Định nghĩa 1:
Phép tô màu của một đồ thị đơn là một quy tắc tô mỗi đỉnh đồ thị một màu cụ thể
sao cho không có 2 đỉnh kề nhau nào đƣợc tô cùng màu.
1 đồ thị có thể tô màu bằng các màu khác nhau cho mỗi đỉnh. Tuy nhiên, trong phần lớn các đồ thị, ta có thể tô bằng số màu ít hơn số đỉnh. Vậy số màu tối thiểu cần sử dụng
là bao nhiêu?
Định nghĩa 2:
Số màu của một đồ thị G ( kí hiệu c(G))là số màu tối thiểu cần sử dụng để tô màu đồ thị này.
Chú ý rằng số màu của 1 đồ thị phẳng chính là số màu tối thiểu cần sử dụng để tô màu các miền bản đồ phẳng sao cho không có 2 miền nào kề nhau và đƣợc tô cùng màu. Bài toán này đã đƣợc nghiên cứu hơn 100 năm,dẫn đến một trong các định lí nổi tiếng
nhất của toán học: Định lí 4 màu:
Số màu của 1 đồ thị phẳng không lớn hơn 4.
Giả thuyết 4 màu đƣợc đề ra từ những năm 1850. Nó cuối cùng đã đƣợc chứng minh bởi 2 nhà toán học Mĩ là Kenneth Appel và Wolfgang Haken năm 1976. Trƣớc đó, nhiều ngƣời đã đề ra các cách chứng minh khác nhau của bài toán, nhƣng tất cả đều sai và thƣờng mắc phải những lỗi khó phát hiện. Bên cạnh đó là những cố gắng vô ích trong việc phủ định giả thuyết bằng cách chỉ ra những bản đồ đòi hỏi nhiều hơn 4 màu.
Có lẽ, sai lầm nổi tiếng nhất là chứng minh đƣợc xuất bản năm 1879 bởi một luật sƣ ở Luân Đôn và một nhà toán học nghiệp dƣ, Afred Kempe. Các nhà toán học công nhận chứng minh này là đúng cho đến năm 1890, khi Percy Heawood tìm ra lỗi. Tuy nhiên,
B A C D F E G A B C D E a) b)
30 hƣớng lí luận của Kempe lại trở thành cơ sở cho thành công của Appel và Haken sau này. Chứng minh của họ dựa trên phân tích cẩn thận từng trƣờng hợp trên máy tính. Họ chỉ ra rằng nếu giả thuyết 4 màu sai, họ phải tìm ra đƣợc phản ví dụ của 1 trong khoảng 2000 trƣờng hợp khác nhau. Họ đã sử dụng máy tính chạy trong 1000 tiếng để thực hiện chứng minh của mình. Chứng minh này đã gây ra nhiều tranh cãi khi sử dụng máy tính để thực hiện các thao tác chính. Ví dụ, chƣơng trình máy tính có thể mắc lỗi dẫn đến kết quả sai. Liệu lí lẽ của họ có thật sự là 1 chứng minh khi phụ thuộc vào những kết quả không đáng tin cậy của máy tính?
Định lí 4 màu chỉ ứng dụng trên đồ thị phẳng. Đồ thị không phẳng có thể có số màu lớn hơn 4(Xem ví dụ 2).
2 điều kiện đƣợc yêu cầu để xác định số màu của 1 đồ thị là n: Đầu tiên,phải chứng minh đồ thị có thể tô bằng n màu.Việc này có thể thực hiện bằng cách xây dựng, nhƣ tô màu. Thứ 2, chúng ta phải chỉ ra rằng đồ thị không thể tô bằng số màu ít hơn n. Các ví dụ sau điển hình cho cách tìm số màu đồ thị.