III. Phương pháp/kỹ thuật dạy học tích cực có thể sử dụng:
4. là các số tự nhiên chia 4 dư 1, vớ
100 + Do mỗi 100 giác đó được đếm 100 lần, nên số cách tô màu là:
+ Do mỗi 100 - giác đó được đếm 100 lần, nên số cách tô màu là:
Ví dụ 3: Cho tam giác có diện tích bằng 27. Một điểm P nằm trong tam giác được gọi là
“điểm tổr nếu có thể tìm được 27 tia chung gốc P chia tam giác thành 27 tam giác con
có cùng diện tích? Đếm số điểm P?
LỜI GIẢI
+ Nhận xét: - Các tia PA, PB, PC đều thuộc 27 tia chung gốc P của điểm tốt P.
-••':■••••':• đều là các số nguyên dương.
+ Với mỗi điểm tốt P , đặt = " ' = " = •' - 1 : Dễ thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (*) là = -
Bổ đề: “Với mỗi điểm L4J LLI LHMI P nằm trong tam giác I ABC, ta luôn có: ”
Từ hệ thức này ta dễ dàng chứng minh được rằng với mỗi bộ (x; y; z) chỉ tồn tại
duy nhất một điểm P.
Do đó, số điểm tốt P là: 325.
DẠNG 6: Lưới tọa độ.
Ví dụ 1: Cho 1 lưới gồm các ô vuông, các nút được đánh số từ 0 đến m theo chiều từ trái sang phải và từ 0 đến n theo chiều từ dưới lên trên (như hình vẽ):
Hỏi có bao nhiêu đường đi khác nhau từ nút (0; 0) đến nút (m; n) nếu chỉ cho phép đi trên cạnh các ô vuông theo chiều từ trái sang phải hoặc từ dưới lên trên.
+ Một con đường đi thỏa mãn yêu cầu bài toán trên trải qua m + n bước do mỗi bước chỉ có 2 cách di chuyển (đây cũng chính là con đường ngắn nhất để di chuyển từ nút (0;0) đến nút (m; n)).
+ Trong m + n bước đó, ta chọn ra m bước để để di chuyển sang phải, còn n bước còn lại ta di chuyển lên trên. Khi đó số con đường di chuyển là: ... ...■
Ví dụ 2: Trên bàn cờ 5x4 ô vuông như hình vẽ dưới đây, người chơi chỉ được di chuyển quân theo các cạnh của hình vuông, mỗi bước đi được một cạnh. Có bao nhiêu cách di chuyển quân từ điểm A đến điểm B bằng 9 bước?
LỜI GIẢI
Di chuyển quân từ A đến B bằng 9 bước do đó đây chính là con đường di chuyển ngắn nhất, tức là ở mỗi bước di chuyển chỉ được phép lên trên hoặc sang phải. Do đó theo ý trên ta suy ra số cách di chuyển là: > :'
DẠNG 7: Vận dụng tư duy vách ngăn.
Ví dụ 1: Thầy Bình trồng 3 cây lim, 4 cây long não và 5 cây xà cừ trên một hàng một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để không có 2 cây xà cừ nào được trồng cạnh nhau?
LỜI GIẢI
, < |VJ = 12L
+ Ta có:
+ Biến cố A: “Không có 2 cây xà cừ nào được trồng cạnh nhau”
- Trồng 7 cây gồm lim và long não có 7! cách.
- Mỗi cách trồng 7 cây đó, giữa 7 cây có 8 khoảng trống, ta chọn 5 khoảng trống trong 8 khoảng trống đó để trồng các cây xà cừ, số cách chọn vị trí là: (
- Mỗi cách chọn vị trí đó có 5! cách trồng các cây xà cừ.
. . . . 7!r\S! 7
|.-í I = 7 !C; 5! ® p /! = * = —
Do đó:
Ví dụ 2: Trong một giải bóng đá có 10 trận đấu được diễn ra trong vòng 30 ngày. Hỏi ban tổ chức có bao nhiêu cách sắp xếp lịch thi đấu các trận đấu sao cho 2 trận đấu kề nhau phải cách nhau ít nhất một ngày?
Dựa theo giả thiết ta suy ra ngày thứ 1 và ngày thứ 30 mỗi ngày có 1 trận. Do đó số cách sắp xếp các trận bằng số cách đặt 8 trận còn lại vào 19 khoảng trống giữa 20 ngày mà không có trận đấu diễn ra. Do đó, số cách sắp xếp lịch thi đấu là: = •'■■■■
Ví dụ 3: Một lớp có 36 học sinh được xếp theo một hàng ngang sao cho khoảng cách giữa hai người cạnh nhau là 0,5 mét. Có bao nhiêu cách chọn ra 10 học sinh trong hàng đó để sau khi chọn ra không tồn tại khoảng trống lớn hơn 1 mét giữa hai học sinh cạnh nhau trong số các học sinh còn lại trong hàng?
LỜI GIẢI
Yêu cầu bài toán chính là số cách chọn ra 10 người trong hàng sao cho không có 2 người nào đứng cạnh nhau. Giữa 26 người không được chọn có 27 khoảng trống, số cách đặt 10 người được chọn vào 27 khoảng trống cũng chính là số cách chọn thỏa mãn yêu cầu.
r ợ; = 8436285.
Do đó, số cách chọn là:
Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn nữ và 6 bạn nam vào 10 ghế ngồi mà không có hai bạn nữ nào được xếp cạnh nhau, nếu:
1. Ghế xếp thành hàng ngang. 2. Ghế xếp quanh bàn tròn.
LỜI GIẢI
1. Số cách xếp 6 bạn nam: 6!
Giữa 6 bạn nam có 7 khoảng trống, chọn 4 khoảng trống trong số đó và xếp 4 bạn nữ, số cách xếp là: 4
Do đó số cách xếp thỏa mãn là: " 4 ...
d) Cách thức tổ chức
Các dạng toán được thiết kế dưới dạng các gói câu hỏi, do các gói câu hỏi đã được các nhóm nghiên cứu nhận nhiệm vụ nên tùy thuộc vào việc lựa chọn gói câu hỏi thực hiện của các nhóm để tổ chức hoạt động:
+ Với các gói câu hỏi đã có nhóm nghiên cứu thực hiện: (Tiết 2) - Nhận xét, đánh giá kết quả của nhóm nghiên cứu.
- Chính xác hóa lời giải.
- Đưa ra các lưu ý liên quan đến dạng toán.
+ Với gói câu hỏi chưa có nhóm nghiên cứu nào thực hiện: (Tiết 3) - Tổ chức hoạt động nhóm trên lớp dưới sự hướng dẫn của giáo viên.
+ Giáo viên củng cố lại kiến thức bài học.
+ Giao bài tập: Học sinh làm hệ thống bài tập trắc nghiệm (Phụ Lục 8)