Mục này tìm hiểu tính đa thức của ir(InM) khi n đủ lớn, trong đó I là một iđêan m-nguyên sơ. Trước hết ta nhắc lại một số kết quả về hàm và đa thức Hilbert. Nhận xét 2.3.1. Cho R =L i≥0 Ri là một vành phân bậc, M = L i≥0 Mi là R-môđun
phân bậc. Nếu R là vành phân bậc Noether, M là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh
thì mỗi thành phần Mi làR0-môđun hữu hạn sinh. Hơn nữa nếu R0 là vành Artin thì Mi là Artin.
Từ nhận xét trên ta có định nghĩa hàm Hilbert như sau.
Định nghĩa 2.3.2. Cho R = L
i≥0
Ri là một vành phân bậc thuần nhất, Noether
sao cho R0 là vành Artin và M =L
i≥0
Mi là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh.
Hàm Hilbert hM(n) xác định bởi hM(n) =ℓ(Mn) với mọi n. Định lý 2.3.3. [4, Theorem4.1.3] Cho R = L i≥0 Ri là một vành phân bậc thuần
nhất, Noether sao cho R0 là vành Artin và M =L
i≥0
Mi là một R-môđun phân bậc
hữu hạn sinh chiều d. Khi đó tồn tại một đa thứcPM(x) với hệ số hữu tỉ bậc d−1
sao cho hM(n) =PM(n) với n ≫0.
Trước khi chứng minh kết quả chính, luận văn chứng minh chi tiết kết quả mở rộng của [12, Mệnh đề 2.12]. Mệnh đề 2.12 trong [12] trình bày kết quả cho iđêan, Mệnh đề 2.3.6 trong luận văn này trình bày chi tiết kết quả cho môđun.
Bổ đề 2.3.4 (Artin-Rees). Cho I là một iđêan của vành Noether R và M là R- môđun hữu hạn sinh, N là môđun con của M. Khi đó tồn tại k ≥ 0 sao cho với mọi số nguyên n
In+kM∩N =In(IkM ∩N).
Từ Bổ đề Artin-Rees, ta có các hệ quả sau.
Hệ quả 2.3.5. Cho I là một iđêan của vành Noether R và M là R-môđun hữu hạn sinh. Cho b ∈R. Khi đó tồn tại k ≥0 sao cho với mọi n
In+kM :M b=In(IkM :M b) + (0 :M b).
Chứng minh. Theo Bổ đề Artin-Rees, tồn tại k ≥0 sao cho với mọi số nguyên n
In+kM ∩bM =In(IkM ∩bM).
Do đó với mọi n, ta có
b(In+kM :M b) = In+kM ∩bM
=In(IkM ∩bM)
=bIn(IkM :M b).
Với mọi m∈In+kM :M b, ta có bm∈b(In+kM :M b). Kéo theo bm∈bIn(IkM :M b)
hay bm = bm′, trong đó m′ ∈ In(IkM :M b). Suy ra b(m−m′) = 0 hay m−m′ ∈
(0 :M b). Từ đó ta có
m=m′+ (m−m′)∈In(IkM :M b) + (0 :M b).
Do đó In+kM :M b⊆In(IkM :M b) + (0 :M b). Chiều ngược lại là hiển nhiên nên ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 2.3.6. Cho I, J là các iđêan của vành Noether R, M là R-môđun hữu hạn sinh, N1, ..., Nt, t ∈N là các môđun con của M. Khi đó
(i) Tồn tại k∈N sao cho
t \ i=1 (In+kM +Ni) = In( t \ i=1 (IkM +Ni)) + t \ i=1 Ni với mọi n.
(ii) Tồn tại k ∈N sao cho
In+kM :M J =In(IkM :M J) + 0 :M J
với mọi n.
Chứng minh. (i) Xét đơn cấu tự nhiên
φ:M/ t \ i=1 Ni→ t M i=1 M/Ni, φ(m+ t T i=1 Ni) = (m+N1, ..., m+Nt). Do đó ta có thể xem M/ t T i=1 Ni làR-môđun con của Lt
i=1M/Ni. Theo Bổ đề Artin-Rees, tồn tại k ∈N In+k( t M i=1 M/Ni)\(M/ t \ i=1 Ni) =In Ik( t M i=1 M/Ni)\(M/ t \ i=1 Ni) ! . 31
Lấy tạo ảnh qua toàn cấu tự nhiên M →M/ t \ i=1 Ni → t M i=1 M/Ni
ta có điều phải chứng minh.
(ii) Giả sử J = (b1, ..., bs)R. Theo Hệ quả 2.3.5, tồn tại k ≥0 sao cho với mọi n
In+kM :M bi ⊆InM + (0 :M bi).
Theo (i) tồn tại k ≥0 sao cho với mọi n
In+kM :M J = s \ i=1 (In+kM + 0 :M bi) =InM+ s \ i=1 (0 :M bi)
Tiếp theo ta nhắc lại một số kết quả về vành và môđun phân bậc. ChoGR(I) =
L
n≥0
In/In+1 là vành phân bậc của R tương ứng với I và GM(I) = L
n≥0
InM/In+1M
là GR(I)-môđun phân bậc của M tương ứng với I.
Định lý 2.3.7. [4, Theorem 4.5.6] Cho R một vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh và I một iđêan. Khi đó
dimGM(I) = dimM.
Định nghĩa 2.3.8. [4, Definition 4.6.7] Cho R là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhât m. Độ trải giải tích (analytic spread) ℓM(I) của I trên M được định nghĩa bởi
ℓM(I) = dimGR(I)(GM(I)/mGM(I)).
Iđêan I được gọi là đẳng bội nếu như htI = ℓ(I). Ta ký hiệu ℓ(I) là độ trải giải tích của iđêan I trên R.
Định lý 2.3.9. [4, 4.6.13] Cho (R,m) là vành địa phương Noether với iđêan cực đại m và I là iđêan của R. Khi đó
htI ≤ℓ(I)≤dimR.
Hơn nữa nếu I là m-nguyên sơ thì dấu đẳng thức xảy ra, tức là
htI =ℓ(I) = dimR.
Định lý 2.3.10. Cho R là vành địa phương với iđêan tối đại suy nhấtm,k =R/m và I là một iđêan của R. Khi đó
(i) dimkSoc(M/InM) =ℓR(InM :m/InM) là đa thức bậc ≤ℓM(I)−1 với n≫0.
(ii) Giả sử I là một iđêan m-nguyên sơ. Khi đó irM(InM) = ℓR(InM : m/InM)
là đa thức bậc dimRM −1 với n ≫0.
Chứng minh. (i) Xét môđun phân bậc liên kếtGM(I) =
∞ L n=0 InM/In+1M trên vành phân bậc liên kết GR(I) = ∞ L n=0 In/In+1. Ta có mGM(I) = ∞ M n=0 mInM/In+1M
là GR(I)-môđun con phân bậc của GM(I). Từ đó ta có môđun con phân bậc
0 :GM(I) mGM(I) của GM(I). Ta sẽ chứng minh
(0 :GM(I) mGR(I))n = ((In+1M :m)∩InM)/In+1M.
Ta có ((In+1M :m)∩InM)/In+1M ⊆InM/In+1M =GM(I)n. Với mọi x+In+1M ∈
((In+1M :m)∩InM)/In+1M,ta có x.m∈In+1M hayxm= 0. Kéo theoxmGR(I) = 0. Do đó (0 :GM(I) mGR(I))n ⊇ ((In+1M : m)∩InM)/In+1M. Ngược lại lấy x+
In+1M ∈GM(I)n thỏa mãn xmGR(I) = 0. Ta có xmGR(I)0 hay xm⊆ In+1M. Vậy
(0 :GM(I) mGR(I))n ⊆((In+1M :m)∩InM)/In+1M. Từ đó suy ra ℓR(((In+1M :m)∩InM)/In+1M) =ℓR(0 :GM(I) mGR(I))n =
là đa thức với n ≫0 theo Định lý 2.3.3. Theo Mệnh đề 2.3.6, tồn tại l thỏa mãn với mọi n≥l, 0 :M m∩InM = 0 và
In+1M :m=In+1−l(IlM :m) + 0 :M m.
Do đó
(In+1M :m)∩InM =In+1−l(IlM :m) + 0 :M m∩InM
=In+1−l(IlM :m).
Kéo theoℓR(In+1−l(IlM :m)/In+1M) = ℓR(((In+1M :m)∩InM)/In+1M)là đa thức với n≫0. Từ đó ta có
dimkSoc(M/InM) =ℓR((InM :m)/InM)
=ℓR(In−l(IlM :m)/InM) +ℓR(0 :M m)
là đa thức với n≫0, và bậc của đa thức này là
dimGR(I)(0 :GM(I) mGR(I))−1≤dimGR(I)(GM(I)/mGR(I))−1 =ℓM(I)−1. (ii) Khảng định thứ nhất được suy ra từ i. Lại có
ℓR(InM/In+1M) =ℓR(HomR(R/I, InM/In+1M))
≤ℓR(R/I)ℓR(HomR(R/m, InM/In+1M))
≤ℓR(R/I)irM(In+1M).
Hơn nữa ℓR(InM/In+1M) là đa thức bậc d−1 và ℓM(I)−1 ≤ d−1 nên ta có (ii).