạn T1T2, Đó là tâm cung tròn. Vẽ cung tròn T1T2 tâm O, bán kính OT1.
b. Vẽ cung tròn nối tiếp với hai đường thẳng cắt nhau
Cho hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau nhau, vẽ cung tròn bán kính R nối tiếp với hai đường thẳng đó. Cách dựng như sau (Hình 2.15b,c).
Vẽ hai đường thẳng song song từ phía trong goc với cả hai đường thẳng d1,d2 đồng thời cách hai đường thẳng một khoảng là R, Hai đường thẳng cắt nhau ở một điểm O, điểm đó chính là tâm của cung lượn giữa hai đường thẳng.
R R R R R R R R O O O O T1 T1 T1 T2 T2 T2 d2 d1 d1 d1 d2 a) b) c)
Hình 2.15 Vẽ cung tròn nối tiếp với hai đường thẳng R1 o1 T1 T’1 T’2 R1+ R2 R2 T2
Lấy điểm đó làm tâm vẽ cung tròn tiếp xúc với hai đường d1 và d2 ta có cung nối tiếp giữa hai đường thẳng cắt nhau.
2.3.4 Nối tiếp đường thẳng và cung tròn bằng một cung tròn khác
a. Trường hợp tiếp xúc ngoài
Cho cung tròn tâm O1, bán kính R1 và đường thẳng d. vẽ cung tròn bán kính R nối tiếp với cung tròn O1 và đường thẳng d, đồng thời tiếp xúc với cung tròn O1. cách vẽ như sau: (Hình 2.16a).
Vẽ đường thẳng song song với đường thẳng d và cách d một khoảng bằng R. lấy O1 làm tâm, vẽ đường tròn phụ bán kính bằng R+R1. Đường thẳng song song với d và đường tròn vừa vẽ cắt nhau tại O, đó là tâm cung tròn nối tiếp. Đường OO1 cắt cung tròn tâm O1 tại T1 và chân đường vuông góc kẻ từ O đến d là T2 , T1 và T2 là hai tiếp điểm. Lâý O làm tâm vẽ cung tròn tiếp xúc bán kính R.
b. Trường hợp tiếp xúc trong
Cũng bài toán như trên, nhưng vẽ cung tròn tiếp xúc trong với cung tròn đã cho. Cách vẽ tương tự như trên. Nhưng ở đây đường tròn phụ có bán kính bằng R-R1 (Hình 2.16b).
2.3.5 Vẽ cung tròn nối tiếp với hai cung tròn khác
Cho hai cung tròn tâm O1 và O2, bán kính R1 và R2 , vẽ cung tròn bán kính R nối tiếp với hai cung tròn đã cho.
a. Trường hợp tiếp xúc ngoài(Hình 2.17a)
Vẽ hai cung tròn phụ tâm O1 và O2 bán kính bằng: R+R1 và R+R2. Hai cung tròn phụ cắt nhau tại O, đó là tâm cung tròn nối tiếp. Đường nối tâm OO1 và OO2 cắt cung tròn O1 và O2 tại hai điểm T1 và T2, đó là hai tiếp điểm. Vẽ cung tròn nối tiếp tân O, bán kính R.
R1 R1+R R R T1 O1 O T2 d R1 R - R1 R R O1 b) a)
Hình 2.16 Vẽ cung tròn nối tiếp đoạn thẳng và cung tròn O
T1
b. Trường hợp tiếp xúc trong(Hình 2.17b)
Cách vẽ tương tự như trên. ở đây hai cung tròn phụ có bán kính bằng R - R1 và R - R2.
c. Trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài
Cách vẽ tương tự như trên, nhưng ở đây một cung tròn phụ có bán kính bằng hiệu hai bán kính R-R1 và một cung tròn phụ có bán kính bằng tổng hai bán kính R+R2. (Hình 2. 18)