4. Nội suy vă phương phâp bình phương cực tiểu
4.1. Đa thức nội suy
Trong thực tế, nhiều khi gặp những hăm số y = f(x) mă không biết biểu thức giải tích cụ thể f của chúng, ta chỉ biết câc giâ trị yo, y1, ... yn của hăm số tại câc điểm khâc nhau xo, x1, ... xn của đoạn [a,b]. Câc giâ trị năy có thể nhận được thông qua thí nghiệm, đo đạc,... Khi sử dụng những hăm số trín, ta cần biết câc giâ trị của chúng tại câc điểm không trùng với xi (i = 0, 1, 2, ..., n). Muốn thế, ta tìm câch xđy dựng một đa thức :
Pn(x) = aoxn + a1xn-1 + ... + an-1x + an thoả mên :
Pn(xi) = f(xi) = yi, i = 0,1,2, ..., n (4.1)
Pn(x) gọi lă đa thức nội suy của hăm f(x), câc điểm xi, i = 0,n gọi lă câc nút
y=f(x) M1 M0 Mi Mn-1 Mn 0 x y X0 X1 Xi Xn-1 Xn y=Pn(x)
Đi qua câc điểm Mi(xi, yi) đê biết (i = 0,n) của đường cong y = f(x).
Hình 4.4: Đường cong y=f(x) vă y=Pn(x)
Sau đó, ta dùng đa thức Pn(x) thay cho hăm số f(x) để tính gần đúng giâ trị của hăm số f(x) tại câc điểm x≠ xi (i = 0,n). Nếu điểm x ∈ (xo, xn) thì phĩp tính trín gọi lă phiĩp tính nội suy. Nếu điểm x∉ (xo, xn) (x ở ngoăi (xo, xn)) thì phĩp tính trín gọi lă phĩp tính ngoại suy.
Sở dĩ ta chọn đa thức Pn(x) vì trong tính toân, đa thức lă hăm số dễ tính nhất. Nhằm giảm bớt khối lượng tính, người ta cũng dùng đa thức nội suy Pn(x) thay cho hăm số f(x) để tính gần đúng giâ trị của hăm số f(x) tại câc điểm x ≠ xi(i = 0,n) trong trường hợp biểu thức giải tích cụ thể của hăm số f(x) đê biết nhưng tương đối phức tạp, nhất lă khi phải tính nhiều giâ trị.
Về sự duy nhất của đa thức nội suy, ta có định lý sau :
Định lý 4.1: Đa thức nội suy Pn(x) của hăm số f(x), nếu có, thì chỉ có một mă thôi.
Chứng minh : Giả sử những điều kiện (4.1), ta xđy dựng được hai đa thức nội suy khâc nhau Pn(x) vă Qn(x) với :
Pn(xi) = yi; Qn(xi) = yi (i = 0,n)
Khi đó Pn(x) - Qn(x) lă một đa thức bậc không lớn hơn n, nhưng lại triệt tiíu tại n + 1 điểm xi khâc nhau vì :
Pn (xi) - Qn(xi) = yi - yi = 0(i = 0,n )
Vậy : Pn(x) - Qn(x) = 0 (nghĩa lă Pn(x) - Qn(x) bằng không với mọi x), hay : Pn(x) = Qn(x). Đó lă điều phải chứng minh.